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(完整word)大学物理授课教案真空中的静电场第三篇 电磁学第七章 真空中的静电场本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。71 电荷 库仑定律一、电荷1、电荷种类 正电荷负电荷作用 同性相斥异性相吸(一般地说:使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电子）2、电荷守恒定律电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律.它是物理学的基本定律之一。3、电荷量子化在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷的整数倍.这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。二、库仑定律点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点一样，是假想模型)库仑定律:真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比,与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部静电学的基础。数学表达式：受的作用力: 斥力(同号) 吸引(异号）采用国际单位制，其中的比例常数。写成矢量形式：令， （71）说明:是对是作用力，是由指到的矢量。对的作用力为:库仑定律的形式与万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力,后者只是引力，这是区别。72 电场 电场强度一、电场1、电荷间作用电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即两种看法 超距作用：电荷电荷到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着电场,其他带电体受到的电力是电场给予的，即场观点：电荷场电荷近代物理学证明后者是正确的。2、静电场的主要表现表现 电场力:放到电场中的电荷要受到电场力。电场力作功：电荷在电场中移动时,电场力要作功。二、电场强度从静电场的力的表现出发,利用试验电荷来引出电场强度概念来描述电场的性质.试验电荷（点电荷且很小），放入A点，它受的电场力为，试验发现，将加倍。则受的电场力也增加为相同的倍数,即实验电荷： 受力： 可见，这些比值都为,该比值与试验电荷无关，仅与A点电场性质有关，因此,可以用来描述电场的性质，定义： （72)为电荷的电场在A点处的电场强度.三、场强叠加原理试验电荷放在点电荷系所产生电场中的A点,实验表明在A处受的电场力是各个点电荷各自对作用力的矢量和，即： 按场强定义： （7-3）上式表明，点电荷系电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和,这称为场强叠加原理。四、场强计算1、点电荷电场的电场强度在A处产生的场强为：假设A处有试验电荷，受力为，有即 (7-4）由指向A，0 与同向(由)0 与反向（由）点电荷电场球对称。2、点电荷系电场的电场强度即 （7-5)3、连续带电体电场的电场强度把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有：产生场强为总场强4、电偶极子等量异号点电荷相距为，如图所示，这样一对点电荷称为电偶极子。由-的矢量叫做电偶极子的轴，叫做电偶极子的电矩。在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时，这个分子构成了一个电偶极子。例7-1：已知电偶极子电矩为，求电偶极子在它轴线的延长线上一点A的；电偶极子在它轴线的中垂线上一点B的.解:如图所取坐标， （与同向）如图所取坐标分立电荷产生场强的叠加问题。例72：设电荷均匀分布在半径为的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距 的p点的场强。解：如图所取坐标，x轴在圆环轴线上,把圆环分成一系列点电荷，部分在p点产生的电场为：根据对称性可知,0 ：沿x轴正向0 ：沿x轴负向(x轴上关于原点对称）结论：与圆环平面垂直，环中心处=0，也可用对称性判断.*，例73：半径为的均匀带电圆盘,电荷面密度为，计算轴线上与盘心相距的p点的场强。解：如图所示，x轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为、宽度为的圆环在p点产生的场强为:（均匀带电圆环结果)各环在p点产生场强方向均相同，整个圆盘在p点产生场强为：0：背离圆盘0：指向圆盘即与盘面垂直（关于盘面对称）讨论:时，变成无限大带电薄平板,，方向与带电平板垂直.例74:有一均匀带电直线，长为,电量为，求距它为处p点场强。解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷,段在p处产生场强为：由图知： 代中有： ，讨论：无限长均匀带电直线，,。即无限均匀带电直线，电场垂直直线，背向直线;，指向直线。例75：有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求在平面附近任一点场强。解：如图所取坐标，x轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于z轴的无限长窄条,阴影部分在p点产生场强为(无限长均匀带电直线结果)（由对称性可知)结论：无限大均匀带电平面产生均匀场,大小为 0背离平面0指向平面73 电力线 电通量一、电力线电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在.1、用电力线描述规定： 方向：电力线切线方向大小：的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=即 （即:某点场强大小=过该点并垂直于的面元上的电力线密度。）2、静电场中电力线性质不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求.二、电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用表示。下面分几种情况讨论。1、 匀强电场平面S与垂直.如图所示，由的大小描述可知:平面S与夹角为，如图所示,由的大小描述知:式中为的单位法线向量。2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量如图所示,在S上取面元，可看成平面，上可视为均匀，设为单位法向向量，与该处夹角为,则通过电场强度通量为:通过曲面S的电场强度通量为： （7-6）在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量 （7-7)注意：通常取面元外法向为正。74 高斯定理一、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理,现在从一简单例子讲起。