《金融衍生品》课件_第09章_期权定价与套期保值.pdf

第九章期权定价与套期保值本章内容一、期权的定义与种类二、期权的回报与盈亏分布 三、期权价格的基本特性 四、欧式期权定价公式 五、期权套期保值一、期权的定义与种类1、期权(Option)的定义、期权是指财予其购买者在规定期限内按双 方约定的执行价格(Exercise Price Striking Price)购买或出售一定数量某种标的资产(潜含资产，Underlying Assets)的权利的合如何理解期权 期权是一种金融合约，是买卖双方关于未来某种权 利的协议。期权多头：支付期权费后，只有权利，没有义务 期权空头：收取期权费后，只有义务，没有权利 期权协议要素-买卖双方、约定的权利、约定期限、执行价格、约定 交易数量和期权价格（期权费）期权双重买卖关系表9-1期权交易中的双重买卖关系看趟权看跌期权期权买方以执行价格买入标的资以执行价格卖出标的资(Buyer/Holder)产的权利产的权利期权卖方以执行价格卖出标的资以执行价格买入标的资(Seller/Wr iter)产的义务产的义务2、期权的分类(1)按期权买者的权利划分：-看涨期权(Call Option)：赋予期权买者未来按约定价格购 买标的资产的权利-看跌期权(Put Option)：赋予期权买者未来按约定价格出 售标的资产的权利(2)按期权的执行时间划分：-欧式期权：期权的多方只有在期权到期时才能执行期权-美式期权：允许多方在期权的到期日之前任何时间执行期权-百慕木教理：介毛欧式和美式之间，期权的执行期一般为到 期日前的第一段时间。（3）按期权的标的资产划分 股票期权 股价指数期权 期货期权 利率期权 信用期权 货币期权 互换期权 ETF期权/复合期权等二、期权的回报与盈亏分布 看涨期权多头的回报与盈亏分布 看涨期权空头的回报与盈亏分布 看跌期权多头的回报与盈亏分布 看跌期权空头的回报与盈亏分布 欧式期权到期回报和盈亏公式看涨期权多头的回报与盈亏分布O4Oo o o O2 2 4期权到期时的股价9看涨期权空头的回报与盈亏分布o o o o O 4 2 2 4 中网卬卑回毙假一-期权回报-期权盈亏-执行价格O20 40 60 80 100期权到期时的股价10看跌期权多头的回报与盈亏分布中网用笔回电踹o o o O4 2 24020 蚣-HQ 80 100期权利期时的联价11看跌期权空头的回报与盈亏分布O402OO-2O-40圻雷量一期权到期时的股价期权回报期权盈亏-协议价格12欧式期权到期回报和盈亏公式头寸到期回报公式“到期盈亏公式。公式分析看涨期权多头，max(5r-X.0)2若到期价格S7高于X,多头执行 期权获得差价；否则放弃期权回报 为零。）max(5r 一工 0)c-看涨期权空头.max(Sr X,0)或.min(X 若到期价格St高于X,多头执行 期权，空头损失差价；否则多头放 弃期权，空头回报为零。一max(S7 工 0)+c 或.min(X 0)+c 看跌期权多头一若到期价格5丁低于X,多头执行 期权获得差价；否则放弃期权回报 为零。max(X-ST70)p看跌期权空头max(X-，0)或 min(S,7-Xz 0)-若到期价格5丁低于X,多头执行 期权，空头损失差价；否则多头放 弃期权，空头回报为零。max(5 0)+2或min(S,7-X,0)+p 13三、期权价格的基本特性1、期权价格（价值）=内在价值+时间价值 粤常鹏鬻值：是多方可能行权时所获回报的贴现值 时间价值：是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动 为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。也是指 期权合约的购买者为购买期权而支付的权利金超过期权 内在价值的那部分价值。期权的时间价值期权价格下限等于内在价值。时间价值恒大于0。欧式期权的内在价值 对欧式期权来说，多方只能在期权到期时决定行权 与否并获得相应回报。例如，多方执行欧式看涨期权所获回报为力-X,如果标的资产在期权存续期内无收益诙的现值就 是当前的市价S；如果标的资产在期权存续期内支付已知的现金收益,的现值则为S-I,其中I表示在期权有效期内标的资产 所获得的现金收益贴现至当前的现值。15欧式期权的内在价值由于X为确定现金流，其现值的计算就是简单 的贴现，故此欧式无收益看涨期权的内在价 值为 什、Xe-(I，0)欧式有收益看涨期权的内在价值为Max(S-1-Xe-,0)欧式看跌期权内在价值的分析类似于欧式看 涨期鼠16期权时间值的特点期权的时间价值是基于期权多头权利义务不对称这一特 性，在期权到期前，标的资产价布的变化可能给期权多 头带来的筱益的一种反映。