甘肃省静宁县第一中学2021届高三数学上学期第四次模拟考试试题-理.doc

甘肃省静宁县第一中学2021届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理

甘肃省静宁县第一中学2021届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理

年级：
姓名：

12

甘肃省静宁县第一中学2021届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 已知集合，，则集合中元素的个数为(        )
A． B． C． D．
2． 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为
“数学中的天桥”.当时，可以得到一个优美恒等式，该式将数学中五个重要的数（自然对数的底数，圆周率，虚数单位，自然数计数单位1和自然数0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式知，若复数的共轭复数为，则(       )
A． B．
C． D．
3． 刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在 割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”， 这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个 等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．若 运用割圆术的思想，则得到的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
4． 若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

6．已知等比数列中，有，数列是等差数列，且，则(       )
A． B． C． D．
7． 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
8． 若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（ ）
A． B．

C． D．
10．若将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
11．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
12．已知是定义在上的偶函数,当时,若，则
的大小关系（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知圆经过两点，，圆心在轴上，则圆的标准方程为______________.
14．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ____________．
15．在三棱锥中，底面，，且三棱锥的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_______________．
16．已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（12分）
在中，内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.

18．（12分）
已知圆
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（O为坐标原点），求的最小值．

19.（12分）
已知正项数列的前项和为，且满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.

20．（12分）
在底面为菱形的四棱柱中，
平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.

21．（12分）
已知函数
(1)若，求证：当时，
(2)若在上有且仅有1个极值点，求的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．已知直线（其中为参数，为倾斜角）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程，并求的焦点的直角坐标；
(2)已知点，若直线与相交于两点，且，求的面积.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）.
23．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求证：.
静宁一中2021届高三第四次月考数学(理科)参考答案
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
C
C
C
D
A
D
A
D
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14. 15． 16．
三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每题12分。第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答。
17.（12分）
解：（1）

∵，∴
∴ -------------------------6分
（2）
，，
------------------------12分
18.（12分）
解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零
设切线方程为，又圆，圆心到切线的距离等于圆的半径，，解得或
故所求切线的方程为： ----------------------6分
设，切线与半径垂直，
，整理得
故动点在直线上，由已知的最小值就是的最小值
而的最小值为到直线的距离 ---------------------12分
19.（12分）
解：（1），，
作差得（），
整理得，
所以（）
时，，∴或2
∵，∴.
∴是以2为首项，2为等公差的等差数列. ----------------------6分
（2），∴，，，
---------------------12分
20．（12分）
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面. -----------------4分
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面， -----------------6分
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴
设平面法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.- --------------------12分
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面 --------------------4分
（2）略，同方法一.
22. （10分）
解：（1）原方程变形为，
∵，
∴的直角坐标方程为，其焦点为. --------------------4分（2）把的方程代入得， --------------------5分
则，①
，
即，
平方得，②
把①代入②得，∴， -------------------8分
∵是直线的倾斜角，∴，
∴的普通方程为，且，
∴的面积为. --------------------10分
23．（10分）
【解析】（1）当时，
(2分)
--------------------5分

--------------------10分

21．（12分）