1、 如图所示，为正点电荷,为以为中心以任意为半径的球面，上任一点处为：2、通过闭合曲面的电场强度通量为：（、同向）结论：与无关，仅与有关2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量在S内情形如图所示，在S内做一个以为中心，任意半径的闭合球面S1，由1知,通过S1的电场强度通量为。通过S1的电力线必通过S，即此时，通过S的电场强度通量为在S外情形。此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即穿入与穿出S面的电力线数相等，结论：S外电荷对无贡献在S内0 在S外3、点电荷情况在点电荷电场中，任一点场强为通过某一闭合曲面电场强度通量为:即 （7-8)上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式,高斯定理中闭合曲面称为高斯面。说明:以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛.后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。高斯定理表明,通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关,而与闭合曲面外的电荷无关。0时，不能说S内只有正电荷当 0时，不能说S内只有负电荷=0时,不能说S内无电荷注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。高斯定理说明与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不是说只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上,是由S内、外所有电荷产生的结果.高斯面可由我们任选。二、高斯定理应用举例下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法.可以看到,应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单.例76：一均匀带电球面，半径为，电荷为，求：球面内外任一点场强。解:由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点值相等。球面内任一点的场强以O为圆心,通过P1点做半径为的球面为高斯面，高斯定理为：与同向,且上值不变即均匀带电球面内任一点P1场强为零。注意:1)不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。2)非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。(在个别点有可能为零）球面外任一点的场强以O为圆心,通过P2点以半径做一球面作为高斯面，由高斯定理有:方向：沿方向（若，则沿方向)结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。0 图720例7-7：有均匀带电的球体，半径为，电量为，求球内外场强（8-13）。解:由题意知，电荷分布具有球对称性，电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射,在以O为圆心的任意球面上各点的相同。（1）球内任一点P的以O为球心，过P点做半径为的高斯球面S1，高斯定理为：与同向，且S1上各点值相等，沿方向.（若，则沿方向）结论：注意:不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。（2)球外任一点P2的以O为球心,过P2点做半径为的球形高斯面S2,高斯定理为：由此有：沿方向结论：均匀带电球体外任一点的场强,如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。曲线如左图.例78:一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为，求直线外任一点场强。解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的,的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P做半径为高为的圆柱高斯面，上底为S1、下底为S2,侧面为S3.高斯定理为： 在此,有：在S1、S2上各面元，前二项积分=0又 在S3上与方向一致，且=常数，即 由带电直线指向考察点.(若，则由考察点指向带电直线）上面结果将与例4结果一致。例79：无限长均匀带电圆柱面，半径为，电荷面密度为，求柱面内外任一点场强。解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点值相等。1）带电圆柱面内任一点P1的以OO为轴，过P1点做以为半径高为的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。高斯定理为：在此，有:在S1、S2上各面元，上式前二项积分=0，又在S3上与同向，且=常数，结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=02)带电柱面外任一点场强以为轴，过P2点做半径为高为的圆柱形高斯面，上底为S1,下底为S2，侧面为S3。由高斯定理有：=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=，由轴线指向P2.时，沿P2指向轴线结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强,如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。例710：无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求平面外任一点场强。解:由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的,场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的值相等.设P为考察点，过P点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S1，左端面为S2,侧面为S3，高斯定理为:在此，有:在S3上的各面元，第三项积分=0又 在S1、S2上各面元与同向,且在S1、S2上=常数，有：即：（均匀电场)垂直平面指向考察点（若，则由考察点指向平面）.此结论与例5完全一致。例711:有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）；2）。求：板内、外场强。解：1)设P1为板内任一点，有即：设P2为B右侧任一点（也可取在A左侧），即2）设P3为二板内任一点，即设P4为B右侧任一点（也可取在A左侧）即：上面,我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强,从这几个例子看出,用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的,但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面,从而很方便的计算出值。