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浙江省之江联盟2020届高三数学下学期4月第一次联考试题

浙江省之江联盟2020届高三数学下学期4月第一次联考试题

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- 24 -

浙江省之江联盟2020届高三数学下学期4月第一次联考试题（含解析）
一、选择题
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据集合交集与并集定义求解，再判断选择.
【详解】因为，
所以，，
故选A
【点睛】本题考查集合交集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的离心率为,即可求得渐近线方程.
【详解】由题,因为,所以,
所以渐近线方程为,
故选:B
【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程,考查双曲线的离心率的应用.
3.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. B. C. 5 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组画出可行域,根据,即在可行域内找到满足截距最大的点,进而代入求解.
【详解】由不等式组画出可行域,如图所示,

因为,则,作出直线,平移直线,当过点时,截距最大,此时点,则,
故选:C
【点睛】本题考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.
4.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图可分析,该组合体为一个直径为2的球及一个棱台,由此求得表面积.
【详解】由图可得该组合体为一个直径为2的球及一个棱台,
则球的表面积为,
棱台的表面积为,
故该几何体的表面积为,
故选:D
【点睛】本题考查由三视图求组合体的表面积,考查空间想象能力.
5.在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对底数a进行讨论，结合幂函数，对数的性质可得答案；
【详解】当a＞1时，幂函数在递增且过，由，得（且）在递减函数，且；
当0＜a＜1，幂函数在是递增且过，由，得（且）在是递增函数，且.
当时，幂函数在a＞1时比在0＜a＜1增长的快.
故选：A
【点睛】本题考查了对数函数、幂函数的图象和性质，分类讨论思想，属于基础题．
6.“”是“关于x的不等式有解”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设,由函数图象可得的最小值,即求得的范围,进而判断与其关系,即可得到结论.
【详解】由题,设,
则图象如图所示,

当时,取得最小值为,
若不等式有解,则,
因为Ü,
所以“”是“关于x的不等式有解”的充分不必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查求分段函数最小值,考查充分条件与必要条件的判定,考查分类讨论思想.
7.在四面体中，，，，，点E为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用勾股定理可得,则平面,再建立空间直角坐标系,利用空间向量及数量积求解即可.
【详解】由,,所以,
又,,所以,则,
因为,所以平面,
如图所示建系,

则,,,设,
则,,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查空间向量法求异面直线成角,考查空间想象能力.
8.设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，用表示出，两次利用余弦定理即可容易求得.
详解】连接，如下图所示：

由椭圆定义，以及已知条件，可得：
，
在和中，由余弦定理可得：
，
代值整理可得：
，
，
则离心率.
故选：B
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及余弦定理的使用，椭圆的定义，属综合中档题.
9.已知数列，满足，（），则使成立的最小正整数n为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得,则可得,即不等式转化为,进而求解.
【详解】由题,因为,即,所以,
则,,,,
所以,即,
因为,即,又,所以,
故选:C
【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式,考查解数列的不等式.
10.设函数（），若存在，使得，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得,利用反函数的性质可得,则当时,即,进而利用单调性求解.
【详解】因为,所以,
因为与关于直线对称,
所以,
因为,所以,即,则,
所以,
设,因为在上单调递增,所以,
因为存在,使得,
所以,
故选:B
【点睛】本题考查反函数的应用,考查运算能力与转化思想.
二、填空题
11.设复数z满足，则______，______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先将整理为的形式,再求得复数的模.
【详解】由题,,
所以,
故答案为:；
【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法运算.
12.过点作圆C：的两条切线，切点分别为，，则______，直线的方程为______.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
利用勾股定理可得,代入求解即可；再求出以点和点为直径的圆的方程,将两圆的方程相减即可得到公共弦的方程.
【详解】由题,圆:的圆心为,半径,
则,
以点和点为直径的圆的方程为,
与圆的方程作差可得,即为直线的方程,
故答案为:2；
【点睛】本题考查圆的几何性质的应用,考查两点间距离公式的应用,考查求公共弦方程.
13.等比数列中，，，则__________，__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据已知条件，求出等比数列的公比，然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基本量进行计算.
【详解】因为等比数列中，，，
所以，
所以

