山东省德州市实验中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

山东省德州市实验中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

山东省德州市实验中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

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姓名：

6

山东省德州市实验中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题
一．单项选择题（共8小题，每小题5分，总40分）
1．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2+2n，则a2021＝（　　）
A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
2．若f'（x0）＝﹣2，则等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1，S5＝25，则＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知正项等比数列{an}中，a2a8+a4a6＝8，则log2a1+log2a2+⋅⋅⋅+log2a9＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　）

A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1
6．已知f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+……+2k（k∈N*），则（　　）
A．f（k+1）﹣f（k）＝2k+2 B．f（k+1）﹣f（k）＝3k+3
C．f（k+1）﹣f（k）＝4k+2 D．f（k+1）﹣f（k）＝4k+3
7．已知函数f（x）＝﹣+2xf′（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝（　　）
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
8．若函数f（x）＝e3x﹣e2x﹣ex﹣a存在零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．[﹣e，+∞） C．[﹣e2，+∞） D．[﹣1，+∞）
二．多选题（共4小题，总分20分）
9．下列各式正确的是（　　）
A．（sin）′＝cos B．（cosx）'＝sinx C．（sinx）′＝cosx D．（x﹣5）′＝﹣5x﹣6
10．满足下列条件的数列{an}（n∈N*）是递增数列的为（　　）
A． B． C．an＝1﹣2n D．
11．设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（　　）
A．d＞0 B．a8＝0 C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项
12．下列关于函数f（x）＝x3﹣3x2+2x的叙述正确的为（　　）
A．函数f（x）有三个零点
B．点（1，0）是函数f（x）图象的对称中心
C．函数f（x）的极大值点为
D．存在实数a，使得函数g（x）＝[f（x）]2+af（x）为增函数
三．填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13．已知数列{an}满足an+1＝3an+4，a1＝1，则a5＝　 　．
14．写出导函数是f'（x）＝x+的一个函数为　 　．
15．在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92＝100，则a5+a9＝　 　．
16．函数y＝+mx+2是R上的单调函数，则m的范围是　 　．
四．解答题（共6小题，总分70分）
17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
18．（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a1+a2＝﹣12，a4﹣a3＝6．
（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，求数列{bn}的通项公式．
19．（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：1×4+2×7+…+n（3n+1）＝n（n+1）2
20． （本小题满分12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx2+2，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若关于x的方程f（x）﹣k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
21.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和.
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝
（1）证明：g（x）＝xf（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）若f（x）＞对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
德州市实验中学2019级高二下学期期中考试数学试题答案
一． 选择题
1、A．2、D．3．A．4．B．5．D．6．B．7．A．8．D．
二．多选题（共4小题）
9．CD．10．BD．11．BD．12．ABC．
三．填空题（共4小题）
13．241．
14．f（x）＝x2+lnx，（答案不唯一）．
15．10．
16．[1，+∞）．
四．解答题（共5小题）
17．（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）∵f（0）＝1，f'（0）＝0，
∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0⇔y＝1．
（2）证明：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
∴f“（x）＝ex+2＞0，即得f'（x）在R上单调递增，
又因为f'（0）＝0，
所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；
综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
即得f（x）min＝f（0）＝1，
所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．
18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则有，解得a1＝﹣9，d＝6，所以an＝﹣9+（n﹣1）×6＝6n﹣15，
；
（2）因为b2＝a3，b3＝a7，所以b2＝3，b3＝27，
又{bn}为等比数列，所以公比q＝，所以．
19．证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，所以等式成立
（2）假设当n＝k时命题成立，即1×4+2×7+…+k（3k+1）＝k（k+1）2，
那么，当n＝k+1时，1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）＝k（k+1）2+（k+1）（3k+4）
＝（k+1）[（k+1）+1]2
即n＝k+1时，命题成立由（1）（2）知等式对任意的n∈N+均成立 ………………（10分）
20．解：函数f（x）＝ax3﹣bx2+2，
∴f'（x）＝3ax2﹣2bx，
（1）由题意知，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣2，
∴即，解得
故所求函数的解析式为f（x）＝x3﹣3x2+2；
（2）由（1）得f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
2
单调递减
﹣2
单调递增
因此，当x＝0时，f（x）有极大值2，当x＝2时，f（x）有极小值﹣2；
（3）若关于x的方程f（x）﹣k＝0有三个不同的实数解，
则f（x）＝k有三个实数根，
即y＝f（x）与y＝k有三个交点，
由（2）可得函数f（x）的图象：
所以实数k的取值范围为：﹣2＜k＜2．
21..解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是22．解：（1）证：由题意g（x）＝，g′（x）＝，（x＞1），令h（x）＝2xlnx﹣x+，（x＞1），则h′（x）＝2lnx+1﹣，由h′（x）在（1，+∞）递增，
而h′（1）＝0，故h（x）在（1，+∞）递增，由h（1）＝0，故g′（x）＞0，
g（x）在（1，+∞）递增；（2）若f（x）＞对x∈（1，+∞）恒成立，
则a＜在（1，+∞）恒成立，由（1）g（x）在（1，+∞）递增，
而＝＝2，故g（x）＞2，故a≤2．著作权属