应用高斯定理时,要注意下面环节:1）分析对称性；2)适选高斯面；3)计算4）由高斯定理求出。7-5 静电场力的功 电势此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述静电场的性质。一、静电场力的功力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只与始末二位置有关，而与路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的功=势能增量的负值 （7-9）在此，我们研究一下静电力是否为保守力。1、点电荷情况点电荷置于O点,实验电荷由a点运动到b点。在c处,在位移内，静电力对的功为： （710)可见：仅与的始末二位置有关，而与过程无关。2、点电荷系情况设在的电场中，由场强迭加原理有：从中，静电场力的功为：上式左边每一项都只与始末二位置有关，而与过程无关，点电荷系静电力对作的功只与始末二位置有关，而与过程无关。3、连续带电体情况对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2中结论仍成立.综上所述，静电场力为保守力（静电场为保守力场)。在静电场中运动一周,静电力对它作功为： (代替)（711）此式表明，静电场中的环流=0（任何矢量沿闭合路径的线积分称为该矢量的环流）,这一结论叫做场强环流定律。静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定律。（710）、（7-11）等价，由（7-11）知，电场线不可能闭合)二、电势能 电势1、电势能:静电场为保守力场，可以引进相应势能的概念，此势能叫做电势能。设、为在a、b二点的电势能，可有 （7-12）电势能的零点与其他势能零点一样，也是任意选的，对于有限带电体,一般选无限远处(电势能只有相对意义，而无绝对意义)选，令b点在无穷远，有结论:在电场中某点的电势能=从该点移到电势能为零处电场力所作的功，在此,电势能零点取在无限远处。2、电势由表达式知,它与位置a有关,还有有关.但是且仅与位置a有关，而与无关.它如同一样，反映的是电场本身的性质，该物理量称为电势，记做，定义：为a点电势，选时，有 （713）选，有 （714）结论：电场中某一点a的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零处（即电势能为零处）静电力对它做的功。A点电势等于把单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。说明：1）为标量，可正、负或0.单位：2）电势的零点（电势能零点)任选.在理论上对有限带电体通常取无穷远处电势=0，在实用上通常取地球为电势零点.一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地方都可以方便地将带电体与地球比较，以确定电势。3）电势与电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，而电势能是电场中电荷与电场组成的系统所共有的，若电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存在的。4）场强的方向即为电势的降落方向。3。电势差：电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。 (7-15)结论：a、b二点电势差等于单位正电荷从静电力做的功。三、电势的计算1、点电荷电势：2、点电荷系电势设有点电荷,（716）结论:点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和，此结论为静电场中的电势叠加原理.3、连续带电体电势设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷,在a处产生电势为：整个带电体在a处产生的电势为：例7-12：均匀带电圆环、半径为,电荷为,求其轴线上任一点电势.解:如图所示，x轴在圆环轴线上,用解:圆环在其轴线上任一点产生的场强为（与x轴平行）方法二用电势叠加原理解把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，在p点产生电势为：整个环在p点产生电势为：讨论：1）处,2）时，环可视为点电荷。例7-13：一均匀带电球面,半径为，电荷为，求球面外任一点电势。解：如图所取坐标，场强分布为 0(球面内）(球面外)球面外任一点P1处电势（积分与路径无关,可沿方向）结论：均匀带电球面外任一点电势,如同全部电荷都集中在球心的点电荷一样.球面内任一点P2电势可见，球面内任一点电势与球面上电势相等。(球面内任一点,在球面内移动试验电荷时,无电场力作功，即电势差=0,有上面结论）例7-14：有二个同心球面，半径为、，电荷为，求二面的电势差.解：方法一用解在二球面间，场强为：方法二用电势叠加原理解内球面在二球面上产生电势分别为：外球面在二球面上产生电势分别为：二球面电势分别为：注意电势计算方法。76 等势面 场强与电势的关系一、等势面1、等势面：电势相等的点连接起来构成的曲面称为等势面.如：在距点电荷距离相等的点处电势是相等的，这些点构成的曲面是以点电荷为球心的球面。可见点电荷电场中的等势面是一系列同心的球面，如左图所示。2、场中等势面性质1）等势面上移动电荷时电场力不作功设:设点电荷沿等势面从a点运动到b点电场力作功为：2)任何静电场中电力线与等势面正交证：如下图所示，设点电荷自a沿等势面发生以位移，电场力作功为：在等势面上运动,，,，即故电力线与等势面正交，垂直于等势面.说明：在相邻等势面电势差为常数时,等势面密集地方场强较强。二、场强与电势关系是描述电场性质的物理量，他们应有一定的关系,前面已学过、之间有一种积分关系(无限远处）那么,、之间是否还存在着微分关系呢？这正是下面要研究的问题。如图所示,设a、b为无限接近的二点,相应所在等势面分别为、.单位正电荷从过程中,电场力作功=电势能增量负值,即 (717）又 代（717）中,有：是任意的，上式若成立必有两边相应系数相等，即 (7-18) （719） (7-20）（矢量式) （7-21）以上是场强与电势的微分关系.数学上,叫做的梯度，记作：（其中算符）（7-22）结论:电场中任一点场强等于电势梯度在该点的负值.例7-15：用场强与电势关系求点电荷产生的场强解：如图所取坐标，沿x轴正向，沿x轴负向。例7-16：一均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为。试求：1）盘轴线上任一点电势；2）由场强与电势关系求轴线上任一点场强。解：1）x轴与盘轴线重合，原点在盘上。以O为中心内半径为外半径为 的圆环在p处产生的电势为：整个盘在p点产生的电势为：2）,沿x正向；，沿x负向（p在处）例717:在x轴上放置一端在原点的长为的细棒上，每单位长度分布着的正电荷，其中为常数.若取无限远处电势=0，试求：1）y轴上任一点p的电位;2）试用场强与电位关系求解：1）段在y轴上任一点p产生的电势为整个棒在点产生的电势为2)，沿y正向；，沿y负向。7-7 电偶极子在电场中力矩如图所示,电偶极子在均匀电场中,力偶矩为：大小：矢量式: