学校分配学生(深入研究).pptx

深入研究-学校分配学生张金金凝凝朱朱厚厚涛涛2024/5/22 周三1管理学管理学案例案例 学校分配学生学校分配学生 斯普林菲尔德（Springfield）学校董事会打算在年底关闭它的一所中学（包括6,7,8 年级）,并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。从该城市的六个居住区到各所学校，每个学生的一年的公交费用如下表所示（表中还给出了下一年的其他一些基本数据）。其中，0表示不需要校车服务，而表示这种分配不可能。学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的3036之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例必须保持。假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。22024/5/22 周三a 为该问题建立线性规划模型、并求解该问题。b 你给学校董事会的建议是什么？在看了你的建议之后，学校董事会对将所有的居民区都在各个学校间划分开来这一点表示疑虑，他们认为，应该尽可能的让邻里的学生在同一所学校里。c 根据这一点调整你的建议，使同一个地区尽可能的分配在同一所学校里。（加人这一限制可能会使你不得不取消另外一些约束。）这样做会增加多少公交成本？学校董事会正考虑减少一些公交以减低成本，选项1是仅仅取消1-1.5英里的学生的公交服务，这些学生的单位成本如上表所示为$200。选项2是同时取消1.5-2 英里距离的学生的公交服务，这些学生的估计年成本为$300。32024/5/22 周三d 将a 中的模型加入选项1重新考虑，并求解。将结果与c中的结果想比较，包括公交总成本的减少。e 以选项2 代替选项1 重复步骤e。现在，学校董事会将在三种计划（目前的这一选项，和选项1，选项2）中做出选择，其中，最重要的是因素是成本。但是，学校对另一个因素也给予了同等的重视，即，因为迫使一些学生步行或骑车上学（超过1英里，特别是超过1.5 英里）所引起的不方便和安全问题。因此，学校决定选择能使两个因素达到最好的平衡的计划。f 从b、d、e 的结果中总结出与学校董事会要做出决策的两个因素有联系的重要的信息。g 你认为应该做出怎样的决策，为什么？42024/5/22 周三第一回第一回成立决策成立决策变量矩量矩阵该问题的实质是如何将6个区的学生分别分配到3个学校中去。故分配方案中至少有63=18个参数，又由于学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的3036之间。由此每个方案中还要指明三个年级的分配明细，故需要有183=54个参数又由于第2、4、5区分别不能向A、C、B校分配学生，故最后：各分配方案共有54351个参数，见右表绿色区域根据绿色区域的学生按校分配方案可各区各年级实际人数学校分配学生5输出量输出量学校编号学校编号决策变量决策变量各区各年级实际人各区各年级实际人数数学生按校分配方案学生按校分配方案6 6年级年级7 7年级年级8 8年级年级144 144 1 10012171 171 2 2144171123135 135 3 3000222 222 1 1000168 168 2 2222168210210 210 3 3000165 165 1 1000176 176 2 20032209 209 3 316517617798 98 1 198140112140 140 2 2000112 112 3 3000195 195 1 1195170135170 170 2 2000135 135 3 3000153 153 1 1000126 126 2 2000171 171 3 31531261712024/5/22 周三将上页各区每个年级人数分别相加，得到本页左表最右栏的橙色区域。根据已知条件斯普林菲尔德学校所在城市6个区各年级的人数比例，我们得到各区6_7_8年级的实际人数，见本页左表，右起第二栏中的数字。由上述两条所得的两列数字显然应该分别相等，故得到第一第一组约束条件束条件：各区6_7_8年级人数各区各年级实际人数再由上页各区每个年级人数按分别对应的学校来相加求和，得到本页右表左栏的各区各区-校校人数和合人数和合计该组数据与右表右栏各区各区-校校公交成本公交成本相对应上述两栏中的数据依次相乘的结果再求和，得到该校的学生公交总费用，既目目标函数函数第二回建立模型区号区号参数参数输出量输出量地区地区学生总学生总数数各区各区6_7_86_7_8年级年级人数人数各区各年级实际各区各年级实际人数人数1450144144144 144 171171171 171 135135135 135 2600222222222 222 168168168 168 210210210 210 3550165165165 165 176176176 176 209209209 209 4350989898 98 140140140 140 112112112 112 5500195195195 195 170170170 170 135135135 135 6450153153153 153 126126126 126 171171171 171 输出量输出量*3 3参数参数各各区区-校校人数和合计人数和合计各各区区-校校公交成本公交成本0$300$300 450$0$0 0$700$700 0 0 600$400$400 0$500$500 12$600$600 20$300$300 518$200$200 350$200$200 0$500$500 0 0 500$0$0 0 0 0$400$400 0$500$500 0$300$300 450$0$0 62024/5/22 周三根据已知题意，第2、4、5区分别不能向第1、3、2学校分配学生，故该区各年级向这些学校的分配学生均为0，三个年级的合计自然也为0，用橙色背景表示，如左表最右列所示！这三个等于0的等式为第二组约束条件。学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的3036之间，因此我们需要求出每个学校里每一每个学校里每一年年级的学生人数的学生人数。