2016高三数学一轮复习第6章第5课时合情推理与演绎推理课时训练文新人教版.doc

【高考领航】2016高三数学一轮复习 第6章 第5课时 合情推理与演绎推理课时训练 文 新人教版

A级　基础演练
1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积V2，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．设数列的前n项和为Sn，由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a>b>0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n
解析：选A.选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
4．由两种花色组成的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)

A．26 B．31
C．32 D．36
解析：选B.有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
5．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知四面体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．所以四面体的体积为V四面体P­ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝，故选C.
6．(2015·山西四校联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.
解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
答案：nn
7．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__________________．
解析：观察分析、归纳推理．
观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
8．(2014·高考陕西卷)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为__________．
解析：观察分析、归纳推理．
f1(x)＝，f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，…，由数学归纳法得f2 014(x)＝.
答案：f2 014(x)＝
9．(2015·东北三校联考)在数列中，a1＝1，a2＝2，an＝(－1)n·2an－2(n≥3，n∈N*)，其前n项和为Sn.
(1)求a2n＋1关于n的表达式；
(2)观察S1，S2，S3，S4，…Sn，在数列的前100项中相等的项有多少对．
解析：(1)＝＝…＝＝－2，又a1＝1，从而a2n＋1＝(－2)n.
(2)由(1)及条件知，数列为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S1＝S3，S5＝S7，S9＝S11，…，故在的前100项中相等的项有25对．
B级　能力突破
1.如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于(　　)
A．33 B．31
C．17 D．15
解析：选B.根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号针，然后把最大的金属片移动到3号针，再用同样的方法从2号针移动到3号针，从而完成，因此只需根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．设f(n)是把n个金属片从1号针移到3号针过程中移动金属片的最少次数．n＝1时，f(1)＝1；n＝2时，小金属片→2号针，大金属片→3号针，小金属片从2号针→3号针，完成，即f(2)＝3＝22－1；n＝3时，小金属片→3号针，中金属片→2号针，小金属片从3号针→2号针，即用f(2)种方法把中、小两金属片移到2号针，将大金属片移到3号针，再用f(2)种方法把中、小两金属片从2号针移到3号针，完成，f(3)＝f(2)×2＋1＝3×2＋1＝7＝23－1；同理f(4)＝f(3)×2＋1＝7×2＋1＝15＝24－1，……，以此类推，f(n)＝f(n－1)×2＋1＝2n－1，故答案为31，故选B.
2．(2015·青岛模拟)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．
解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为×＋×＋×＋…＋×.
答案：×＋×＋×＋…＋×＝1－(n∈N*)
3．有下列各式：1＋＋>1,1＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：__________.
解析：观察给定的式子左边的分母是从1,2,3，…，直到2n＋1－1，式子的右边分母为2，分子为n＋1，故猜想此类不等式的一般形式为：1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
答案：1＋＋＋…＋>(n∈N*)
4．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为__________．
解析：根据23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.∵m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，∴m2－m＋1＝73，解得m＝9.故答案为9.
答案：9
5．椭圆中有如下结论：椭圆＋＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上，类比上述结论：双曲线－＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线__________上．
解析：将椭圆方程＋＝1中的x2变为x，y2变为y，右边变为0，得到椭圆＋＝1上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知：双曲线－＝1上斜率为1的弦的中点在直线－＝0上．不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则＝1，弦中点设为(x0，y0)，则x0＝，y0＝，将上述两端点代入双曲线方程得，两式相减得－＝0，－＝0，所以－＝0，化简得－＝0，－＝0，所以－＝0，于是(x0，y0)在直线－＝0上．
答案：－＝0
6．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
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