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第六章 样本及抽样分布1。一 在总体N（52，6。32)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53。8之间的概率。解：2.二 在总体N（12，4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2，X3，X4,X5.（1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。（2）求概率P max （X1，X2，X3，X4,X5）15.（3）求概率P min (X1,X2，X3，X4,X5）10.解:(1） =(2）P max (X1，X2，X3，X4,X5)15=1P max (X1,X2，X3，X4，X5）15 =（3）P min （X1，X2,X3，X4，X5)0,为未知参数.（5）为未知参数.解：（1)，得（2)（5）E （X) = mp令mp = ，解得3三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1)似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。（解唯一)故为极大似然估计量.（5），解得 ，（解唯一)故为极大似然估计量。4四（2) 设X1，X1，Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试求的极大似然估计量及矩估计量.解：(1）矩估计 X ( ）,E （X ）= ,故=为矩估计量。(2）极大似然估计，为极大似然估计量。（其中5六 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率.求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：的极大似然估计值为=0.499四（1） 设总体X具有分布律X123Pk22（1)(1） 2其中（0 D (T2）所以T2较为有效。14。十四 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计）分别为6。0 5。7 5。8 6.5 7。0 6。3 5.6 6.1 5.0.设干燥时间总体服从正态分布N (,2）,求的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知=0.6（小时)（2）若为未知。解:（1)的置信度为0.95的置信区间为（），计算得（2)的置信度为0。95的置信区间为（）,计算得，查表t0。025(8）=2.3060。16。十六 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11（m/s)。设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间.解:的置信度为0。95的置信区间为其中=0。05， n=9查表知 19.十九 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率.设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20。得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差12的置信度为0。99的置信区间。解:12的置信度为0。99的置信区间为其中=0.01,z0。005=2.58，n1=n2=20, 20.二十 设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的.设两样本独立，求方差比的置信度为0。95的置信区间。解:的置信度为0。95的置信区间= （0.222, 3。601)。其中n1=n2=10，=0。05，F0。025(9,9）=4。03, 。第八章 假设检验1.一某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为（%)3.25 3。27 3.24 3。26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在 = 0。01下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体XN（, 2）,， 2均未知步骤：(1）提出假设检验H：=3。25; H1：3.25（2)选取检验统计量为（3）H的拒绝域为 t |(4）n=5, = 0.01,由计算知查表t0。005(4)=4。6041， （5）故在 = 0。01下，接受假设H02二 如果一个矩形的宽度与长度l的比，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型.下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为,试检验假设（取 = 0.05）H0： = 0.618H1：0。6180.693 0.749 0.654 0.670 0。662 0。672 0.615 0.606 0.690 0.628 0。6680。611 0.606 0。609 0。601 0。553 0。570 0.844 0.576 0。933。解:步骤：（1）H0： = 0。618；H1:0.618（2）选取检验统计量为（3）H0的拒绝域为 t |(4）n=20 = 0.05,计算知，（5）故在 = 0.05下,接受H0,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183。三 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为 =100小时的正态分布。试在显著水平 = 0。05下确定这批元件是否合格？设总体均值为。即需检验假设H0：1000，H1：1000。解：步骤：（1）1000；H1：1000;（ =100已知）（2）H0的拒绝域为（3）n=25， = 0.05，,计算知(4）故在 = 0。05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。12。十一 一个小学校长在报纸上看到这样的报导:“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取 = 0。05.（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在,当n充分大时近似地服从正态分布。）解：(1）提出假设H0:8;H1：8（2）当n充分大时,近似地服从N(0，1）分布（3）H0的拒绝域近似为z（4）n=100， = 0.05，S=2，由计算知（5）故在 = 0。05下，拒绝H0,即认为校长的看法是不对的。14.十三 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）.今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆），设总体为正态分布。问在水平 = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：（1）提出H0: 0。005；H1： 0。005(2）H0的拒绝域为（3)n=9， = 0。05，S=0.007,由计算知查表（4）故在 = 0。05下,拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大.15。十四 在题2中记总体的标准差为。试检验假设（取 = 0。05）H0： 2 =0.112，H1： 2 0.112。解:步骤（1)H0： 2 =0.112；H1： 2 0.112（2）选取检验统计量为（3)H0的拒绝域为（4)n=20, = 0。05，由计算知S 2=0.0925 2，查表知（5）故在 = 0.05，接受H0,认为总体的标准差为0。11.16.十五 测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布, 2为总体方差。试在水平 = 0.05下检验假设H0： 0。04%；H1： 0。04。解：（1）H0: 2 (0.04%）2；H1： 2 （0。04)2（2）H0的拒绝域为(3）n=10， = 0。05，S=0。037%,查表知由计算知（4）故在 = 0.05下,接受H0,认为大于0.04%17.十六 在第6五题中分别记两个总体的方差为。试检验假设(取 = 0。05)H0：以说在第6五题中我们假设是合理的.解：（1)H0：(2）选取检验统计量为（3）H0的拒绝域为（4)n1=8，n2=10， = 0。05,查表知F0.025（7，9）= 4。20F0.975（7，9）F F0.025（7,9）（5）故在 = 0。05下，接受H0，认为18。十七 在第8题七中分别记两个总体的方差为.试检验假设（取 = 0。05）H0:以说明在第8七题中我们假设是合理的。解：（1)H0：（2）选取检验统计量（3）n1=n2=12， = 0。05,查表知F0.025（11，11）= 3。34，由计算知（4）故在 = 0.05下，接受H0,认为24。二十三 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为错误个数fi01234567含fi个错误的页数36401920210问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取 = 0.05）。解：（1）H0:总体X( ）；H1：X不服从泊松布;（未知）（2）当H0成立时，的最大似然估计为（3）H0的拒绝域为（4）n=100对于j3,将其合并得合并后，K=4，Y=1查表知由计算知(5）故在 = 0。05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。