.
故答案为；
【点睛】本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题.
14.已知函数，，则的最小正周期为______，单调递增区间为______.
【答案】 (1). (2). （）
【解析】
【分析】
先利用降幂公式及和（差）角公式可得,利用求得周期,根据求得单调增区间.
【详解】由题,
,
所以,
令,则,
即单调增区间为（）
故答案为:；（）
【点睛】本题考查三角恒等变换化简,考查正弦型函数的周期和单调区间,考查运算能力.
15.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
要求直线的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点的横、纵坐标的关系,由题可设点,点,进而根据求得,再由均值不等式求得最值.
【详解】由题可得,设,显然,当时,；当时,,
要求的最大值,设,
因为,所以,即,
所以,
所以,
当且仅当时等号成立,即的最大值为,
故答案为:
【点睛】本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.
16.已知，与所成角为，点P满足，若，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设可得动点在圆内运动,设点,则可用的三角函数表示,进而求得最大值.
【详解】由题,如图建系,,,,则,,

因为,则点在以点为圆心,半径为1的圆内（包括边界）,
则设,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以的最大值为,
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用.
17.当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先对不等式进行整理，得到对恒成立，设，利用导数求出的值域，然后根据一次函数保号性得到关于的不等式组，通过配凑系数，得到答案.
【详解】因为对恒成立，
两边同除以得对恒成立，
故令，，不等式转化为，
，令得，
所以，，单调递减，，，单调递增，
所以时，取最小值为，
当时，；当时，；
所以的值域为，
根据一次函数保号性可知

令，
得，解得，
所以，
故答案为
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题.
三、解答题
18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为.
（1）求；
（2）若，，求角B的大小及的周长，
【答案】（1）（2），周长
【解析】
【分析】
（1）先利用三角形面积公式可得,即,再利用正弦定理化边为角即可求解；
（2）由（1）及可得,可解得,再根据正弦定理可得,则可得,进而根据余弦定理可得,即可求解.
【详解】解:（1）由三角形的面积公式可得,
,
由正弦定理可得,
,
（2）,即,
,
,,
,,
，
,,
,
,,
,∴周长为.
【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理化边为角,考查余弦定理的应用,考查运算能力.
19.如图，已知三棱锥，平面平面，，．

（1）证明：；
（2）设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)由题可利用余弦定理计算,再利用勾股定理证明,进而得到平面,进而证明
(2)由(1)可知面,故可以为坐标原点建立空间直角坐标系,求出对应的向量与面的法向量即可求得与平面所成角的正弦值.
【详解】(1) ,,由余弦定理得
,故.
又,故.又平面平面,且平面平面,故平面.又平面,故.
证毕.
(2)由(1)有平面,故以为坐标原点,垂直为轴,为轴正向,为轴正向建如图空间直角坐标系.

则,,,.
故,,,
设平面的法向量则,
令有 ,故,设与平面所成角为,则

故答案为：
【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法.
一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可.
20.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且.
（1）求数列的前n项和；
（2）求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求得当时,,再利用可得,即数列为以2位首项,2为公差的等差数列,进而求解；
（2）由（1）,可知,进而求证.
【详解】（1）解:当时,由,得,
当时,由,得,
所以数列为以2为首项,2为公差的等差数列,
所以,
所以
（2）由（1）知,
因为,
所以,
所以
【点睛】本题考查由与的关系求数列的通项公式,考查数列的不等式的证明,考查等差数列的应用.
21.已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义可得，求出的值，从而得到抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数可得最值.
【详解】（1）由题意知，则，
∴，
∴抛物线的标准方程为；
（2）设直线（）
由，得，
∴，
∴，
即，
即，
∴，
设AB的中垂线方程为：，即，
可得点C的坐标为，
∵直线，即，
∴点C到直线AB的距离，
∴
令，则，

令，
∴，
令，则，在上；在上，
故在单调递增，单调递减，
∴当，即时，.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题.
22.已知函数.
（1）当时，设，为的两个不同极值点，证明：；
（2）设，为的两个不同零点，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，，为的两个不同极值点，转化为为方程的两不等正根，再利用韦达定理和基本不等式即可证明；
（2）要证明，只要证明和，分别利用导数进行证明即可.
【详解】(1)当时，，
，
为的两个不同极值点，
为方程的两不等正根，
，
且由韦达定理，

，
.
（2）要证明，
即，
下面分别证明和，
两式相加即得结论.
（i），
令，
即证
令函数，则，
在单调递增，在单调递减，
.
（ii）再证明，
即.
为的两个不同零点，不妨设，
①
②
①-②可得，
两边同时乘以，
可得，
即.
令，则.
即证，
即，
即证.
令函数，
则，
在单调递增，
.
由（i）（ii）可得，
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查考生的等价转化能力、数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大，是难题题.