上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一．填空题
1.已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为______.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.
【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，
所以 ，
所以扇形的面积为，
故答案为：9
【点睛】本题主要考查弧长公式及面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2.数列是等比数列，，，，则______.
【答案】5
【解析】
分析】
直接利用等比数列通项公式得到答案.
【详解】数列是等比数列，，，故，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式，属于简单题.
3.已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用齐次式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
点睛】本题考查了齐次式求三角函数值，属于简单题.
4.三角方程的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
运用正切函数的图象和性质，可得所求解集.
【详解】由于，
所以，得，
即三角方程的解集为，
故答案为：.
【点睛】本题考查三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题.
5.，，则用反正弦可以表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解.
【详解】由，则，由，
而，故，得.
故答案为：
【点睛】本题考查了反正弦函数的含义，特别注意反正弦函数所表示角的范围，属于容易题.
6.已知数列满足，（），则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推公式计算得到数列周期为，故，得到答案.
【详解】，，故，，
，故数列周期为，，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据递推公式计算数列的项，意在考查学生的计算能力和推断能力，确定数列周期为是解题的关键.
7.等差数列的通项为，令，则数列的前20项之和为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由等差数列通项公式求出，利用递推关系和等差数列定义法证明出是以1为首项，4为公差的等差数列，最后利用等差数列前项和公式，即可求出数列的前20项之和.
【详解】解：由题可知，等差数列的通项为，
则，，
所以，
可知数列是以1为首项，4为公差的等差数列，
则数列的前20项之和为：
.
故答案为：780.
【点睛】本题考查利用递推关系和定义法证明等差数列，以及等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查运算能力，属于基础题.
8.函数（）的最小正周期为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式将函数解析式化简为，然后利用余弦型函数的周期公式可求出的值.
【详解】解：，且，
该函数的最小正周期为：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦型函数的周期求参数，以及利用二倍角余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题.
9.已知可表示为（，）的形式，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将化简为，并得出和，再利用二倍角正弦公式即可求出.
【详解】解：
令，
则，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简以及二倍角的正弦公式求值，属于基础题.
10.已知角，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件解得，然后再求得的值，最后根据角的范围即可求解的值．
【详解】根据条件，
，即，
，
则，
整理可得，
即，
即，
，
，
故.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式．
11.方程实数解的个数为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
变换得到，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】，易知，则，
易知函数和为奇函数，
当时，，当时，，
画出函数和图像，如图所示：
根据图像知：函数有12个交点，故方程有12个解.
故答案为：12.

【点睛】本题考查了方程解得个数问题，画出函数图像是解题的关键.
12.设数列的通项公式为（），数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值，则数列的前项和为______（结果用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，根据的定义知当时，，
当时，，据此可用分组法求数列的前项和.
【详解】对于正整数，由可得，
根据的定义可知:
当时，，
当时，，

【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，属于中档题.
二．选择题
13.已知是第二象限角，则是（ ）
A. 锐角 B. 第一象限角 C. 第一、三象限角 D. 第二、四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是第二象限角，得到,再得到的范围判断。
【详解】因为是第二象限角，
所以,
,
当k为偶数时，是第一象限角，
当k为奇数时，是第三象限角，
所以是第一、三象限角.
故选：C
【点睛】本题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。
14.在中，若，那么是（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由tanAtanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.
【详解】由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，
∴tan（A+B）0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，
C为锐角，故△ABC是锐角三角形，
故选C．
【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键．
15.函数（其中，）的图象如图所示，则的解析式是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象可知函数振幅A，周期，即可求出，根据图象过点可求出，即可得到解析式.
【详解】由函数图象知，周期，
所以，
由函数过点可知，，
即，又，
所以，
所求函数解析式为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据函数图象写出函数解析式，考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
16.已知、均是等差数列，，若前三项是，则（ ）
A. B. 47 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定是一个二次式，设，代入数据得到方程组，解得表达式，计算得到答案.
【详解】、均是等差数列，则是一个二次式，设，
则，解得，故，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的相关计算，意在考查学生的计算能力，确定是一个二次式是解题的关键.
三．解答题
17.已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若函数，，求．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】
（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式，根据辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据特殊角的正弦函数值，结合给定的取值范围进行求解即可.
【详解】（1），
当，时，函数单调递减，
即当，时，函数单调递减，
因此的单调递减区间为：，；
（2），
因为，所以，
因此有或，解得或．
【点睛】本题考查了正弦和余弦的二倍角公式的逆用，考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的单调性，考查了特殊角的正弦值的应用，考查了数学运算能力.
18.已知，，求下列式子的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）3；（3）．
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边平方，由此求得的值.
（2）由的值，求得的值，进而求得的值，从而求得的值.
（3）由的值求得的值.
【详解】（1）由两边平方得，
，即，
所以.
（2）由于且，所以，所以，所以.
而，所以
.
由解得，
所以.
（3）.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.
19.如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东30°方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少0.4米，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．

（1）、两处垃圾的距离是多少？
（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的正弦值是多少？
【答案】（1）、两处垃圾的距离是1.4米；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设，根据已知条件求得，利用余弦定理求得，利用除以扫地机器人的速度等于列方程，解方程求得，进而求得.
（2）利用余弦定理求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）设，依题意可知，由余弦定理得
.
所以，即，
即，两边平方并化简得，解得或（舍去）.所以米.
（2）由（1）可知，由余弦定理得.
由于，所以.
【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查余弦定理解三角形，属于中档题.
20.设是无穷等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，，求的最大值；
（2）设，且，令，求数列的前项和．
【答案】（1）2020；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得的表达式，进而求得的最大值.
（2）利用已知条件求得，进而求得数列的前项和.
【详解】（1）依题意，解得，所以，
其对称轴为，
所以前或项的和最大，即的最大值为
.
（2）依题意，
解得，所以.
由，解得，.
.
所以，当时，.
当时，
，

【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21.已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当且时，且，其中、均为非零常数．
（1）若是等差数列，求实数值；
（2）令（），若，求数列的通项公式；
（3）令（），若，数列满足，若数列有最大值，最小值，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用等差数列的定义，求得结果；
（2）根据题意，证得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求得结果；
（3）利用累加法求得的通项公式，结合题意，找到数列的最大项和最小项，解不等式求得结果.
【详解】（1）由已知， ，
，
由数列是等差数列，得，
又，所以；
（2）由，可得，
当时，，
所以当时，，
且，
所以，数列是首项为1，共比为的等比数列，
所以；
（3）由（2）可得是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，

所以，
所以， ，
，，，
累加得：
，
所以，当时也满足，
所以
若存在最大值，结合的条件，则，
所以是最大项，是最小项，
所以，
由得，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于较难题目.