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2020-2021学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数教案 新人教A版必修第一册

2020-2021学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数教案 新人教A版必修第一册

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4.3.2 对数的运算

学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。

课程目标
1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；
2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.
数学学科素养
1.数学抽象：对数的运算性质；
2.逻辑推理：换底公式的推导；
3.数学运算：对数运算性质的应用；
4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；
难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。

一、 情景导入
回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、 预习课本，引入新课
阅读课本124-125页，思考并完成以下问题
1.对数具有哪三条运算性质？
2. 换底公式是如何表述的？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[点睛]　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
四、典例分析、举一反三
题型一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值:
(1)log2796+log224-12log284;
(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
【答案】(1)-12 (2)3
【解析】(1)(方法一)原式=log27×2496×84=log212=-12.
(方法二)原式=12log2796+log2(23×3)-12log2(22×3×7)
=12log27-12log2(25×3)+3+log23-1-12log23-12log27
=-12×5-12log23+2+12log23=-52+2=-12.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
解题技巧：（对数运算性质的应用）
1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
跟踪训练一
1.计算下列各式的值
(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0.
(2)2log32-log3329+log38-52log53.
【答案】(1) 5 (2) -7
【解析】(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0
=log3332+lg 52+lg 22+12+1

=32+2lg 5+2lg 2+32=3+2(lg 5+lg 2)

题型二 换底公式的应用
例2 计算下列各式的值:
(1);　(2)lg2lg3.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.
(2)原式=lg3lg4+lg3lg8lg2lg3=lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3
=lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.

解题技巧：（换底公式的应用）
1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.

2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
跟踪训练二
1.化简:
(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
【答案】(1) 3 (2)
【解析】(1)原式=log23·log26log23·log28log26=log28=3.
(2)原式=log23+12log23×log32+23log32
=32log23×53log32=52log23×log32
=52log23×1log23=52.
题型三 对数的综合应用
例3 (1)若3x=4y=36,求2x+1y的值;
(2)已知3x=4y=6z,求证:1x+12y=1z.
【答案】(1) 1 (2)
【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,
∴2x=2log336=2log3636log363=2log363=log369,
1y=1log436=1log3636log364=log364.
∴2x+1y=log369+log364=log3636=1.
(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
所以1x=1log3m=logm3,1y=1log4m=logm4,1z=1log6m=logm6.
故1x+12y=logm3+12logm4=logm3+logm412=logm3+logm2
=logm(3×2)=logm6=1z.
解题技巧：（对数的综合应用）
对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.
跟踪训练三
1.已知3a=7b=M,且2a+1b=2,求M的值?
【答案】37
【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,
所以2a+1b=2log3M+1log7M=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,
所以M2=63,因为M>0,所以M=63=37.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
4.3.2 对数的运算
1. 对数运算性质 例1 例2 例3
2. 换底公式

七、作业
课本126页习题4.3

本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.