山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三数学12月第一次模拟考试试题.doc

山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三数学12月第一次模拟考试试题

山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三数学12月第一次模拟考试试题

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9

山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三数学12月第一次模拟考试试题（3班）
一、单选题（共8题；共16分）
1.已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－ 12 <x≤2}，若A＝B，则实数a的值为(    )
A. 0                                         B. － 12                                         C. 2                                         D. 5
2.已知i是虚数单位，复数z满足 𝑧(3+4𝑖)=1+𝑖 ，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（   ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.设函数 𝑓(𝑥)={(12)𝑥−7(𝑥<0)𝑥,(𝑥≥0),若𝑓(𝑎)<1 ，则实数a的取值范围是（   ）
A. （﹣∞，﹣3）            B. （1，+∞）            C. （﹣3，1）            D. （﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用 𝐼 (单位：瓦/米2 ， 即 𝑊m2 )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 𝐿 (单位：分贝)表示，它们满足换算公式： 𝐿=10lg𝐼𝐼0 ( 𝐿≥0 ，其中 𝐼0=1×10−12𝑊/m2 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（    ）
A. 15                                       B. 1100                                       C. 110                                       D. 120
5.已知偶函数 𝑓(𝑥) 满足对 ∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝑥+𝜋)=𝑓(𝑥) ，且当 𝑥∈(0,𝜋2) 时， 𝑓(𝑥)=1+cos𝑥 ，则 𝑓(−31𝜋6)= （    ）
A. 12                                   B. 32                                   C. 1−32                                   D. 1+32
6.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），，……，则第60个数对是（   ）

A. (7,5)                                   B. (5,7)                                   C. (2,10)                                   D. (10,1)
7.设a=20.3 ， b=0.32 ， c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A. a＜b＜c                             B. c＜b＜a                             C. c＜a＜b                             D. b＜c＜a
8.中心在原点的双曲线，一个焦点为 𝐹(0，3) ，一个焦点到最近顶点的距离是 3−1 ，则双曲线的方程是（   ）
A. 𝑦2−𝑥22=1                     B. 𝑥2−𝑦22=1                     C. 𝑥2−𝑦22=1                     D. 𝑦2−𝑥22=1
二、多选题（共4题；共12分）
9.新时代的中国能源发展，把清洁低碳作为能源发展的主导方向，优化能源生产布局和消费结构，基本形成了原煤、原油、天然气、非化石能源多轮驱动的能源生产体系.下图为2012年至2019年中国能源生产情况统计，则（    ）

A. 原煤在能源生产体系中所占比重最大，是保障能源供应的基础能源
B. 各类能源的产量在2016年都小幅回落
C. 非化石能源的生产量逐年增加
D. 原油和天然气的产量之和每年基本保持稳定
10.对任意两个实数 𝑎 ， 𝑏 ，定义 min{𝑎,𝑏}={𝑎,𝑎≤𝑏𝑏,𝑎>𝑏 若 𝑓(𝑥)=2−𝑥2 ， 𝑔(𝑥)=𝑥2 ，下列关于函数 𝐹(𝑥)=min{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)} 的说法正确的是（    ）
A. 函数 𝐹(𝑥) 是偶函数                                            B. 方程 𝐹(𝑥)=0 有三个解
C. 函数 𝐹(𝑥) 有4个单调区间                                   D. 函数 𝐹(𝑥) 有最大值为1，无最小值
11.已知 𝐹1,𝐹2 分别是双曲线 𝐶:𝑥2−𝑦2=1 的左右焦点，点 𝑃 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0 ，则下列结论正确的是（    ）
A. 双曲线 𝐶 的渐近线方程为 𝑦=±𝑥                     B. 以 𝐹1𝐹2 为直径的圆的方程为 𝑥2+𝑦2=1
C. 𝐹1 到双曲线的一条渐近线的距离为1                  D. 𝛥𝑃𝐹1𝐹2 的面积为1
12.如图，点M是棱长为2的正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中的线段 𝐴1𝐷 上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 存在点M，使 𝐶𝑀// 平面 𝐴1𝐵𝐶1                                 B. 不存在点M满足 𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1
C. 存在点M，使异面直线 𝐶1𝑀 与 𝐴𝐵 所成的角是60°     D. 二面角 𝐵−𝐶1𝐷−𝑀 的正弦值为 223
三、填空题（共4题；共4分）
13.在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足 |𝐵𝑀||𝐵𝐶|=|𝐶𝑁||𝐶𝐷| ，则 𝐴𝑀⋅𝐴𝑁 的取值范围是________.
14.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.
15.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 𝑀−𝐴𝐵𝐶 中, 𝑀𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶 , 𝑀𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=2 ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________．
16.已知函数f（x）=𝑚,𝑥>𝑚𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤𝑚 ， 若函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，则实数m的取值范围是________ 
四、解答题（共6题；共50分）
17.△𝐴𝐵𝐶 的内角 𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶 的对边分别为 𝑎 ， 𝑏 ， 𝑐 ，已知 3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=3𝑎 .
（Ⅰ）求角 𝐵 的大小；
（Ⅱ）若 𝑏=3 ，求 𝛥𝐴𝐵𝐶 的面积的最大值.
18.如图， 𝐴𝐵𝐶𝐷 是棱形， ∠𝐴𝐵𝐶=60∘,𝐴𝐶 与 𝐵𝐷 相交于点 𝑂 ，平面 𝐴𝐸𝐹𝐶⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，且 𝐴𝐸𝐹𝐶 是直角梯形， ∠𝐸𝐴𝐶=90∘,𝐶𝐹//𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐵=2,𝐶𝐹=4 .

