《金融衍生品》课件_第12章_复杂衍生产品.pdf

第十二章复杂衍生产品本章内容一、Quanto二、基于Quanto的衍生产品：Quanto远期（期货）、Quanto期权、收益互换三、交换期权四、Black公式（远期期权定价）、Merton公式五、利率期权：利率上限、利率下限一、Quanto、Quanto远期与Quanto期权1、Quanto、日经225指数期货 Quanto是一种以外国资产为标的的衍生产品。Quanto到期时外国资产价格以固定汇率元转换为本国 货币计价支付：xS(T)o 在芝加哥期货交易所里有一个很著名的期货：日经 225指数期货，它的标的物是日经指数，日经指数是 以日元计价的资产为基础编制的指数，但在美国上 市的日经225指数期货是以美元计价的，价格乘数是 5。设S(T)是日经225指数期货到期时日经指数点位，指数期货多头到期时日经225指数期货合约的美元支 付是5*S(T)F。因此，日经225指数期货可以看成以Quanto为标的 的期货。2、Quanto定价(i)定义相关基础资产(A)本国的无风险资产R(t)(本国货币)R(t)=ertT=rdt(1 2.1)(1 2.2)其中，R(0)=1,r为年化的连续复利本国无风 险利率。(B)外国无风险资产的本币价值 如果初始时刻持有一单位的外币，其本币计价：匕=X(0)。t时刻，该外国无风险资产的本币价值：匕仕)=erfl-X(t)(1 2.3)其中，X(t)表示t时刻的汇率，等于一单位外币折算 的本币单位数；牙为年化的连续复利外国无风险利 对(1 2.3)式使用伊藤引理，有：=rfdt+(1 2.4)(c)外国风险资产的本币价值 假设初始时刻持有一单位的外国风险资产，其本币 计济为：一(0)=S(O)X(O)t时刻，该外国风险资产的本币价值V2(t)=eqtS(,t)X(l)(1 2.5)其中，S(t)是外国风险资产以外币计价的价格，q是 外国风险资产的连续的红利收益率。对(1 2.5)式使用伊藤引理，有:7,dS,dX,dS dXqdt+O 八 J A(1 2.6)(D)汇率X和外国风险资产S服从的随机过程假设汇率X和外国风险资产s满足如下随机 过程：=uxdt+axdBx(1 2.7)X=usdt+osdBs(1 2.8)s其中，和之间存在一定相关性，相 关系数为常数P，则(dBQ(dBs)=pdt(1 2.9)(2)Quanto的鞅定价Quanto的价值记为，(t),，(T)=S(T)。以R(t)作为计价物，贝加(t)与R的比值在本国无 风险资产的风险中性概率下是一个鞅过程，即：器=碎缺卜碎璃(1 2.1 0)整理后，有：V(t)=e-r(TT)元硅S(T)(1 2.1 1)以R作为计价物时S(T)随机过程及期望值。以R(t)作为计价物时，由2式。=煞 为一个鞅过程，有3=(r-lyjdt+(JxdB(1 2.1 2)Z2(t)=罂=e(L)Sn。为鞅过程，对Z2(t)运用2维伊藤引理，R(t)有：dZ2 z x,dS dX dS dX.U=(q 丫)a+v+v*V(1 2-1 3)ZjQ D A 3 A将(1 2.1 2)及PO%也代入上式，整理后得到：s X等=(q-V+p94)dt+ax d欧+9(1 2.1 4)由Z2(t)为一个鞅过程，有?=(疗一 q-P坂/)也+(1 2.1 5)Quanto的定价公式.S(T)=Pcr%crs-|cr2)(7，-t)+crsVT-tdBf E4S(T)=S(t)e(丁广 q_ps)(TT)Quanto的定价公式：V(t)=L(TT)谑抑S(T)(12.16)(12.17)(12.18)课后思考：以丁2。）为计价物，推导出Quanto的定价公式。3、Quanto的复制（或对冲）可以用来复制（或对冲）的资产包括：本国无 风险资产，外国风险资产和外国无风险资产。Quanto资产的定价公式v（t）=cS_q_pM）（TT%s（t）根据伊藤引理可以推导出：与=（r+q+pq4-寸）dt+售（1 2.1 9）V J或著,dV=y（r+q+pcrx（Ts-rdt+（1 2.20）Quanto复制组合 a(t)：购买了按照本币计价价值为a(t)的外国 风险资产，数量为a(t)/X(t)S(t)。b(t)：借入的外国无风险资产的本币价值，数 量是 b(t)/X(t)。