函数对称性的三类题型.doc

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对称性
一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系（加法）
1、轴对称
(1)=函数图象关于轴对称；
(2) 函数图象关于对称
；
（3）若函数定义域为，且满足条件，则函数的图象关于直线对称。
2、中心对称
（1）=－函数图象关于原点对称；.
（2）函数图象关于对称
；
（3）函数图象关于成中心对称

（4）若函数 定义域为，且满足条件（为常数），则函数的图象关于点 对称。
（二）两个函数图象之间的对称关系（减法）
1.若函数定义域为，则两函数与的图象关于直线 对称。

推论1：函数与函数的图象关于直线对称。
推论2：函数与函数的图象关于直线对称。
2.若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称。

推论：函数与函数图象关于点对称。

类型一：双对称问题
1. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为，所以也是的对称轴，故是以2为周期的周期函数，所以。

2.（2005年广东卷I）设函数，，且在闭区间［0，7］上只有。
（1）试判断函数的奇偶性； 非奇非偶函数
（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
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3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则：_____________
解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以

类型二：对称轴和对称中心的判断
1. 函数为偶函数，则函数的图像的对称轴方程为

2. 函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为
（-2，0）
3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称
解：由命题1知，两函数图象关于, 即关于直线x=1对称。

4.函数，该函数图象的对称中心是 .
【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得.
【解法】函数，该函数可由反比例函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位所得.
因为反比例函数的对称中心是自然也进行相应地平移，
所以函数图象的对称中心是

类型三：求值
1.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
2.设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，
所以g(x)是R上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W，最小值是1－W，即M＝1＋W，m＝1－W，所以M＋m＝2.
答案：2

3.，则 ．
解析 是由平移得到的，
由于是奇函数，图象关于原点对称，
因此的对称中心为，，
所以

，
故答案为11

三次函数的图形都是对称图形
对于任意三次函数，它的图像有唯一的对称中心

(2012年四川)设函数，是公差为的等差数列，则
A. B. C. D.
解析
把奇函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位就是的图象了，所以的图象关于对称.
又因为是公差为的等差数列，所以和、和都关于直线对称，
所以与、与都关于对称.
又因为已知条件
所以，，，.
所以

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