（1）求证： 𝐵𝐷⊥𝐸𝐹 ；
（2）求二面角 𝐵−𝐷𝐸−𝐹 的余弦值.
19.数列 {𝑎𝑛} 满足 𝑎1=1 ， 𝑛𝑎𝑛+1=(𝑛+1)𝑎𝑛+𝑛(𝑛+1) ， 𝑛∈𝑁+ .
（1）证明：数列 {𝑎𝑛𝑛} 是等差数列；
（2）设 𝑏𝑛=3𝑛⋅𝑎𝑛 ，求数列 {𝑏𝑛} 的前 𝑛 项和 𝑆𝑛 .
20.某闯关游戏有这样一个环节：该关卡有一道上了锁的门，要想通过该关卡，要拿到门前密码箱里的钥匙，才能开门过关．但是密码箱需要一个密码才能打开，并且3次密码尝试错误，该密码箱被锁定，从而闯关失败．某人到达该关卡时，已经找到了可能打开密码箱的6个密码（其中只有一个能打开密码箱），他决定从中随机地选择1个密码进行尝试．若密码正确，则通关成功；否则继续尝试，直至密码箱被锁定．
（1）求这个人闯关失败的概率；
（2）设该人尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21.已知椭圆 𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 经过两点 (0,1),(3,12) .
（1）求椭圆 𝐸 的方程；
（2）若直线 𝑙:𝑥−𝑦−1=0 交椭圆 𝐸 于两个不同的点 𝐴,𝐵,𝑂 是坐标原点，求 𝛥𝐴𝑂𝐵 的面积 𝑆 ．
22.已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥+1(𝑎∈𝑅) ．
（1）当 𝑎=2 时，求 𝑓(𝑥) 在 (1 ， 𝑓 （1） ) 处的切线方程；
（2）当 𝑥∈[1 ， +∞) 时， 𝑓(𝑥)⩾0 恒成立，求 𝑎 的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 A
3.【答案】 C
4.【答案】 C
5.【答案】 D
6.【答案】 B
7.【答案】 B
8.【答案】A
二、多选题
9.【答案】 A,C,D
10.【答案】 A,B,C,D
11.【答案】 A,C,D
12.【答案】 A,D
三、填空题
13.【答案】 [1，4]
14.【答案】 y=2x
15.【答案】 24𝜋−82𝜋
16.【答案】﹣2≤m＜﹣1
四、解答题
17.【答案】 解：（Ⅰ）∵ 3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=3𝑎 ，
∴由正弦定理得， 3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin𝐴 .
∵ 𝐴+𝐵+𝐶=𝜋 ，
∴ 3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin(𝐵+𝐶) .
即 3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin𝐵cos𝐶+3cos𝐵sin𝐶 .
sin𝐵sin𝐶 =3cos𝐵sin𝐶
∵ sin𝐶≠0 ，∴ sin𝐵=3cos𝐵 .
∵ cos𝐵≠0 ，∴ tan𝐵=3 .∵ 𝐵∈(0,𝜋) ，∴ 𝐵=𝜋3 .
（Ⅱ）∵ 𝑏=3 ， 𝐵=𝜋3 ，∴由余弦定理得：
𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐×12≥2𝑎𝑐−𝑎𝑐=𝑎𝑐 ，
𝑎𝑐≤3 ，当且仅当 𝑎=𝑐 时取“=”
∴ 𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝑏≤12×3×32=334 .即 𝛥𝐴𝐵𝐶 的面积的最大值为 334
18.【答案】 （1）证明：在棱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，可得 𝐷𝐵⊥𝐴𝐶 ，
因为平面 𝐴𝐸𝐹𝐶⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，且交线为 𝐴𝐶 ，
所以 𝐷𝐵⊥ 平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 ，
因为 𝐸𝐹⊂ 平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 ，所以 𝐵𝐷⊥𝐸𝐹 .

