安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题.doc

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题

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19

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题
一．选择题（共12小题）
1．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（　　）
A．S⊆T B．T⊆S C．S＝T D．S⊈T
2．已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为（　　）
A．rad B．1rad C．rad D．2rad
3．若函数f（x）（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
C．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜0
4．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（　　）

A．ω＝1，φ B．ω＝1，φ C．ω＝2，φ D．ω＝2，φ
5．已知函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．若曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f（x）的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
6．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　）
A．1 B．3 C．0 D．
7．已知α为锐角，β为第二象限角，若cos（β﹣α），sin（α+β），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）3（a∈R），f（ln（log25））＝5，则f（ln（log52））＝（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
9．已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|在[﹣1，m]上的最大值为f（m），则m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，1+2]
C．[1+2，+∞） D．（﹣1，1]∪[1+2，+∞）
10．函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，]，则b﹣a的最大值和最小值之和等于（　　）
A．4π B． C． D．3π
11．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
12．已知函数定义在[1，+∞）上的函数f（x），则下列说法中正确的个数有（　　）
①关于x的方程f（x）0，（n∈N）有2n+4个不同的零点
②对于实数x∈[1，+∞），不等式xf（x）≤6恒成立
③在[1，6）上，方程6f（x）﹣x＝0有5个零点
④当x∈[2n﹣1，2n]，（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为4
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题）
13．若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a＝　　．
14．若曲线上至少存在一点与直线y＝x+1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为　　．
15．已知函数y＝cos（πx），x∈[，t）（t）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是　　．
16．已知函数（），若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝　　．
三．解答题（共7小题）
17．已知函数f（x）的定义域为A，集合B＝{x|2≤2x≤16}，非空集合C＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，全集为实数集R．
（1）求集合A∩B和∁RB；
（2）若A∪C＝A，求实数m取值的集合．
18．已知．
（1）求tanθ的值；
（2）求sin2θ+3sinθcosθ的值．
19．已知f（x）＝x2﹣ax+3．
（1）若f（x）＞0对任意的a∈[，4]恒成立，求x的取值范围；
（2）试判断y＝f（x）在[，4]上的零点个数．
20．已知函数f（x）＝sin2ωxsinωx•sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
21．设函数f（x）＝sinx+sin2x，x∈R．
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是奇函数，求θ的值；
（2）求函数的值域．
22．已知函数f（x）对任意的实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（2）＝3，且关于x的不等式f（x﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系．
【解答】解：由T＝{x|x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z}＝{x|x＝3（k﹣1）+1，k﹣1∈Z}，
令t＝k﹣1，则t∈Z，所以T＝{x|x＝3t+1，t∈Z}，
通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⫋Z，故S⫋T．
故选：A．
【点评】本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属基础题．
2．【分析】根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出S扇形的最大值，以及对应圆心角的值，即可得解．
【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，
根据扇形的面积为S扇形ar2，周长为2r+αr＝C，
得到r，且0＜α＜2π，
∴S扇形α•（）2，
又2α28，当且仅当2α，即α＝2时，“＝”成立，
此时S扇形取得最大值为，对应圆心角为α＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
3．【分析】根据图象可先判断出分母的分解析，然后利用特殊点再求出分子即可．
【解答】解：由图象可知，x≠1，5，
∴分母必定可以分解为k（x﹣1）（x﹣5），
a＝k，b＝﹣6k，c＝5k，
∵在x＝3时有y＝2，
∴d＝﹣8k，
∴a，c同号b，d同号；
a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则x＞5时，函数的图象不成立；
所以只有a＞0，b＜0，c＞0，d＜0满足题意．
故选：D．

【点评】本题主要考查了利用图象信息推导所给函数的系数和常数部分，属于中档题．
4．【分析】由题意可得A＝1，由周期可得ω＝2，可得y＝sin（2x+φ），代点（，1）可得φ值．
【解答】解：由题意可得A＝1，，
∴周期T＝π，∴ω＝2，
∴y＝sin（2x+φ），
代点（，1）可得1＝sin（φ），
结合|φ|可得φ，
解得φ，
故选：D．
【点评】本题考查正弦函数的图象，属基础题．
5．【分析】将函数化简，根据曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，建立关系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期．
【解答】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．
化简可得：f（x）sin（ωx）
∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，
∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），
令k＝0，
∴x2﹣x1，
解得：ω
∴y＝f（x）的最小正周期T，
故选：D．
【点评】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．
【解答】解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，
则M（x），
当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，
当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，
综上：函数的最小值为1，
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，属于基础题．
7．【分析】由已知可得β﹣α为第二象限角，α+β为第二象限角，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β﹣α），cos（α+β）的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解sin2α的值．
【解答】解：由已知可得β﹣α为第二象限角，α+β为第二象限角，
所以sin（β﹣α），cos（α+β），
因为2α＝（α+β）﹣（β﹣α），
所以sin2α＝sin[（α+β）﹣（β﹣α）]＝sin（α+β）cos（β﹣α）﹣cos（α+β）sin（β﹣α）（）﹣（）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换以及同角三角函数的基本关系，考查了运算求解能力，考查了数学运算核心素养，属于基础题．
8．【分析】推导出f（x），令g（x）＝f（x）﹣4，由此能求出结果．
【解答】解：f（x）3
3
，
令g（x）＝f（x）﹣4，
则g（x）为奇函数，
g（ln（log25）＝f（ln（log25））﹣4＝1，
g（ln（log52））＝g（ln（））＝g（﹣ln（log25）＝﹣1，
f（ln（log52））＝g（ln（log52））+4＝3．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9．【分析】本题先画出函数f（x）大致图象，然后根据图象对m进行分类谈论，即可得到m的取值范围．
【解答】解：由题意，函数f（x）大致图象如下：

