湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三数学下学期6月适应性考试试题-理.doc

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 理

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 理

年级：
姓名：

- 28 -

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 理（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求出集合A与B，再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】；，
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.
3.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若则
D. 若,则
【答案】C
【解析】
【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误；
若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若，，，则为真命题, 正确；
若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有错误.
故选C.
考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.
4.给出下列结论：在回归分析中
（1）可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；
（3）可用相关系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
以上结论中，不正确是（ ）
A. （1）（3） B. （2）（3） C. （1）（4） D. （3）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
由越大，模型的拟合效果越好，越大，模型的拟合效果越好，相关系数越大，模型的拟合效果越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，作出判断即可.
【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；
用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确；
可用相关系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（3）不正确；
用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故（4）正确；
故选：B
【点睛】本题主要考查了相关系数和相关指数的性质，属于中档题.
5.已知，，满足，则实数a，b，c满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质确定出的范围，借助图象确定出的范围，即可得出的大小关系.
【详解】，
，
，即，画出和的图象，如图，

可知，
所以，故，
故选：A.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性以及图象，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
6.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则展开式中常数项为（ ）
A. 540 B. 480 C. 320 D. 160
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得求出的值，再利用二项式展开式的通项求出常数项.
【详解】由题得.
的通项为，
令.
所以展开式中的常数项为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数，考查二项式定理求指定的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和若，，且，则（ ）
A. 20 B. 30 C. 44 D. 88
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质可求出，再利用即可得解.
【详解】为等比数列，且，，
又 为等差数列，.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.
8.已知实数满足，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论，即可求解.
【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由，可得，直线的斜率为，在轴上的截距为，
则，
因为的最大值为，最小值为，
可知目标函数经过点时取得最大值，经过点时取得最小值，
若，则，此时目标函数经过点时取得最大值，经过点时取得最小值，满足条件；
若时，则目标函数的斜率为，
要使得目标函数在点时取得最大值，经过点时取得最小值，
则目标函数的斜率满足，解得，可得；
若，则目标函数的斜率为，
要使得目标函数在点时取得最大值，经过点时取得最小值，
则目标函数的斜率满足，解得，可得，
综上可得实数的取值范围是.
故选：B.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
9.已知是双曲线上任意一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为()，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A. 16 B. 2 C. 1或16 D. 2或8
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得为定值（用表示），再根据基本不等式求的最小值，最后根据最小值为1求的值.
【详解】双曲线中
设，则
所以相减得
因此
从而（当且仅当时取等号）
故选：A
【点睛】本题考查双曲线中有关斜率乘积为定值问题、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
10.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用平移变换得到，再根据图象得到，结合图象经过点，求得，，然后根据充分和必要条件的定义求解.
【详解】因为，
由函数的图象向左平移个单位长度，得到，
由图知：，
所以 ，解得，
所以，
又因为的图象经过点，
所以，
所以，
所以，
又因为，
解得，
所以，，
若，
则，故充分；
若，即，
解得，故不必要；
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，图象变换以及逻辑条件的判断，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
11.某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的分法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N95口罩，按照分类加法计数原理与分步乘法计数原理求解即可.
【详解】首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N95口罩：
①3个普通口罩分配到同一个班级，2个N95口罩分别分配到另外两个班级共种情况；
②3个普通口罩分别分配到3个班级(即每个班一个口罩)，2个N95口罩随机分配到3个班级共种情况；
③有1个班有1个普通口罩、1个班有2个普通口罩，剩余的1个班分配1个N95口罩，剩余的1个N95口罩随机分配共有种情况.
共有种分法.
故选：C
【点睛】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合，属于基础题.
12.锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
【详解】解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.

= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数，则_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求出，再求即得解.
【详解】由题得，
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查对数指数的运算，考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．
【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；
若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；
若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
综上所述，故B获得一等奖．
【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．
15.已知抛物线的焦点为，点，直线与抛物线在第一象限内交于点，直线与抛物线的准线交于点，若，则点到轴的距离为________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线的方程，再求出点的坐标，根据，即可求出答案.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，其准线方程为，
因为，所以直线的方程为，则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到的距离为.

【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，着重考查推理与运算能力
16.已知半径为的球面上有三点，，球心为，二面角的大小为60°，当直线与平面所成角最大时，三棱锥的体积为____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先表示出二面角的平面角，结合长度及垂直关系求出三棱锥的高，及底面积的最大值，代入体积公式可求体积.
【详解】设所在截面圆的圆心为的中点为D, 连接，
因为，所以，同理，
所以即为二面角的平面角， 即；
因为，所以
在中，，，所以，;
所以;
当直线与平面所成角最大时，三点共线，的面积为，
此时三棱锥的体积为.
故答案为：3.

