人教版初三数学旋转模型(含详细解析).doc

旋转模型授课日期时 间主 题教学内容1. 巩固并掌握旋转的性质；2. 结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。4、旋转不同类型（一）正三角形类型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。【例题】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是_.（二）正方形类型 在正方形中，P为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD。面.（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形中， ， 为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。【例题】如图，在中， ACB =900，BC=AC，P为内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求的度数。典型例题利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如一.求线段长.例1. 如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且 AEEF，AE=EF，求CF的长。【解析】：将 ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90，此时点B旋转到点B 处，AE与EF重合，由旋转特征知：BEBC ，四边形BECF 为长方形，CE=BF=ABCF+CE=BE+CE=BE+EC=BC=6CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小例2. 如图，在等边 中，点、分别为、上的两点，且，与交于点，求的大小。【解析】：因为,所以以的中心（等边三角形三条中线的交点）为旋转中心，将顺时针旋转就得到了， AME=180-AMC=180-120=60三.进行几何推理例3. 如图，点在正方形的边上，平分，请说明成立的理由。 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：例4、如图，正方形ABCD内一点P，PADPDA15，连结PB、PC，请问：PBC是等边三角形吗？为什么？ 【分析】：本题关键是说明PCDPBA30，利用条件可以设想将APD绕点D逆时针方向旋转90，而使A与C重合，此时问题得到解决.【解析】：将APD绕点D逆时针旋转90，得DPC，再作DPC关于DC的轴对称图形DQC，得CDQ与ADP经过对折后能够重合。PD=QDPDQ=90-15-15=60，PDQ为等边三角形，PQD=60.DQC=APD=180-15-15=150，PQC=360-60-150=150=DQC,，PQ=QD=CQ ，PCQDCQ15PCD=30PCB=60PC=BC=CDPBC为等边三角形例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分EAD交CD于点F，说明AEBEDF的理由。【分析】：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。【解析】：把ADF绕点A顺时针旋转90，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F的位置，根据旋转的性质得： 31，FBFD，AFBAFD ABCD为正方形 DABF90 F、B、E、C在一条直线上 又12EAB90 32EAB90 FAE290 又AFD190 AFB190 12 FAEAFB AEFEFBBEFDBE例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针旋转90，使AB与CB重合，BP到达BP处，AP到达CP处，若AP的延长线正好经过P，求APB的度数。【分析】：此题运用旋转将ABP绕点B顺时针旋转90，根据旋转性质求出BPC的度数即可。而BPC又是BPP与CPP之和，可各个击破，从而得解。【解析】：由旋转的性质及特征可知： PBP90，APPC，BPBP 在BPP中， 又AP的延长线正好经过P点 APC90 BPCAPCBPP135 从而可得APB135例7、已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AEFG。 求证：AEFG【分析】：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。【证明】：延长AB至F使BFBE，连结CF 正方形ABCD ABCB，ABC90 又CBF90，BEBF ABE绕点B顺时针旋转90可得CBF AECF，AECF FGAE FGCF 又正方形ABCD，ABCD 四边形GFFC为平行四边形 CFFG AEFG例8、如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PEAD于E，PFCD于F。 求证：（1）OEOF （2）OEOF【分析】：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。【证明】：正方形ABCD ADC90，DAC45 DEAD，PED90 PFCD，PFD90 四边形EPFD为矩形 PEDF 又PED90，DAC45 APE45 AEP中，AEPE AEDF 正方形ABCD为中心对称图形 AOD绕点O顺时针旋转90与DOC重合 A与D为对应点 又AEDF E与F为对应点由旋转变换的特征知：OEOF，OEOF例9. ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AEBFCD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。 （1）求1的度数； （2）判断GMH的形状。【分析】：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60，1是BCH的外角，可知123。 而24 14360，从而得证。【解析】：（1）等边ABC是旋转对称图形，且AEBFCD 所以，ABC绕旋转中心旋转120后，AEC、BFA、CDB能够重合 24 由123 14360 （2）同理可得：GMHMGH60 GMH是等边三角形观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。一、选择题1在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）ABCD2如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） 3在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个4. 下列命题中的真命题是 ( )A全等的两个图形是中心对称图形. B关于中心对称的两个图形全等.C中心对称图形都是轴对称图形. D轴对称图形都是中心对称图形.5. 如右图，四边形ABCD是正方形，ADE绕着点A旋转900后到达ABF的位置，连接EF，则AEF的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形（第9题）6. 如图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（ ）A.顺时针旋转60 B. 顺时针旋转120 C.逆时针旋转60 D. 逆时针旋转120CABD(第10题)二、填空题(第13题)7、 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为 BAC(第12题)8. 如图，COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在AB上，AOD90，则D的度数是 9. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90后，得到矩形ABC D，如果CD=2DA=2，(第15题)那么CC=_(第14题)(第13题)10. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至 少旋转_度后能与原来图形重合三、解答题11. 画出下列图形关于点O的对称图形(10分)O(第16题)12. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上（15分）(1)把向上平移个单位后得到对应的,画出(2)以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的ABCOxy(第17题)(3)写出点坐标探究题：(第18题)1. 已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.（15分）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否从线段AE、BE和AB中找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.2. 一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将 的直角顶点放在的斜边的中点处，设（15分）ABCMNK图（1）ABCMNK图（2）ABCMNK图（3）DG（第19题）（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为 ，周长为 （2）将图（1）中的绕顶点逆时针旋转，得到图（2），此时重叠部分的面积为 ，周长为 （3）如果将绕旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 3、如图，P是等边ABC内一点，PA=2，PC=4，求BC的长。4如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D、E在BC上，DAE=45，求证： 5、如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15，求AEF的面积15 / 15