陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题-理.doc

陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

年级：
姓名：

5

陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理
说明：
1．本试题共4页，22题。满分：150分；考试时间：120分钟。
2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号，请将答案正确填写在答题卡上。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分）
1．已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设在可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知的图象如图所示,则与的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．与大小不能确定
4．已知函数，是的导函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．设，，都为正数，那么三个数，，（ ）
A．都不大于6 B．都不小于6
C．至少有一个不大于6 D．至少有一个不小于6
6．已知函数，则函数的图象在处的切线的斜率为（ ）
A．-21 B．-27 C．-24 D．-25
7．设是函数的一个极值点，则（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
8．已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
9． 已知在上单调递增，则实数的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共4小题，每小题5分）
13．若三角形的内切圆半径为，三边的长分别为，，，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为，四个面的面积分别为、、、，则此四面体的体积 .

14．已知函数是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程为 ．
15．函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断：

①函数在区间内单调递增；
②函数在区间内单调递减；
③函数在区间内单调递增；
④当时，函数有极大值；
⑤当时，函数有极大值；
则上述判断中正确的是________．
16．若函数无极值点，则实数的取值范围_________．

三、解答题（本题共6小题，第一小题10分，其余均为12分）
17．已知三个正数成等差数列，且公差不为零．求证：不可能成等差数列．

18．求下列函数的导数．
①； ②；
③； ④；

19．函数在点处的切线为l.
（1）若l与直线平行，求实数m的值；
（2）若直线l的倾斜角的取值范围为，求实数m的取值范围.

20．已知数列的首项为，且.
（1）写出数列的前项，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

21．设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在区间上没有零点，求实数的取值范围．

22．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
高二理数参考答案
1．D 根据题意，可得，，，…，
观察知呈周期性变化，周期为4，
所以．
2．D 因为在处可导，
由导数的定义可得：.
3．A 由题意可知表示曲线在点处切线的斜率，
表示曲线在点处切线的斜率，
结合题中的函数图象可知，则.
4．B , .
5．D 因为,,都为正数,
则,
当且仅当时取等号,
假设三个数,,都小于6,则,与上述矛盾,
故假设不成立,即三个数,,至少有一个不小于6,
6．A 由题得，所以，解得，所以.
7．C ∵由已知可得，∴．
8．B 设切点坐标为，求导得，则，得，又，得.
9．B 由可得，
由条件只需，即在上恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为4，故只需.
10．D 的定义域为，由
所以在上递减，又，
所以不等式的解集是．
11．A 函数的定义域是，
，故是偶函数，
又，设，
则，
∴是上的增函数，
时，，即，是增函数．
由得，
∴，解得或．
12．D 过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行
因为，于是，所以，∴，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.

13．
解：设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，
所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.
故答案为：.
14．
当时，，所以，
因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，
所以，
所以切线的斜率为0，
又因为，
所以切线方程为.
15．③⑤
解：对于①，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以①错；
对于②，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以②错；
对于③，当时，单调递增，所以③对；
对于④，当时，单调递增，故当时不是极大值，所以④错；
对于⑤，当时，单调递增，
当时，单调递减，故时函数取得极大值，所以⑤对．
故答案为：③⑤.
16．
因为，所以，
因为函数无极值点，
所以，解得，实数的取值范围是，
故答案为：.
17．假设成等差数列，
则，
又成等差数列，且公差不为零，所以，互不相等；
则，所以，即，这与互不相等矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
18．①；②③；④=－.
解：①.
②因为，
所以
．
③因为，
所以.
④
＝－.
19．（1）1；（2）.
解：（1），
，线与直线平行，即切线的斜率为5，
令，
解得，直线与直线平行时，实数的值为 1.
（2）若直线的倾斜角的取值范围为，
即切线的斜率为的取值范围为，
令，解得，
实数的取值范围值为
20．（Ⅰ），，，，猜想：.（Ⅱ）见解析
（Ⅰ），，，，
猜想：.
（Ⅱ）当时，猜想显然成立，
假设时，猜想成立，即，
∴，
即时，猜想也成立.
∴对一切，.
21．（1）函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）
（1），定义域为，，
令，得；令，得，
故函数的单调增区间是，单调减区间是
（2），由得
设，∴在上是减函数，在上为增函数，
又在上没有零点，∴在上恒成立
由得，
令，则，当时，
∴在上是减函数，∴时，
∴，即
22．（1）；（2）证明见解析；（3）．
解：（1）当时，，
所以．
所以．
曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．