2020-2021学年高中数学-第6章-平面向量及其应用章末测评新人教A版必修第二册.doc

2020-2021学年高中数学 第6章 平面向量及其应用章末测评新人教A版必修第二册

2020-2021学年高中数学 第6章 平面向量及其应用章末测评新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

章末综合测评(一)　平面向量及其应用
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．6 B．5　　　
C．1　　　 D．－6
A　[由向量数量积公式知，(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6.]
2．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
B　[设向量a，b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B．]
3．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A　[a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
B　[由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin(B＋C)＝sin A＝.]
5．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是(　　)
A．－25 B．25
C．－24 D．24
A　[因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝·＋(＋)＝0＋·
＝－2＝－25.]
6．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于(　　)
A．2 B．1
C． D．
A　[设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得
∴C(3,3)，又∵C在直线y＝ax上，所以3＝a×3，
∴a＝2.]
7．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A． B． C． D．
B　[∵＝，
∴－＝(－)，
∴＝＋，又＝，
∴＝＋＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.]
8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
C　[建立如图所示坐标系，

设M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而·＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若设E(0，－1)，则·＝||2－1，
由于0≤||≤2，所以·＝||2－1的取值范围是[－1,3]，故选C．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
ACD　[|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是(　　)
A． B．
C． D．
BD　[由正弦定理可得＝，所以sin C＝sin A＝，而a＜c，所以A＜C，所以＜C＜π，故C＝或π.]
11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
AC　[∵B＝，a＋c＝b，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，①
由余弦定理可得，a2＋c2－2accos ＝b2，②
联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，
即2－5＋2＝0，
解得＝2或＝.故选AC．]
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
ACD　[∵P是△ABC所在平面内一点，且
|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
两边平方并化简得·＝0，∴⊥，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选ACD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．与向量a＝(1,2)平行，且模等于的向量为________．
(1,2)或(－1，－2)　[因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.
因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]
14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，则m＋n＝________，|2a＋b|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
3　　[因为向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，
∴解得m＝2，n＝1，即m＋n＝2＋1＝3.
∴2a＋b＝(3,5)，∴|2a＋b|＝.]
15．在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，b＝1，a＝，则c＝________.
1　[∵S△ABC＝absin C，
∴absin C＝(a2＋b2－c2)，
∴a2＋b2－c2＝2absin C．
由余弦定理得，2abcos C＝2absin C，
∴tan C＝1，∴C＝45°，
∴c＝＝＝1.]
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．

－　[因为点O是AB的中点，
所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，
所以|a＋b|＝
＝＝.
(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．

(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
[解]　(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：∵＝，
＝，
∴＝3，∴∥.
又易知OA与BC不平行，
||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
19．(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
[解]　(1)由c＝asin C－ccos A，及正弦定理得
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，
所以sin＝.
又0<A<π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，
故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
20．(本小题满分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解]　(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由①得，cos α＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.
代入sin α＋sin β＝1，
得sin α＝sin β＝，
而α＞β，所以α＝，β＝.
21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.

(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．
[解]　(1)∵＝，
∴＋＝＋，
即2＝＋，
∴＝＋，即x＝，y＝.
(2)∵＝3，
∴＋＝3＋3，
即4＝＋3，
∴＝O＋.∴x＝，y＝.
·＝·(－)
＝·－·＋·
＝×22－×42＋×4×2×＝－9.
22．(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile，与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sin A＝.

(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin(2α＋β)的值．
[解]　(1)∵sin A＝，且角A为钝角，
∴cos A＝－＝－.
在△ABD中，由余弦定理得：AD2＋AB2－2AD·AB·cos A＝BD2.
∴AD2＋52－2AD·5·＝(3)2⇒AD2＋8AD－20＝0.
解得AD＝2或AD＝－10(舍)．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.
∵A，B，C，D四点共圆，
∴角A与角C互补．
∴sin C＝，cos C＝cos(180°－A)＝－cos A＝.
在△BDC中，由余弦定理得：
CD2＋CB2－2CD·CB·cos C＝BD2，
∴CD2＋52－2CD·5·＝(3)2
⇒CD2－8CD－20＝0，
解得CD＝－2(舍)或CD＝10.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝AB·AD·sin A＋CB·CD·sin C＝×5×2×＋×5×10×＝3＋15＝18.
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.
(2)在△BDC中，由正弦定理得：＝⇒＝⇒sin α＝.
∵DC2＋DB2＞BC2，
∴α为锐角，∴cos α＝.
又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C)＝sin C＝，
cos(α＋β)＝cos(180°－C)＝－cos C＝－.
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]
＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)
＝×＋×＝.