四川省邻水实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题-理.doc

四川省邻水实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

四川省邻水实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

年级：
姓名：

25

四川省邻水实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理
考试时间：100分钟；命题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（60分）
1．已知集合,集合,则( )
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．曲线与直线围成的图形的面积为（ ）
A． B．5 C．6 D．
4．若实数，满足不等式组，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．学校艺术节对、、、四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“、两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）
A．作品A B．作品B C．作品C D．作品D
7．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

正视图 侧视图
8题图
俯视图
A． B．
C． D． 9题图
9．为了配平化学方程式 ，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知一个球的半轻为3.则该球内接正六棱锥的体积的最大值为（ ）
A．10 B． C． D．
11．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（20分）
13．曲线在点处的切线方程为______．
14．在中，，则_____.
15．已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，若，且，则___________．
16．已知定义在上的函数满足：①对任意的，，；②当时，；③．若对于任意的两个正实数，，不等式恒成立，则实数的最小值是___________．
三、解答题（60分）
17．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
18．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.

19．随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；
（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；
（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式；线性回归方程x+，
其中

20．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是坐标原点，，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．

21．已知函数（ …是自然对数的底数）．
（1）若在内有两个极值点，求实数 a的取值范围；
（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线与曲线公共点的极坐标；
（2）设过点的直线交曲线于，两点，且的中点为，求直线的斜率．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学（理科）答案
1．C
【分析】
化简集合和,根据交集定义,即可求得.
【详解】

化简可得
根据指数函数是减函数
,即,故

故
故选:C.
【点睛】
本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.
2．C
【分析】
利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.
故选：C.
3．A
【分析】
根据定积分计算曲线围成图形的面积即可.
【详解】
由可得或，
故曲线与直线围成的图形的面积为.
故选：A
4．A
【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最大值和最小值，从而得结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，，．
在直线中，，表示直线的纵截距．
作出直线并平移，数形结合知当平移后的直线经过点时，取得最小值，且；当平移后的直线经过点时，取得最大值，且．所以.
故选：A．

5．D
【分析】
易知是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．
【详解】
由可知是偶函数，排除A；
当时，，则，可知在上单调递增，
且，，则存在，使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
且是在上唯一极小值点，
故选：D．
6．B
【分析】
若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；
若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；
若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
综上所述，故B获得一等奖．
7．C
【分析】
将函数转化为，再由平移变换得到，然后逐项判断.
【详解】
因为．其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，所以在间上不单调，故C错误；
当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．
故选：C
8．C
【分析】
先利用三视图判断对应的直观图以及长度关系，再利用空间几何体的体积公式计算组合体的体积即可.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱与一个半圆锥的组合体，直三棱柱的底面是底边长为8，底边上的高为3的等腰三角形，高为3，圆锥的底面半径为4，高为3，如图，

所以其体积为．
故选：C.
9．D
【分析】
比较方程的两边，由元素守恒可得的数量关系．
【详解】
结合元素守恒易知，，.
【点睛】
本题考查程序框图，考查推理论证能力.
10．C
【分析】
如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，则，令可得，利用导数可求出其最大值.
【详解】
如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，

则，
，
令，
则，
，
可得时，，单调递增；时，，单调递减，
，
故该球内接正六校锥的体积的最大值为.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数表示，利用导数进行计算.
11．B
【分析】
将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．
【详解】
，
所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
因为时，，
所以只需在上递减，
即，恒成立，
即时，恒成立，即恒成立，
只需
所以，
故选：B
12．D
【分析】
设，求得，得到联立方程组，求得，求得点到直线的距离，进而求得，得到，利用基本不等式，即可求得面积的最大值.
【详解】
由题意，不妨设在第一象限，
则双曲线在点处的切线方程为，所以，即
又因为，所以联立可得，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
所以．
令，则，因为，所以，所以，
可得，
当且仅当，即时，面积取得最大值．
故选：D.
【点睛】
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
13．
【分析】
利用导数的几何意义求曲线的切线方程.
【详解】
本题考查导数的几何意义．因为，所以．又，故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：
14．
【分析】
在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解.
【详解】
在中，因为，
所以，即，
解得，
故答案为：
15．6
【分析】
设的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得，故，根据求得，进而求得，从而求得，利用列方程，解方程求得的值.
【详解】
设的方程为，
则由得，

，
，又为锐角，．
不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴，
，垂足为，则
，
，
，故．
故答案为：6
【点睛】
直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式.