c(t)：本国无风险资产的价值。复制资产组合的价值(以本币计价)：w(t)=a(t)+b(t)+c(t)(1 2.21)Quanto复制组合dw 三 a(t)詈+b(t)詈+c(t)g(1 2.22)将(1 2.2)、(1 2.4)和(1 2.6)式代入(1 2.22),整理可得：dw=(aq+apxs+叫+cr)dt+(a+b)+a(1 2.23)dV=U(r+q+p(jx(js-iy)dt+V(1 2.20)s对比(1 2.23)和和(1 2.20)式，有：a=V,b=V,c=V(1 2.24)该资产组合的含义是：在国外市场上借入本币价值为V的无风险资产1=-V),购买等额价值的外国风险资产=丫，同时用原来准备投资 Quanto资金购买本国无风险资产(c=V),三个市场上投资的价值按照 本币计价都是V。该复制组合应当随着风险资产价格s(t)和汇率X的变动而动态调整。课后思考：如何动态调整？二、基于Quanto的衍生产品 1、Quanto远期（期货）之前讲过美国芝加哥期货交易所的日经225指数期货。该日经225指数期货到期日 的支付为：5*S（T）-K,K是以美元计价，支付也是按照美元计价。一份初始远期（期货）合约价格为K的 Quanto远期（期货）合约多头在到期日T时 的回报函数为：%S(T)-K(1 2.25)公平的协议价格如何确定？Quanto远期(期货)是以Quanto为基础资产的远 期(期货)合约。由于Quanto是没有红利支付的 资产，要运用没有红利支付的远期(期货)合约 的定价公式：F*(t)=S(t)e(r-q)(T-t)其中S(t)即为Quanto的公平价格V(t),q=0。f*(卜川4 m-exp(斤-q-p(7xo$)(T-，)XS(t)(12.25)2、欧式Quant o期权 欧式Quanto看涨期迟，其到期支付为：max(0,XS(T)-K)(12-26)前面已经推导出了Quanto的随机过程U(t),可知，(t)的波动率与S(t)的波动率是完全一 致的，且Quanto没有红利支付的资产。因此可以利用无红利支付的欧式期权定价 公式对Quanto期权定价。欧式Quanto期权定价公式Quanto看涨期权定价公式：V(0)N(i)丁“飞Quanto看跌期权定价公式:e-rTK N(4)-V(0)N(刈)(12.27)(12.28)(12.29)(12.30)3、收益互换 考虑的是外国资产和本国资产的收益互换,名义本金1元的收益互换，其到期时的支 付为：a+豁 一（123）其中，9称为收益互换价差.如何确定适当的互换价差，使得收益互换 当前的价值为0?如何确定收益互换价差?将收益互换价差分成三部分之和：(1)到期支付a用无风险利率贴现，现值为ae仃。(2)把监看作是无=吃的Quant。资产，其当前的价值 为e(丁厂丁-。-POxOs)T.(3)潦，求其现值为？一曲7。三部分之和为：e-f7a+exp(-r-qf-paxas)T-eqdT 因此，有：a=exp(r-qd)T-exp(-qf-paxas)T(12.31)(12.32)入交换期权1、交换期权的定义 交换期权是指期权到期时，期权的多头具 有用一个风险资产交换另一个风险资产的 权利。考虑风险资产S1和S2,在时刻T用资产2交换 资产1的一份欧式期权，其到期日价值为：max Si(T)-S2CO)(1 2.33)看涨和看跌期权可以看成特殊的交换期权。2、欧式交换期权定价(1)假设 两个风险资产的随机过程服从两个几何布 朗运动：警=,*+内力3,(12.34)且两个布朗运动da之间的相关性为p,并 且假设两个资产价格比值的波动率为常数:o=(端+遍2P02(12.35)(2)交换期权的鞅定价max(0,Si(T)S2CO)=Si(T)I S2(T)/(1 2.36)苴中 i-f1 Si(T)之 S2(T)其中z-(o 其他 对Qi(T)=Si(T)/,Q2(T)=S2(T)Z 两部分分别定价。以匕)=4送Si作为计价物对Q1(T)定价，有：(12.37)Qi(0)=匕 SiCQi S1(O)-0 LTS1(T)所以有，Qi(O)=e-rS1(0)E1Z=e-SiProb ST)S2(T)(1 2.38)交换期权的鞅定价以%=作为计价物对Q2（T）定价，有Q2（0）=e-q2T S2（0）E%/=e-q2Ts2（0）Prob%（T）S2（T）则交换期权的价格：Q（0）=Qi（O）-Q2（。）