2021-2022学年高中数学-第三章-三角恒等变换章末测评课时分层作业新人教A版必修4.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末测评课时分层作业新人教A版必修4

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末测评课时分层作业新人教A版必修4

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姓名：

章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．1＋
C　[∵cos 75°＝sin 15°，
∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋×＝.]
2．化简cos2－sin2得(　　)
A．sin 2α B．－sin 2α
C．cos 2α D．－cos 2α
A　[原式＝cos 2
＝cos＝sin 2α.]
3．若sin x·tan x<0，则等于(　　)
A.cos x B．－cos x
C.sin x D．－sin x
B　[因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos x<0，
所以＝＝|cos x|
＝－cos x．]
4．若tan α＝2，则2cos 2α＋3sin 2α－sin2α的值为(　　)
A. B．－
C．5 D．－
A　[2cos 2α＋3sin 2α－sin2α＝2cos2α＋6sin αcos α－3sin2α＝＝＝.故选A.]
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
A　[tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－.]
6．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
B　[f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，
∴f(x)∈[－，]．]
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C　[在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，
∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．]
8．函数f(x)＝(1－cos 2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于(　　)
A. B.
C．1 D．0
B　[原式＝－cos 4x，所以最大值是A＝，T＝，所以f(AT)＝f＝.]
9．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是(　　)
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
C　[由根与系数的关系得：
tan α＋tan＝－，
tan αtan＝，
tan
＝
＝＝1，得c＝a＋b.]
10．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
B　[∵a⊥b，
∴a·b＝4sin＋4cos α－＝0，
即2sin α＋6cos α＝，
即sin α＋cos α＝，
sin
＝sin αcos＋cos αsin
＝－sin α－cos α
＝－(sin α＋cos α)
＝－×＝－.]
11．若ω≠0，函数f(x)＝图象的相邻两个对称中心之间的距离是，则ω的值是(　　)
A. B．±2
C．2 D．±1
D　[f(x)＝＝
＝tan，
由题意知函数f(x)的周期为×2＝π，
所以＝π，所以ω＝±1.]
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)
A. B. C.
D.
D　[∵P(1,4)，∴|OP|＝7，∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则cos的值是 ．
0　[∵2tan α·sin α＝3，
∴2·sin α＝3，
∴2sin2α＝3cos α，
∴2(1－cos2α)＝3cos α，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，
解得cos α＝或cos α＝－2(舍)．
又α∈，∴α＝－，
∴cos＝cos＝0.]
14．将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)sin x，则f(x)的表达式为 ．
2cos x　[∵y＝cos 2x，向右平移个单位，
y＝cos＝cos＝sin 2x＝f(x)·sin x，
∴f(x)＝＝2cos x，故答案为f(x)＝2cos x．]
15.＝ .
－4　[原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.]
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是 ．(把你认为正确的说法的序号都填上)
①②③　[∵f(x)＝cos＋cos
＝cos－sin
＝cos，
∴f(x)max＝，即①正确．
T＝＝＝π，即②正确．
f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
k＝0时，≤x≤，即③正确．
将函数y＝cos 2x向左平移个单位得
y＝cos≠f(x)，
所以④不正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos θ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
[解]　因为cos θ＝，θ∈(π，2π)，
所以sin θ＝－，tan θ＝－，
所以sin
＝sin θcos－cos θsin
＝－×－×＝－，
tan＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)∵sin －2cos ＝0，
则cos ≠0，
∴tan ＝2
∴tan x＝＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
19．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解]　(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x,2－cos x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值．
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
[解]　(1)因为m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)，
所以f(x)＝m·n＝cos x(2＋sin x)＋sin x(2－cos x)
＝2(sin x＋cos x)＝4sin，
所以函数f(x)的最大值为4.
(2)因为f(x)＝4sin＝1，
所以sin＝，
因为x∈，
所以x＋∈，
所以cos＝－，
所以cos＝cos
＝cos－sin
＝－×－×＝－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若f＝－，＜x＜时，求的值．
[解]　f(x)＝sin xcos ＋cosxsin ＋sinxcos －cosxsin ＋cos x
＝2sin xcos ＋cos x
＝sin x＋cos x
＝ sin，
∴f(x)的最大值为.
(2)f＝sin，
∴sin＝－，sin＝－，sin x－cos x ＝－，
∴sin x－cos x＝－两边平方得1－2sin xcos x＝，
∴2sin xcos x＝，
∴(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝，sin x＋cos x＝ sin，
当＜x＜，＜x＋＜2π，
sin x＋cos x＜0，∴sin x＋cos x＝－，
＝
＝
＝＝.
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．

[解]　过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，
OA＝2cos θ，
BH＝sin＝cos θ，
AH＝cos＝sin θ，
∴B(2cos θ＋sin θ，cos θ)，
OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2θ
＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin.
由0＜θ＜，
知＜2θ＋＜，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.