安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二数学下学期开年考试题-文.doc

安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二数学下学期开年考试题 文

安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二数学下学期开年考试题 文

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13

安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二数学下学期开年考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．且C．，同号且不为 D．或
2．若双曲线的焦距为8，则双曲线C的虚轴长为（ ）A．2B．3C．4D．6
3．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．直线与圆相交于两点，若为直角三角形，则（ ）A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，，弦中点的横坐标，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为的导函数，若，则（ ）
A．B．C．D．或
8．若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．
9．四面体中，面，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是椭圆的左、右焦点，是椭圆上两点，满足，若，则直线的斜率为（ ）
A．-1 B． C． D．
11．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题
13．，的否定是___________.
14．若直线：与：平行，则实数的值为_________.
15．已知函数，则___________.
16．如图，圆锥的高，底面⊙的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的余弦值为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知命题;命题:函数在区间上单调递减.其中为常数.
（1）若为真命题，求的取值范围;
（2）若为真命题，求的取值范围.

18．已知直线经过点.
（1）若原点到直线的距离为2，求直线l的方程；
（2）若直线被两条相交直线：和：所截得的线段恰被点平分，求直线的方程.

19．如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，，的中点为，的中点为，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求几何体的体积．　

20．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形为矩形，，和是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点F在平面和上射影分别为H，M，已知米，米，梯形的面积是面积的倍．设．

（1）求屋顶面积关于的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为元/米．现欲造一栋上、下总高度为米的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？

21．已知椭圆的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点，分别为其左、右顶点，点为椭圆上不与，重合的动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）分别过点，作直线于点，于点，设与相交于点，求点的轨迹方程．

22．设函数.
（1）求的单调区间;
（2）求证:当时，.

2020-2021学年度（下）开年考高二数学（文）参考答案
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．A 10．D
11．D 12．A 13．， 14．2 15．2020 16．
8．C曲线可化为，其中，
则可得曲线是以为圆心，2为半径且在直线上方的半圆，
如图：

当直线过时，，
当直线与半圆相切时，则，解得，
则观察图形可知，当时有两个不同的公共点.故选：C.
9．A 设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为
连接
由正弦定理可得，即，

即四面体外接球的表面积为，故选：A
10．D 由，且，
取点点关于原点的对称点为，则，
所以四边形为矩形，所以共线，
设，则，
由椭圆的定义，可得，
，
又由，则，解得，
所以，
所以，
过作轴的垂线，垂足为,
则，
所以.故选：D.
11．D ，由题意在上有解，即在上有解，记，，当时，，单调递增，，，所以．故选：D．
12．A
取中点，连接,则，，
又平面，平面，
所以，，平面，
因为，所以平面，平面
因为点在侧面内，所以平面平面；
在平面内作关于直线对称的点，连接，
则，所以，，作，则
当、、三点共线时，取最小值，此时因为，，
所以，，中，，
即，得，故，
即点到底面的距离与它到点的距离之和最小是.故选:A.
15．2020 ∵，∴，
∴，∴.故答案为：2020．
16．设点到平面的距离为,设直线和平面所成角为，则由等体积法有：，即，,，于是，故答案为.
17．（1）令，其图像是开口向上的抛物线
要使为真命题，则且
即，所以
所以的取值范围是.
（2）若为真命题，则为假命题，为真命题
由（1）知，为假命题等价于.
对于命题当时，函数在上单调递增，不满足条件;
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
要使在上单调递减，则，即，
综上所述，若为真命题，的取值范围是.
18．（1）直线的斜率不存在时，直线方程为，符合条件.
直线的斜率存在时，设直线方程为，
由原点到直线的距离为2得，解得.
故直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
（2）设直线夹在直线，之间的线段为(在上，在上)，
的坐标分别设为，，
因为被点平分，所以，，
即，.
由于在上，在上，即
解得，，即的坐标是，
故直线的方程是.
19．（1）点在平面内的射影恰好为点，平面，
又平面，平面平面．
又以为直径的圆经过点，，，为正方形．
又平面平面，平面．
平面，，
又，，
又的中点为，，
，，
又平面，平面，，平面．
又平面，平面平面．
（2）连接，由（1）知，平面，．
又，，
平面，
又，平面．

．
几何体的体积为4．
20．（1）由题意知平面，，
又因为平面，所以，
在中，，，所以，因此的面积为，
从而得屋顶面积为，
所以屋顶面积关于的函数关系式，；
（2）在中，，所以主体的高度为，
所以
，
令，，则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，
即当时，总造价最低.
21．（1）由题意，椭圆的离心率为，即，所以，
又由，点为椭圆上的动点，可得，
则的最大值为，即，
代入得，解得，，
所以椭圆方程为．
（2）如图所示，设，，则．
由题意得，，，，
则，，且，
代入①得，
又由，所以，即，整理得，
所以所求轨迹方程为．
22．（1）由题意得:，
由，得，由，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若，即，由（1）知在上单调递增，
所以成立；
若，即，设，
则当时，，
所以，
所以，从而.
结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
下面比较和的大小，
设，当时，
所以，
即，而，
所以当时，
综上所述：当时，.