=ef 2Ts2（0）E；2田(1 2.39)(1 2.40)计算：probST)S2(T)计算：probm S2（r）Z(t)=旦D=e(Q2-Ql)t(t)(1 2.41)Vi(t)S(t)Vi(t)作为计价物，Z(t)是一个鞅过程，Z的微分方程 的漂移项系数为0。Z(t)的波动率即为岑的波动率（Jo 已经推导过两个几何布朗运动的比值仍然是几何布 朗运动，并且这里费的漂移项系数日等于零：dZ v=adBz1(1 2.42)dB。1是dBs和dBs2的线性组合。计算：probvSrm S2(r)Z(T)=2(0)3一会町+洲苗”丁)=S2(0)c42T+odB 尸(12.43)i J _ I _ Si(O)So(T)Si(T)S2(T)一 Z(T)=眄/；-eaf】)7一逊e/r+bVTJ v e(Q2-Q1)T S1(O)一 S2m=N(di)(1 2.45)交换期权定价公式同理，有：prob吟Si(T)S2(T)=N(dz)(12-46)d，2 d Cy/r(1 2.47)欧式交换期权定价公式：Q(O)=e$(O)E1。0(0)琮山=eFSi(O)N(di)-eF2rs2(0)(超)(1 2.48)、Black 公式、Merton 公式 1、远期期权与Black公式(1)远期期权 假设远期合约到期日是T,一份基于远期合 约的欧式看涨期权到期日为T(TD o 如果是一个欧式看涨的远期期权，则意味 着期权到期时(7时刻)，期权的买方有权 与交易对手按照事先约定的协议价格K签订 一份到期日为丁的远期合约的多头。远期期权的执行 如果T时刻买方执行欧式看涨远期期权，则进入一个远期合 约多头，T时刻其损益为：S(T，)一K(1 2,49)对期权买方来说，如何判断T时刻是否应该执行期权？T时刻，市场上存在标的资产到期日为T的远期合约，在T 时刻远期价格是尸(T)(远期合约的价值在T时刻为0)。T时刻，若买方执行期权的同时在远期市场上签订一个远期 合约空头，即约定在T时刻按照T)的价格卖出一个标的 资产，厂时刻的损益：尸(T)S(T)(1 2.50)综合(12.49)和(12.50),时刻执行欧式远期看涨期权，T时刻的支付为:F(T)K(1 2.51)只有当F(T)2 K的时候，执行远期看涨期权才是合理的，该支付是确定 的。远期期权的定价 将厂时刻的支付贴现到T时刻，得到远期期权在T时刻的价 值：P(T7)max(T)K,0)(12.52)或者，max(P(T,T，)F(T)-KP(T,T),0)(12.53)因此，该远期期权实际上可看作如下两个资产的交换期权：S1*Q)=P(t,r)F(t)(12.54)s2*(t)=KPQ7)S2*(。是K份厂时刻到期的贴现债券的价格，而SJ是一(举55)资产组合，稍后会说明。并且S1*(。和S2*(t)都是没有红利支 付的。远期期权的定价公式(Blac k公式)根据交换期权的定价公式，可以写出看涨的欧式远期期权的定价公式：尸(0,T)F(0)N(di)-P(0,T)KN(d2)(1 2.56)(平)+”rrfi=-(1 2.57)ctVTd2=d1 erVT(1 2.58)注意：。是雾的波动率，而阴=萼，s2(0 S2(t)k因此。就是远期价格的波动率。资产 sj(t)=PQ7)F o时刻，一份丁时刻到期的远期合约多头+5(0)份T时刻到期的贴现债券。，时刻，该组合的价值：(F(t)-F(0)P(t7)+9(0)P(,T)=PC7)F(t)2、Merton 公式 Black-Scholes公式是假定存在为常数的无风险利率r的 期权定价公式。Merton公式是讨论不存在常数无风险 利率时，期权的定价公式。现在假设市场上找不到常数的无风险利率，而只有一 个期限为T的贴现债券。1元名义本金的贴现债券当前 的价格为P,T）。远期合约定价公式：+kP（t,T）=eq（TT）S（。（1 259）远期价格可以表示为：_ S（1 2.60）（）_ PQ,T）远期价格的波动率：F=,+中-2Poscp X%Merton公式 远期期权中，取丁=丁时，由于远期价格到 期时收敛于现货价格，F(T)=S(T),P(TT)=P(T,T)=lo 此时远期期权就等于现货期权。