宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题-文.doc

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 文

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 文

年级：
姓名：

14

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 文
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是(　　)
A．命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|＝5，则x≠5”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1<0”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
4.设函数f(x)＝lg (1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为(　　)
A．(－9，＋∞) B．(－9,1) C．[－9，＋∞) D．[－9,1)
5.设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

6.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．2
7.设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜c＜b B．c＜a＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
8.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
9.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
10.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－ C. D．
11.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．18
12．设函数f(x)的定义域为R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________.
14 .已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
16. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是__________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分) 已知a为实数，函数f(x＋a)＝(x＋a)|x|(x∈R)．
(1)若a＝1，求f(1)，f(2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(1)>2，求a的取值范围．
18.（12分）已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin2α的值； (2)求tanα－的值．
19（12分）已知函数f(x)＝ax－bex，且函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为a－1.
(1)求b的值； (2)求函数f(x)的最值；
20.（12分）某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f(t)表示学生注意力指标．
该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：
f(t)＝(a>0且a≠1)．
若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a的值；
(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
21.（12分）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
22.（12分）设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范围．

2020——2021年高三第一学期数学期中试卷（文科答案）
BADB CABD CABA
1.答案　B
解析　集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A∩B中元素的个数为2，故选B．
2.答案　A
解析　条件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故条件p：a2＋a≠0是条件q：a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．
3.答案　D
解析　A中，命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1≤0”，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选D．
4.答案　B
解析　f[f(x)]＝f[lg (1－x)]＝lg [1－lg (1－x)]，则⇒－9<x<1.故选B．
5.答案　C
解析　由解析式可知，当x>b时，y>0，由此可以排除A，B．又当x≤b时，y≤0，从而可以排除D．故选C．
6.答案　A
解析　∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A．
7.答案　B
解析　由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.
8.答案　D
解析　由图象知f(x)是减函数，所以0<a<1，又由图象在y轴上的截距小于1可知a－b<1，即－b>0，所以b<0.故选D．
9.答案　C
解析　由题意可得
或解得a>1或－1<a<0.故选C．
10.答案　A
解析　将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到f(x)＝sin的图象．再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin，因为x∈，所以2x－∈.当2x－＝－时，f(x)取得最小值，为－.
11.答案　B
解析　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10.故选B．

12.答案　A
解析　构造函数g(x)＝ex[f(x)－1]，∵f(x)－1＋f′(x)>0，∴g′(x)＝ex[f(x)－1＋f′(x)]>0，∴g(x)是R上的增函数，又f(0)＝2，∴g(0)＝1，∴exf(x)>ex＋1，即g(x)>g(0)，∴x>0.故选A．
第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 司长生批

13.答案　∪(2，＋∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数，

∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)>0⇒logx<－或logx>⇒x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)．
14.答案　－
解析　因为cos(75°＋α)＝，
所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－.
cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－.
所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－.

15.答案　6
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.
又b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，∴a＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
16.答案　
解析　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，①正确．
②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确．
综上，①④正确.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 司长生批
解　(1)若a＝1，则f(x＋1)＝(x＋1)|x|，
∴f(1)＝f(0＋1)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝2.
(2)令x＋a＝t，则x＝t－a，
∴f(t)＝t|t－a|，
∴f(x)＝x|x－a|(x∈R)．
(3)∵f(1)>2，
∴|1－a|>2，
∴a－1>2或a－1<－2，
∴a>3或a<－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
18. 司长生批
解　(1)coscos
＝cossin
＝sin＝－，
即sin＝－，
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－，
所以sin2α＝sin
＝sincos－cossin
＝－×－×＝.
(2)因为α∈，所以2α∈，
又由(1)知sin2α＝，所以cos2α＝－.
所以tanα－＝－＝
＝＝－2×＝2.

19．董红香批
解　(1)由题意，得f′(x)＝a－bex，
又f′(0)＝a－b＝a－1，∴b＝1.
(2)f′(x)＝a－ex.
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，f(x)没有最值；
当a>0时，令f′(x)<0，得x>ln a，
令f′(x)>0，得x<ln a，
∴f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递增，在区间(ln a，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在x＝ln a处取得唯一的极大值，即为最大值，且f(x)max＝f(ln a)＝aln az－a.
综上所述，当a≤0时，f(x)没有最值；
当a>0时，f(x)的最大值为aln a－a，无最小值．
20. 董红香批
解　(1)由题意得，当t＝5时，f(t)＝140，
即100·a－60＝140，解得a＝4.
(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，
所以f(5)>f(35)，
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4－60≥140，解得5≤t≤10；
②当10<t≤20时，f(t)＝340>140恒成立；
③当20<t≤40时，f(t)＝－15t＋640≥140，
解得20<t≤.
综上所述，5≤t≤.
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持－5＝分钟．

21寇西宁批 .解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)
＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由f＝，得sin＝1.
因为α∈(0，π)，所以－<α－<，
所以α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
22寇西宁批 .解　(1)由条件得f′(x)＝－(x>0)，
∵曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，
∴f′(e)＝0，即－＝0，得k＝e，
∴f′(x)＝－＝(x>0)，
由f′(x)<0得0<x<e，由f′(x)>0得x>e，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
当x＝e时，f(x)取得极小值，
且f(e)＝ln e＋＝2.
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知，对任意的x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，
即f(x1)－x1<f(x2)－x2恒成立，
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即当x>0时，k≥－x2＋x＝－2＋恒成立，
∴k≥.故k的取值范围是.