其后品(1)一般来说，期权的剩余有效时间越长，亦即到期日越远，则期权的时间价值也就越大，反之，时间价值也就 越小。(2)标的资产波动率越大，时间价值也就越大。(3)期权的时间价值受内在价值影响，在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减。期权时间价值与内在价值的关系2、期权价格的上下限无收益资产欧式看涨期权价格曲线图石就理权价格0虚信期权 平价期权 实值期权 S（SVXOFTJ）（g=XoFTT）（9。小一？）期权价格的上下限无收益资产欧式看跌期权价格曲线图欧式看跌期权价格欧式看跌期权价格上限XhFT)下限、内在价值0欧式期权定价公式 BS模型对标的资产的假设:标的资产以不变 的红利支付率qm付红利，资产价格S满足y=pdt+adB(9.1)其中B为布朗运动，O为常数,U为一般随机过 程。同时假定存在连续复利率为常数r的无 风险资产。一、数字期权与股份数字期权欧式看涨期权到期支付：C(T)=maxS(T)-K,0,其支付可以写成下式：C(T)=S(T)-I-k-I(9-2)其中，变量I：当S(T)之k时为1,当S(T)K)(9.4)无风险资产作为计价物时，风险资产的随机过程为:dS,、。=(r q)dt+adBR其中,bR为风险中性概率测度下的布朗运动。(9.5)数字期权定价(9.5)式等价于：dlnS(T)=(r q|er?)dt+adBRInS(T)=InS(O)+(r-q-|a2)T+aABR(T)(9.6)(9.7)使用第8章的方法，可以得到probR(S(T)之K)=N(d2),其中In d2二一S(O)e*12T今二山-aV T N(d2)为标准正态分布的累积概率分布函数。SK时支付1单位货币的欧式看涨数字期权，在T=0时刻的价值为DC(O)=e-rTprobR(S(T)K)=e-rTN(d2)(9.8)2、股份数字期权：SDC(T)=S(T)I以红利再投资资产V(T)=eqTs(T)作为计价物SDC(O)=V(0)Ev p(9.1 0)SDC(O)=e-ciTV(0)probv(S(T)K)(9.1 1)当以标的资产作为计价物时，风险资产的随机过程为：=(r q+a2)dt+adBv(9.1 2)其中，BV为以标的资产靠为计价物时的布朗运动。股份数字期权上式等价于：dlnS(T)=(r q+dt+adBv(9.1 3)InS(T)=InS(O)+(r-q+ja2)T+aABv(T)(9.1 4)使用第8章的方法，可以得到probV(S(T)之K)=N(di),其中d1-aV TS(T)K时支付1单位资产的欧式看涨股份数字期权，在T=0时刻的价值为SDC(O)=e-TV(0)probv(S(T)K)=0一口T$(0亦(山)(9.1 5)3、欧式看涨期权和看跌期权欧式看涨期权：C(0)=SDC(O)-K*DC(O)(9.1 6)C(0)=eqTS(0)N(d。-e-rTKN(d2)(9.1 9)对于欧式看跌期权:P(T)=K-S(T)如果S(T)K0 如果 S(T)Kprobnum(S(T)K)=N(d)P(0)=e-rTKN(-d2)-eFTs(o)N(dj(9.20)五、期权套期保值 1、期权希腊字母期权价格公式中关于各个变量的导数通常被称为希腊字母。如最重要的希腊字母是Delta,衡量的是期权价格变动相对于期权标 的资产价格变动的敏感性。用P指代期权价格，各希腊字母如下表：Table:Black-Scholes GreeksInput SymbolGreek&SymbolDefinitionSdelta 6=dP/dSsgamma()r=d2P/dS2Ttheta()Q=-dP/dT(Tvega(V)V=dP/darrho(p)p=dP/dr欧式期权的希腊字母c=e-qTS N(a)-e-rTK N(吆).5=e-qT Z(4)+e-qT e-rT K n(c/2)=eqT N(c71)+e-kSn(a)(-=e-qTN(a),=e-q)碧=eiy7T,0=e-qTS n(a)=+qe-qTS Z(a)-r-rTK N(c72),V=eqTSn(a)/T,P=丁ekKZ).n(d)=一溪/2=M(d)e-S n(d1)=e-rTK n(d2)v27rp-c+erT K eqTS股息收益率为q的资产上期权的希腊值希腊值看涨期权看跌期权Deltae-N(4)L叫 N(4)-1GammaA e soa Jr冰(4)e-S0(r JrTheta-50/V*(r/I)tre-*r/(2/r)-rKe-SoM(4)oe-4/(2)-qSoM-dx)e-+rKe_，rN(-d2)VegaSo/SoQT(4)e-RhoKTe-rTN(d2)-KTe-rTN(-d2)2、Delta对冲(1)Delta对冲的原理 用股票和期权构造一个完全对冲(无风险)投资组合。