见右表最下面三行中的数字。将此三行表格展开成一列，如下页如示：第三回中间变量学生按校分配方案学生按校分配方案6 6年级年级7 7年级年级8 8年级年级各各区区-校校人数和合计人数和合计1 10 0 0 0 2 2144 171 135 450 3 30 0 0 0 1 10 0 0 0 0 2 2222 168 210 600 3 30 0 0 0 1 10 0 12 12 2 20 0 20 20 3 3165 176 177 518 1 198 140 112 350 2 20 0 0 0 3 30 0 0 0 0 1 1195 170 135 500 2 20 0 0 0 0 3 30 0 0 0 1 10 0 0 0 2 20 0 0 0 3 3153 126 171 450 1 1293 293 310 310 259 259 中间变中间变量量2 2366 366 339 339 365 365 3 3318 318 302 302 348 348 72024/5/22 周三上页表格展开后见左上表、左侧第三列人数所示，根据各校总人数计算出各年各年级人人数比例数比例，如左上表、右侧第二列橙色背景表格表示，根据已知条件，所有比例都应限定在30%36%之间，此为第三组约束条件。由于学生数只能是整数，故最后一组约束条件是决策变量均为整数。根据上述四组约束建立完整数学模型如所附“案例3.3”工作簿所示，其中工作表规划求解表C用于求解问题C、规划求解表A用于求解其它各解。用Excel中的规划求解建模后的表达式组如左下表所示。第四回规划表达式中间变量中间变量参数参数输出量输出量参数参数人数人数比例下限比例下限各年级人各年级人数比例数比例比例上比例上限限A校总人数6年级293 293 30%33.99%33.99%36%862 862 7年级310 310 30%35.96%35.96%36%8年级259 259 30%30.05%30.05%36%B校总人数6年级366 366 30%34.21%34.21%36%1070 1070 7年级339 339 30%31.68%31.68%36%8年级365 365 30%34.11%34.11%36%C校总人数6年级318 318 30%32.85%32.85%36%968 968 7年级302 302 30%31.20%31.20%36%8年级348 348 30%35.95%35.95%36%82024/5/22 周三问题a、d、e的结果分别显示左表右下角的蓝色背景的表格中。解b：如第5页右表绿色背景中的决策变量数值所示。该组分配方案成本最低，且派出的车次最少。注1：求解d、e时，依题意分别将左表最左侧栏的蓝色数字、蓝色与棕色数字都换为0。注2：每问的解虽是唯一的，但每个解对应的分配方案有很多种。解f:如解d、e所示，适当减小公交服务可明显减少成本，但大量减少公交服务，非但成本减少不再明不再明显，还大大增加了安全隐患。g:决策为d第五回解答（一）参数参数中间变量中间变量参数参数输出量输出量参数参数各各区区-校校公交公交成本成本人数人数比例下限比例下限各年级人数比例各年级人数比例比例上限比例上限$300$300 A校总人数6年级293 293 30%33.99%33.99%36%$0$0 862 862 7年级310 310 30%35.96%35.96%36%$700$700 8年级259 259 30%30.05%30.05%36%B校总人数6年级366 366 30%34.21%34.21%36%$400$400 1070 1070 7年级339 339 30%31.68%31.68%36%$500$500 8年级365 365 30%34.11%34.11%36%$600$600 C校总人数6年级318 318 30%32.85%32.85%36%$300$300 968 968 7年级302 302 30%31.20%31.20%36%$200$200 8年级348 348 30%35.95%35.95%36%$200$200$500$500 最小最小 目标目标交通总交通总 费用：费用：$426,800$426,800$0$0 解a$426,800$426,800$400$400 解d$249,200$249,200$500$500 解e$240,000$240,000$300$300$0$0 92024/5/22 周三解C：根据学校的要求，将各区只按一个学校分配学生，并保持其它结束不变，但无解。根据无解的提示，将对比例上、下限的约束条件按每1%放宽一次进行测试，得出如上表的解。（上、下限约束最后定为：28%和38%）约束条件放宽后相当于取消了一些减少成本的限制，因此成本减少了$6800。第六回解答（二）中间变量中间变量参数参数中间变量中间变量28%输出变量输出变量38%各各区区-校校人数和合人数和合计计各各区区-校校公交成公交成本本人数人数比例下限比例下限各年级人数比例各年级人数比例上限上限上限上限0$300$300 A校总人数6年级293 293 28%34.47%34.47%38%450$0$0 850 850 7年级310 310 28%36.47%36.47%38%0$700$700 8年级247 247 28%29.06%29.06%38%0 0 B校总人数6年级366 366 28%34.86%34.86%38%600$400$400 1050 1050 7年级339 339 28%32.29%32.29%38%0$500$500 8年级345 345 28%32.86%32.86%38%0$600$600 C校总人数6年级318 318 28%31.80%31.80%38%0$300$300 1000 1000 7年级302 302 28%30.20%30.20%38%550$200$200 8年级380 380 28%38.00%38.00%38%350$200$200 0$500$500 最小最小 目标目标交通交通总费用总费用C C：$420,000$420,0000 0 500$0$0 0 0 解b$426,800$426,8000$400$400 0$500$500 0$300$300 450$0$0 102024/5/22 周三