解三角形三类经典题型.doc

解三角形三类经典类型

类型一 判断三角形形状
类型二 求范围与最值
类型三 求值专题

类型一 判断三角形形状
例1：已知△ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状．
解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC，∴ sinB=sinC ∴ B=C
由 得 ∴三角形为等腰直角三角形．
例２：在△ABC中，若Ｂ=，２b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=
由三角形内角和定理知sinA+sin()=,整理得 sin(A+)=1
∴A+,所以三角形为等边三角形.
例3：在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．
解：法1：由题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
法2：由已知得结合正、余弦定理得，
整理得 ∴
即三角形为等腰三角形或直角三角形
例4：在△ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；
（2）已知sinA=，试判断三角形的形状．
解：(1)由三角形内角和定理得　sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC－cosBsinC=0即sin(B－C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形.
(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得
，化简整理得
∴即三角形为直角三角形．
例5：在△ABC中，（1）已知a－b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状．
（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状．
解：（1）由已知结合余弦定理可得，整理得 ∴，∴三角形为等腰三角形或直角三角形
（2）由b=asinC可知 ，由c=acosB可知整理得，即三角形一定是直角三角形，∠A=，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰直角三角形．
例6：已知△ABC中，，且，判断三角形的形状．
解：由题意令，则
∵,由余弦定理得 ∴ ∴ 即△ABC为直角三角形．
7. 在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，，则△ABC的形状为______
8. 在ABC中，若，则A=

类型二 求范围与最值

1、在中，角所对的边分别为满足
，,,则的取值范围是
2、在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则＋的最大值是________．
解析　因为AD＝BC＝a，由a2＝bcsin A，解得sin A＝，再由余弦定理得cos A＝，得＋＝2cos A＋sin A，又A∈(0，π)，最大值为

解析几何或者几何法
1解析几何法：
2几何法：
方程有解，利用判别式求范围。
附例：
4、已知中，B=，且有两解，则边a的取值范围是
5、借力打力型求取值范围
附例：钝角三角形中，，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是 ？

6、 已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是
B
A
C
a
c
b

7、在△ABC中若,则的取值范围
8、已知中，B=，且有一解，则边a的取值范围是
9、已知中,,若该三角形有两解,则的取值范围是
10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2()，则a=
11、在锐角中，，，则的取值范围为 .
12、设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为
14、 在锐角三角形中，，则的取值范围是
15、 在锐角三角形中，，C既不是最大角，也不是最小角，求k值取值范围________.
，
16. 在钝角三角形中，已知则的取值范围为
类型三 求值专题
1、在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是 .
2、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________.
3、在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.

解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，
解得a＝k，b＝k，c＝k，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.答案：7∶5∶3
4、钝角三角形边长为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
5、在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为120，则a= .
6、如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是________．
7、在△ABC中，若C＝30°，AC＝3，AB＝3，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理得：＝，sinB＝sinC＝·＝，所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，S△＝AB×AC＝·3·3＝；当B＝120°时，S△＝AB×AC·sin30°＝.
答案：或
8、 仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入
附例：在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，则＋的值是____4____
9 海上有A、B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60º的视角，从B岛望C岛和A岛成75º的视角；则B、C间的距离是　　　　　　　　　海里.
10． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是　　　　　　　小时.
11、在中，若A＝600，，则__________． 4
12、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C为 .
13、在中，在ABC中，若，求.
解：由正弦定理知，，
，，，
，.