（2）解：直角梯形 𝐴𝐸𝐹𝐶 中，由 ∠𝐸𝐴𝐶=90∘,𝐶𝐹//𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐵=2 ，得 𝐸𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 .
取 𝐸𝐹 的中点 𝑀 ，以 𝑂 为坐标原点，以 𝑂𝐴 为 𝑥 轴， 𝑂𝐵 为 𝑦 轴， 𝑂𝑀 为 𝑧 轴，建立空间直角坐标系，则 𝐵(0,3,0),𝐷(0,−3,0),𝐸(1,0,2),𝐹(−1,0,4) .
所以 𝐷𝐵=(0,23,0),𝐷𝐸=(1,3,2) .
设平面 𝐵𝐷𝐸 的法向量 𝑛1={𝑥,𝑦,𝑧} ，
由 {𝑛1⋅𝐷𝐵=23𝑦=0𝑛1⋅𝐷𝐸=𝑥+3𝑦+2𝑧=0 ，可取 𝑛1=(2,0,−1)
由 𝐷𝐹=(−1,3,4) .
设平面 𝐷𝐸𝐹 的法向量为 𝑛2=(𝑢,𝑣,𝑤) ，
同上得，可取 𝑛2=(1,−3,1) .
则 cos〈𝑛1,𝑛2〉=15×5=15 ，
即二面角 𝐵−𝐷𝐸−𝐹 的余弦值为 15 .
19.【答案】 （1）证明：由已知可得 𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛+1 ，即 𝑎𝑛+1𝑛+1−𝑎𝑛𝑛=1
所以 {𝑎𝑛𝑛} 是以 𝑎11=1 为首项，1为公差的等差数列

（2）解：由（1）得 𝑎𝑛𝑛=1+(𝑛−1)⋅1=𝑛 ，
所以 𝑎𝑛=𝑛2 ，从而 𝑏𝑛=𝑛⋅3𝑛
𝑆𝑛=1×31+2×32+3×33+⋯+𝑛⋅3𝑛①
3𝑆𝑛=1×32+2×33+3×34+⋯+（𝑛-1）⋅3𝑛+𝑛⋅3𝑛+1②
①－②得： −2𝑆𝑛=3+32+33+⋯+3𝑛−𝑛⋅3𝑛+1
= 3×(1−3𝑛)1−3−𝑛⋅3𝑛+1
所以 𝑆𝑛=(2𝑛−1)⋅3𝑛+1+34
20.【答案】 （1）解：设“密码箱被锁定”的事件为A
则 𝑃(𝐴)=5×4×36×5×4=12

（2）解：依题意，X的可能取值为1，2，3，
则 𝑃(𝑋)=16 ，
𝑃(𝑋=2)=5×16×5=16 ，
𝑃(𝑋=3)=5×46×5×1=23 ，
所以分布列为：
X
1
2
3
p
16
16
23
所以： 𝐸(𝑋)=1×16+2×16+3×23=52
21.【答案】 （1）解：由题意得: {𝑏2=13𝑎2+14𝑏2=1 , 解得: 𝑎=2,𝑏=1
即轨迹E的方程为 𝑥24+𝑦2=1 .

（2）解：记A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，
故可设AB的方程为x＝y＋1.
由 {𝑥2+4𝑦2=4𝑥=𝑦+1 消去x得5y2＋2y－3＝0，
所以 𝑦1=−1,𝑦2=35
设直线 𝑙 与 𝑥 轴交于点 𝑃(1,0)
S＝ 12 |OP||y1－y2|
S＝ 45 .
22.【答案】 （1）解： 𝑎=2 时， 𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥+1 ，
𝑓'(𝑥)=2(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+2𝑥+1 ，
故 𝑓 （1） =0 ， 𝑓' （1） =3 ，
故切线方程是： 𝑦=3(𝑥−1) ，
即 3𝑥−𝑦−3=0

（2）解：当 𝑥∈[1 ， +∞) 时， 𝑓(𝑥)⩾0 恒成立，
即 𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥⩾𝑥−1 ，
𝑥=1 时，显然成立，
𝑥>1 时，只需 𝑎⩾𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥 在 (1,+∞) 恒成立，
令 ℎ(𝑥)=𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥 ， (𝑥>1) ，
则 ℎ'(𝑥)=(−𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥2+1(𝑥2+𝑥)2𝑙𝑛2𝑥 ，
令 𝑚(𝑥)=(−𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥2+1 ， (𝑥>1) ，
则 𝑚'(𝑥)=2(1−𝑥)𝑙𝑛𝑥−3𝑥+2+1𝑥<0 ，
故 𝑚(𝑥) 在 (1,+∞) 递减，
故 𝑚(𝑥)<𝑚 （1） =0 ，
故 ℎ'(𝑥)<0 在 (1,+∞) 恒成立，
故 ℎ(𝑥) 在 (1,+∞) 递减，
而 lim𝑥→1𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥=lim𝑥→11(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+𝑥+1=12 ，
故 𝑎⩾12 ．