根据题意及图，可知
当﹣1＜m≤1时，f（x）max＝f（m）．
令x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1±2，
则当1＜m＜1+2时，f（x）max＝f（1）≠f（m）．
．当m≥1+2时，f（x）max＝f（m）．
∴满足题意的m的取值范围为：（﹣1，1]∪[1+2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数最值的问题，考查了数形结合法和分类讨论思想的应用．本题属中档题．
10．【分析】由题意结合三角函数的图象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝2sinx的最大值为2，最小值为﹣2，
而函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，]，
不妨假设[a，b]中含有，
当b﹣a最大值时，a，b，此时，b﹣a；
当b﹣a最小值时，a，b，此时，b﹣a，
故b﹣a的最大值和最小值之和等于，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属于中档题．
11．【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log2b；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；
因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；
令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．
12．【分析】根据函数的表达式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合分别判断即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图：
当n＝0时，方程f（x）0等价为f（x）＝1，
∴对应方程根的个数为5个，而2n+4＝4个，∴①错误；
由不等式xf（x）≤6等价为f（x），
在x∈[1，+∞）恒成立，
作出函数y的图象如图2，则不等式xf（x）≤6恒成立，
∴②正确；
由函数表达式可知f（1.5）＝4，f（3）＝2，f（6）＝1．
由f（x）x＝0得f（x）x，
设g（x）x，则g（6）＝1，
∴在[1，6）上，方程f（x）x＝0有4个零点，∴③错误；
令n＝1得，[2n﹣1，2n]＝[1，2]，当x∈[1，2]时，
函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，
其面积为：S1×4＝2，∴④错误．
故选：B．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二．填空题（共6小题）
13．【分析】由题意可得，f（﹣x）＝f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝xln（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x）＝xln（x），
∴﹣ln（﹣x）＝ln（x），
∴ln（﹣x）+ln（x）＝0，
∴ln（x）（x）＝0，
∴lna＝0，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．若曲线上至少存在一点与直线y＝x+1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为　（2，4]　．
【分析】利用函数的图象关于原点对称，推出m的不等式，以及对数函数的定义域，推出m的关系式，得到结果即可．
【解答】解：设曲线上的点（s，t），s＞2；
由题意可得（﹣s，﹣t）在直线y＝x+1上，
可得，
2s﹣m＝2s﹣1，m，s＞2，可得m＞2，
2x﹣m＞0，m＜2x，x＞2．
所以m≤4．
则m的取值范围为：（2，4]．
故答案为：（2，4]．
15．【分析】由已知可求范围π+πx＜tππ，当3π＜tπππ，即t时，有最大值cos（π），最小值cos（3π）＝﹣1，当tππ＞4π，即t，有最大值cos（4π）＝1，最小值cos（3π）＝﹣1，即可得出答案．
【解答】解：因为：x∈[，t），（t），
所以：π≤πx＜tπ，可得：ππxtπ，可得：πx＜tπ，
若函数y＝cos（πx），x∈[，t）（t）既有最小值也有最大值，
当3π＜tππ，即：t时，有最大值cos（），最小值cos（3π）＝﹣1，
当tπ4π，即t，有最大值cos（4π）＝1，最小值cos（3π）＝﹣1，
综上所述，t，或t．
故答案为：t，或t．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，属于中档题．
16．【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．
【解答】解：令2xkπ得x，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为T＝π，，
∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，
∴x1+x2＝2，x2+x3＝2，x3+x4＝2，…，xn﹣1+xn＝2，
将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝2×（）＝230＝445π．
故答案为：445π．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．
三．解答题（共7小题）
17．【分析】（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和∁RB；
（2）若A∪C＝A，则C⊆A，根据C≠∅求出满足条件的m，可得答案．
【解答】解：（1）由﹣x2+5x﹣6≥0得：2≤x≤3，
故A＝[2，3]，集合B＝{x|2≤2x≤16}＝[1，4]，
则A∩B＝[2，3]，∁RB＝（﹣∞，1）∪（4，+∞）；
（2）若A∪C＝A，则C⊆A，
C≠∅，m+1≤2m﹣1，m≥2，
，解得：1≤m≤2，
∴m＝2，
综上可得：m＝2．
【点评】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．
18．【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin2θ+3sinθcosθ的值．
【解答】解：（1）由，可得，
分子分母同除以得cosθ，求得tanθ＝1．
（2）．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
19．【分析】（1）将a看成自变量，得到关于a为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间的端点处取得最小值，由此构造出关于x的不等式组，求解即可；
（2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出a的不等式组，求解．
【解答】解：（1）原函数式可化为g（a）＝﹣x•a+x2+3，．
由题意可得，即，解得，
故x的取值范围是{x|x＞3，或x＜1}．
（2）令f（x）＝0得x2﹣ax+3＝0，因为，
故，，令h（x），
由对勾函数的性质可知，函数h（x）在[]上单调递减，在（]上单调递增，
且h（），h（），h（4）．
故当时，函数f（x）只有一个零点；
当时，原函数有两个零点；
当或时，原函数没有零点．
【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用．属于中档题．
20．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；
（2）求出函数在[0，]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2ωxsinωx•sin（ωx）＝sin2ωxsinωx•cosωx
＝sin2ωxsin2ωx＝（1）sin2ωx，
∵函数f（x）的最小正周期为π．
∴Tπ．即ω＝1．
（2）∵ω＝1，
∴f（x）＝（1）sin2x，
若0≤x，则0≤2x，
∴当2x时，函数取得最小值为（1）sin（1），
当2x时，函数取得最大值为（1）sin1，
故函数f（x）的取值范围是[，1]．
【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．
21．【分析】（1）由函数f（x+θ）是奇函数，可得f（0+θ）＝0，即可求得θ的值；
（2）利用诱导公式及辅助角公式化简，即可求得值域．
【解答】解：（1）x∈R，函数f（x+θ）是奇函数，
因为f（x+θ）＝sin（x+θ）+sin2（x+θ），
所以f（0+θ）＝0，即sinθ+sin2θ＝0，即sinθ+2sinθcosθ＝0，即sinθ（1+2cosθ）＝0，
①若sinθ＝0，则θ＝0或π；
②若1+2cosθ＝0，即cosθ，则θ，
经检验得θ＝0或π．
（2）sin（x）+sin2（x）+sin（x）+sin2（x）
＝sin（x）+sin（2x）+cos（﹣x）﹣sin（2x）
＝sin（x）+cos（x）sin（x）
sin（x）∈[，]．
即函数的值域为[，]．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的值域，考查诱导公式、辅助角公式的应用，属于中档题．
22．【分析】（1）利用赋值法可求解；
（2）结合单调性的定义以及赋值法，可判断出f（x1）与f（x2）的大小关系，从而确定单调性；
（3）原式是一个不等式恒成立问题，因此可转化为函数的最值问题求解，结合分类讨论，判断出函数在[﹣1，+∞）上的单调性，求出最值即可．
【解答】解：（1）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，令m＝n＝0，则f（0）＝2f（0）﹣1，则f（0）＝1；
（2）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1可知，任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1，
∵x1＞x2，∴x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．
故此，函数f（x）为R上增函数；
（3）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1可知，
f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＝f[（ax﹣2）+（x﹣x2）]+1＜3．
故此f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜2，∵f（2）＝3＝2f（1）﹣1，∴f（1）＝2．
∴f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1）．
又∵f（x）在R上是单调增函数，
∴﹣x2+（a+1）x﹣2＜1，∴x2﹣（a+1）x+3＞0，令g（x）＝x2﹣（a+1）x+3．
∴由已知，须有g（x）min＞0，x∈[﹣1，+∞）．
①当时，即a≤﹣3，g（x）在[﹣1，+∞）单调递增，
∴g（x）min＝g（﹣1）＝a+5＞0，
∴a＞﹣5，∴﹣5＜a≤﹣3．
②当时，即a＞﹣3时，g（x）在[﹣1，+∞）先递减后递增，
∴．
∴，即．
综上，∴．
【点评】本题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的字母范围的求解方法．属于中档题．