人教版初三数学旋转模型(含详细解析).doc

旋转模型
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主 题

教学内容
1. 巩固并掌握旋转的性质；
2. 结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；

1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
2、►旋转具有以下特征：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型
（一）正三角形类型
在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。

【例题】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是________.

（二）正方形类型
在正方形中，P为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。

【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD。

面. 

（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形中， ， 为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。

【例题】如图，在中，∠ ACB =900，BC=AC，P为内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求的度数。

典型例题
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如
一.求线段长.
例1. 如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且 AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。

【解析】：将 △ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B' 处，AE与EF重合，由旋转特征知：B'E⊥BC ，
四边形B'ECF 为长方形，∴CE=BF'=AB
 ∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6
∴CF=BC-CE=6-4=2

二.求角的大小

例2. 如图，在等边 中，点、分别为、上的两点，且，与交于点，求的大小。

【解析】：
因为,,
所以以的中心（等边三角形三条中线的交点）为旋转
中心，将顺时针旋转就得到了，
∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°

三.进行几何推理

例3. 如图，点在正方形的边上，平分，请说明成立的理由 。

  数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

例4、如图，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形吗？为什么？

【分析】：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°，而使A与C重合，此时问题得到解决.
【解析】：将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°，得ΔDP’C，再作ΔDP’C关于DC的轴对称图形ΔDQC，得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。
　　∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°，
　　∴△PDQ为等边三角形，∴∠PQD=60°.
　　∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°，
　　∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,，
　　∵PQ=QD=CQ ，∴∠PCQ＝∠DCQ＝15°        ∴∠PCD=30°∴∠PCB=60°
    ∵PC=BC=CD ∴ΔPBC为等边三角形

例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。

【分析】：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
【解析】：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴F'、B、E、C在一条直线上
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE

例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。

【分析】：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。
【解析】：由旋转的性质及特征可知：
∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'
∴在△BPP'中，
又∵AP的延长线正好经过P'点
∴∠AP'C＝90°
∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°
从而可得∠APB＝135°
例7、已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。
求证：AE＝FG

【分析】：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
【证明】：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'
∵正方形ABCD
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
∴AE＝CF'，AE⊥CF'
∵FG⊥AE
∴FG∥CF'
又∵正方形ABCD，AB∥CD
∴四边形GFF'C为平行四边形
∴CF'＝FG
∴AE＝FG
例8、如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。
求证：（1）OE⊥OF
（2）OE＝OF

【分析】：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
【证明】：∵正方形ABCD
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°
∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°
∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°
∴四边形EPFD为矩形
∴PE＝DF
又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°
∴∠APE＝45°
∴△AEP中，AE＝PE
∴AE＝DF
∵正方形ABCD为中心对称图形
∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合
∴A与D为对应点
又∵AE＝DF
∴E与F为对应点
由旋转变换的特征知：OE⊥OF，OE＝OF

例9. △ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。

【分析】：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。
而∠2＝∠4
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。
【解析】：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形

观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

一、选择题
1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　 ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4. 下列命题中的真命题是 ( )
A．全等的两个图形是中心对称图形. B．关于中心对称的两个图形全等.
C．中心对称图形都是轴对称图形. D．轴对称图形都是中心对称图形.
5. 如右图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
（第9题）

6. 如图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（　　 ）
A.顺时针旋转60° B. 顺时针旋转120° 　　C.逆时针旋转60°　 D. 逆时针旋转120°
C
A
B
D
(第10题)

二、填空题
(第13题)
7、 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为
B
A
C

(第12题)

8. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是 ．
9. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后，得到矩形AB′C ′D′，如果CD=2DA=2，
(第15题)
那么CC′=_________．
(第14题)

(第13题)

10. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至 少旋转____________度后能与原来图形重合．

三、解答题
11. 画出下列图形关于点O的对称图形(10分)

·
O

(第16题)

12. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上（15分）
(1)把△向上平移个单位后得到对应的△,画出△
(2)以原点为对称中心，再画出与△关于原点对称的△
A
B
C
O
x
y

(第17题)
(3)写出点坐标

探究题：
(第18题)
1. 已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.（15分）

若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否从线段AE、BE和AB中找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

2. 一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将 的直角顶点放在的斜边的中点处，设．（15分）
A
B
C
M
N
K
图（1）
A
B
C
M
N
K
图（2）
A
B
C
M
N
K
图（3）
D
G
（第19题）

（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（2）将图（1）中的绕顶点逆时针旋转，得到图（2），此时重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（3）如果将绕旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 ．

3、如图，P是等边△ABC内一点，PA=2，，PC=4，求BC的长。

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，求证： ．

5、如图正方形ABCD中，，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．

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