16．
【分析】
对，进行灵活赋值，可得到，，利用单调性的定义确定的单调性，结合，将恒成立转化为恒成立，然后分离参数、换元、构造函数，利用函数的单调性求解即可．
【详解】
取，则，解得或，
若，则对任意的，，与条件②不符，故．
对任意的，，
若存在使得，则，与矛盾，
所以对任意的，．
假设对任意的，，且，，因为，所以，则，即，所以函数在上单调递增．
又，所以，
从而，则，
令，则，，
设函数
所以
易得在上单调递减，在上单调递增，
从而，所以，则，
所以实数的最小值为，
【点睛】
关键点睛：求解本题的关键是利用函数的单调性去“”，进而分离参数，构造函数，并利用函数的单调性进行求解．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）设数列的公比为，求出等比数列的即得解；
（2）求出，，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）设数列的公比为，因为，所以，
因为是和的等差中项，所以.
所以化简得，因为公比，所以，所以.
所以.
（2）因为，所以，.
所以.
即.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1)由底面是菱形，，可得为等边三角形，再加上点是中点可证，进而可得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；
(2)由题意及(1)可以，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.
【详解】
证明：在菱形中，，为等边三角形.

又为的中点，
.
//，
.
底面，平面，
.
，平面，
平面.
是棱上的点，
平面.
.
（2）解：底面，，
建立如图所示空间直角坐标系，设，则.

，，，，，
.
由，
得.
设是平面的法向量，
由，得
令，则，则.
又平面的法向量为，
.
由题知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力及方程思想，属于中档题.
19．（1）；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．
【分析】
（1）先求得，再根据提供的数据求得，，写出回归直线方程；
（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）由题意得，

所以．
（2）由（1）知，，
所以当或时能获得总利润最大．
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据椭圆且经过点及的周长为，用待定系数法求标准方程；
（2）设直线的方程为，用“设而不求法”表示出，找到k、m的关系，从而把面积表示成m的函数，利用均值不等式求最值.
【详解】
（1）∵的周长为，
∴，∴．
将代入，得，解得．
∴椭圆的标准方程是．
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
将与联立并消去，整理得，
则，．
∵，
∴，
∴，
化简得，
∴或（舍去）．
当时，，则，得．
，
原点到直线的距离，
∴，
当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意．
∴面积的最大值是．
【点睛】
（1）待定系数法求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（3）方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，主要有两种解题方法：一是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解，如本题第（2）问将的面积用含的式子表示，并利用基本不等式求面积的最大值．
21．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）若在内有两个极值点，则在内有两个不相等的变号根，等价于在上有两个不相等的变号根．令，分类讨论有两个变号根时的范围；（2）化简原式可得：，分别讨论和时的单调性，可得的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合的单调性可以得到零点个数.
【详解】
（1）由题意可求得，
因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，
即在上有两个不相等的变号根．
设，则，
①当时，，
所以在上单调递增，不符合条件．
②当时，令得，
当，即时，，
所以在上单调递减，不符合条件；
当，即时，，
所以在上单调递增，不符合条件；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
若要在上有两个不相等的变号根，则，解得．
综上所述，．
（2）设，
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．
（ⅰ）当时，，则，所以．
因为，所以，因此在上单调递增．
（ⅱ）当时，，则，所以．
因为即，又 所以，因此在上单调递减．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，
当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，
当，即时，
①当时，，要使，可令，即；
②当时，，要使，
可令，即，
所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，
综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，
当时，关于x的方程根的个数为1，
当时，关于x的方程根的个数为2．
【点睛】
本题考查已知极值点的个数求参数，以及分类讨论求函数的零点个数问题，属于难题.
关键点点睛：分类讨论求函数的零点时，（1）先从函数有无零点得到参数的一个范围；（2）函数有零点时，再判断函数零点是否在给定区间内，得到参数下一步的范围.
22．【答案】（1）直线与曲线公共点的极坐标为，；（2）．
【解析】（1）曲线的普通方程为，
直线的普通方程为，
联立方程，解得或，
所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．
（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），
代入，整理得．
因为的中点为，则．
所以，即．直线的斜率为．
已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|2x＋a|＋2|x－|＋1的最小值为2.
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），可化为，
即或或，
解得或或；不等式的解集为．
（2）在恒成立，
，
由题意得，，所以．