【点睛】本题主要考查多面体和球的组合问题，综合了二面角，线面角及三棱锥的体积，综合性强，稍有难度，侧重考查数学运算及直观想象的核心素养.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列满足
证明数列为等比数列，求出的通项公式；
数列的前项和为，求证：对任意
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把已知等式的两边同时除以，然后再依据问题构造一个等比数列，可得到证明并能求；
（2）将各项进行放缩后得到一个等比数列，可求和，进而得到证明的问题.
【详解】（1）由有
数列是首项为，公比为的等比数列.

（2） ，
，
=
=
【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的证明、通项公式及求和公式，考查了由递推式构造新数列的方法，考查了放缩的技巧，属于中档题．
18.在四棱柱中，底面是正方形，且，．

（1）求证：；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，
又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.
试题解析：（1）连接，，，
因为，，
所以和均为正三角形，
于是．
设与的交点为，连接，则，
又四边形正方形，所以，
而，所以平面．
又平面，所以，
又，所以．
（2）由，及，知，
于是，从而，
结合，，得底面，
所以、、两两垂直．
如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
由，易求得．
设（），
则，即，
所以．
设平面的一个法向量为，
由得令，得，
设直线与平面所成角为，则
，
解得或（舍去），
所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）∵,设直线方程为,
令,则,∴,
∴∵，∴=,
整理得
∵点在椭圆上,∴,∴
∴即,∴
（2）∵可设,
∴椭圆的方程为
由得
∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P
∴,即
整理得
设则有,
∴
又,
若轴上存在一定点，使得,
∴恒成立
整理得,
∴恒成立,故
所求椭圆方程为
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.
20.湖北七市州高三5月23日联考后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，，2，…，42，与的相关系数．
（1）若不剔除两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的大小关系，并说明理由；
（2）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？
（3）从概率统计规律看，本次考试七市州的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值．试求七市州共50000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数的数学期望．
附：①回归方程中：
②若，则
③
【答案】（1），理由详见解析；（2），81分；（3）34135．
【解析】
【分析】
（1）根据正相关关系可判断，理由可从偏差大小与相关系数大小关系分析；
（2）先计算均值，再代入公式求，即得线性回归方程，最后令，求出值即为估计值；
（3）先确定区间（62.8，85.2）为，即可得对应概率，再根据二项分布公式可得数学期望.
【详解】【解】（1）．理由如下（任写一条或几条即可）：由图可知，与成正相关关系，
①异常点会降低变量之间的线性相关程度．
②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．
③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．
④42个数据点更贴近其回归直线．
⑤44个数据点与其回归直线更离散
（2）由题中数据可得：，
所以
又因为，所以，
，所以，
将代入，得，
所以估计同学的物理成绩为81
（3），
所以，又因为
所以
因为，所以，
即物理成绩位于区间（62.8，85.2）的的人数的数学期望为34135．
【点睛】本题考查相关系数、线性回归方程、利用线性回归方程估计、利用正态分布求特定区间概率、利用二项分布求数学期望，考查综合分析求解能力，属中档题.
21.已知函数．
（1）判断函数在区间上零点的个数；
（2）设函数在区间上的极值点从小到大分别为，证明成立
【答案】（1）3；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）先求出，再对分四个区间讨论得到在有3个零点；
（2）由题得，证明在有极小值点，即为，在有极大值点即为，在有极小值点，再证明，，即得证.
【详解】解（1）
当时，无零点；
当时，单调递减
又有唯一零点；
当时，单调递增
又有唯一零点；
当时，单调递减
又有唯一零点；
综上所述：在有3个零点.
（2），
由（1）知：在无极值点；在有极小值点，即为，
在有极大值点即为，在有极小值点，
又，
，，
可知 ，
由得
，
，
而，故有

在是增函数，，
即

.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分．
22.已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点轨迹的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.
【详解】（1）设的极坐标为，在中，有，
点的轨迹的极坐标方程为；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，
由得：，
由得：，

，

，
当，即时，，
的最大值为.
【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若正数、满足，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分别解出，再求并集即可；
（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.
详解】（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）
由（Ⅰ）得：
由（Ⅱ）得：
由（Ⅲ）得：.
原不等式的解集为；
（2），，，
，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当即时取等号，
.
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.