因此可以使用取7=7时的Black公式为现货 期权定价。此定价公式为Merton公式。Mert on公式因为 F(0)=s胃:;所以F(0)尸(0,7)=e-8S(0)。欧式看涨期权：C(0)=尸(OjT)/(O)N(dJ P(0,T)KN(d2)=es(o)N(di)-P(0,T)KN(d2)(1 2.61)垣(叫+*t 需耦+*7(j 4T(j/T d2=d1 aFVr(1 2.62)(1 2.63)d=这里的。F是远期价格的波动率，而不是股票S的波 动率。这是和BS公式的区别。五、利率期权：利率上限/利率下限利率互换可以规避浮动利率负债的利率上升风 险。当有浮动利率负债时，担心利率上升，可 以签订一个支付固定利率、收取浮动利率的互 换，这样转化成一个固定利率负债。但该互换 虽然规避了利率上升的风险，但同时也把利率 下降可能带来的好处也转移出去了。利率上限(Interest Rate Caps),能做到把浮动 列重复债电我善上升的风险转移出去，同时保 留利率下降的好处。利率下限(Interest Rate Floors)能够规避浮动 利率资产利率下跌的风险，而保留利率上升的 好处。1、利率上（下）限的支付考虑一个期限为丁的利率上限，名义本金为1元，上限利率为R,利率重置日为.,小-1。在 5七,胡的时间点上，利率上限的购买方能够获得 如下现金流：_R,0）（1 2.64）其中，At1为利率重置日的市场 利率（如Shibor利率），&一而R的复利频率与重置 日频率一致。1某一次支付称为利率上限单元，一个利率上限 由N个利率上限单元构成。利率上（下）限的支付考虑一个期限为了的利率下限，名义本金为1元，上限利率为R,利率重置日为曲迷1，.,加-1在的时间点上，利率上限的购买方能够获得如下现金流：_gmaxM-R j,0）（1 2.65）其中，&=&一&_1，凡一为利率重置日的市场 利率（如Shibor禾4率），&一和R的复利频率与重置 日频率一致。某一次支付称为利率下限单元，一个利率上限 由N个利率下限单元构成。2、利率上限/利率下限的定价由于&的支付在时刻就已知了 CRti 在 时刻已知）。因此。期权的执行时鬲是在Ji时刻，支付发生的时间在%这类似于远期 期权的定价。因此左的支付在q_i时刻的价值为：max（7?G MPQ1,切一血疗。一，切，0）（1 2.66）lx JL产9.1,3为贴现因子。上式可以看做以下两 个资产的交换期权：利率上限/利率下限的定价Rt：一个某一计息频率的市场利率，如Shibor,Libor等。当时，为利率重置日上的市场利 率（即期利率），确定了疝青上（下）限在q时刻的支 付。另外一种视角考察公：考虑远期利率f（t,勾_1，切,t是当前的时间，方_1是远期利率开始的时间，方是远期 利率结束的时间。随着t变动，未来某段时间的远期利 率/（t,ti，q）也在变动，当1=忆1时，/（t,ti，利率上限/利率下限的定价在第二种视角下，利率上限单元可以看成以下两 个资产的交换期权：SiQ)=f(t，q)竺PQ，q)s2(t)=t1)这两个资产的连续红利率为0。(1 2.67)(1 2.68)根据交换期权的定价公式(1 2.40),可以得到 利率上限单元的定价公式。该视角的利率上限/利率下限的定价模型称为 标准市场模型。利率上限/下限单元的定价模型利率上限单元：/(o,七1，3Mp(o,L)N(di)Rgp(0,3N2)其中，(1 2.68)d，噌(X1g J.一1d2=d1 Xtt-i(1 2.69)(1 2.70)R/(o,矶i，3为当前的矶i至L期间的远期利率，心为该远期利 率的波动率。利率下限单元：RAtiP(3 ti)N(d2)f(3ti)AtiP(3 ti)N(dJ(1 2.71)确定了利率上限/下限单元价格后，对整个利 率上限定价需要将各个单元加总。如何确定远期利率的波动率每一个利率上限或下限单元都必须通过（1 2.68）或（1 2.71）来单独定价。一种方法是不同的 上限单元（或下限单元）采用不同的波动率，这 些波动率称为即期波动率。另一种方法是对于构成利率上限（下限）的 所有上限单元（或下限单元）采用相同的波动率,但波动率随利率上限（下限）的有效期变动，这 一波动率称为单一波动率。市场报价是通常使用单一波动率。可以通过 隐含波动率的方法确定单一波动率。