对于看涨期权而言，这样的组合可以通过持有3份标的资产的多 头和一份看涨期权的空头，或持有3份标的资产的空头和一份看 涨期权的多头构成。这样的投资组合不存在对标的资产变化的 当朝风险暴露。由于Delta值会随标的资产价格变化和时间推移而变化，因而必 须唾时乱投直组合进打动冬调整工但由毛实际操作中难以实现 连续调整，国而实际中无法实现完全对冲。Delta对冲的原理 考虑连续时间对冲。f 1份看涨期权空头 投资组合=5份标的资产多头(9.21)lc-3 s份现金空头 该投资组合的在T=0时的价值为0。投资组合价值在时间间隔dt的瞬间改变量为-dC+8dS+qSSdt+(C-8S)rdt(9.22)其中，第一项为期权价值的变化，第二项为5份股票的资本利得或损失,第三项为5份股票获得的红利，第四项为现金空头的利息支出。根据无套利定价原理，投资组合价值改变量应该为0。Delta对冲的原理dC”dS+dt+喀(dS)2=8dS+0dt+-r(j2S2dtdS dt 2 3 S2 v 7 2(9.23)将(9.23)式代入(9.22)式，有0dt|r(y2S2dt+qSSdt+(C 8S)rdt=0(9.24)由上式可得到下述结论(1)Delta对冲消除了标的资产价格变化带来的风险暴露，式中没有dS 项；(2)9是负值，因而期权空头可以从到期时间的减少中获利；(3)这样的投资组合是“Gamma空头”投资组合，也称为“凸性空头”投资组合，股票价格的波动会使得凸性空头的投资组合遭受损失；(4)v该投资组合得到红利，但支出利息。(2)案例：期权的Delta中性保值某金融机构在OTC市场出售了基于100000股不 付红利股票的欧式看涨期权，收入300 000元。该股票的市场价格为49元，执行价格为50元，无风险利率为连续复利年利率5%，股票价格 年波动率为20%,距离到期时间为20周。由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨 期权多头对冲，这样就面临着风险管理的问题。11:2234期权的Delta中性保值 用标的资产（股票）多头为此期权进行套期保值操作。应进行动态套期保值，以维持资产组合的Delta中性。但 在实际中，过于频繁的动态调整需要相当的交易费用，因 此我们假设保值调整每周进行一次。相关参数为s=49;X=50;r=0.05;o=0.20;T-t=0.3 846 Delta对冲模拟过程参看下表。11:2235Delta对冲模拟过程（1）11:22周次股价Delt a购买的股数成本（千元）累计成本（千元）利息（千元）049.000.52252,2002,557.82,557.82.5148.120.458(6,400)(308.0)2,252.32.2247.370.400(5,800)(274.7)1,979.81.9.1955.871.0001,00055.95,258.25.12057.251.000005263.336Delta对冲模拟过程（2）周次股价Delt a购买的股数成本（千元）累计成本（千元）利息（千元）049.000.52252,2002,557.82,557.82.5149.750.5684,600228.92,789.22.7252.000.70513,700712.43,504.33.4.1946.630.007(17,600)(820.7)290.00.32048.120.000(700)(33.7)256.611:22373、Gamma 对冲由于在实际中，我们无法实现连续对冲，因而 在离散的Delta对冲中，为了改善对冲效果，我们 可以在原有的Delta对冲的基础上，加入另外的期 权构建Delta中性和Gamma中性的投资组合。即不仅投资组合价值关于标的资产价格的一阶 导数等于0,而且投资组合价值关于标的资产价格 的二阶导数也为0。Gamma对冲设3和表示卖出期权的Delta和Gamma；&和表示对冲期权的Delta和Gamma。考虑用a份股票和b份期权对卖出期权实施对冲。股票的Delta值为 1,Gamma值为0。要使得投资组合的Delta和Gamma均为0,需要满足如下条件0=8+a+bb/Q。匚、(9.25)I o=-r+b(a=3-解得，r(9.26)(b=r