江苏省徐州市2015-2016学年高一(上)期末数学试.doc

2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）
1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁UA={2}，则m=　　　　　　．

2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是　　　　　　．

3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=　　　　　　．

4．sin240°=　　　　　　．

5．已知向量，，且，则x的值为　　　　　　．

6．若sinα=，，则tanα的值为　　　　　　．

7．已知，，且，则向量与的夹角为　　　　　　．

8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=　　　　　　．

9．若角α的终边经过点 P（1，2），则sin2α﹣cos2α=　　　　　　．

10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为　　　　　　．

11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是　　　　　　．

12．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是　　　　　　．

13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是　　　　　　．

14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是　　　　　　．

二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知集合 A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．
（1）用列举法表示集合A和B；
（2）求A∩B和A∪B；
（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若，求函数f（x）的值域．

17．设向量，，且．求：
（1）tanα；
（2）；
（3）sin2α+sinαcosα．

18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．
（1）求•；
（2）若=2，求•；
（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．

19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．
（1）试写出利润 P（x）和Q（x）的函数关系式；
（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？

20．已知函数f（x）=ax+a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；
（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．

2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）
1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁UA={2}，则m=　3　．
【考点】补集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由全集U及A的补集，确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．
【解答】解：∵全集U={1，2，3}，且∁UA={2}，
∴A={1，3}
∵A={1，m}，
∴m=3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是　（1，+∞）　．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．
【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1
函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）
故答案为（1，+∞）
【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．

3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=　﹣2　．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【专题】计算题；方程思想．
【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求α
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），
∴2α==2﹣2
∴α=﹣2
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．

4．sin240°=　　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．
【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：
sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．

5．已知向量，，且，则x的值为　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；构造法；平面向量及应用．
【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：∵向量，，且，
∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，
解得x=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．

6．若sinα=，，则tanα的值为　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．
【解答】解：∵sinα=，，
∴cosα==﹣=﹣，
∴tan==﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．

7．已知，，且，则向量与的夹角为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，
∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，
∴cosθ=，
∵0≤θ≤π，
∴θ=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，和三角函数值，属于基础题．

8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=　2　．
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3）＜0，可得x0∈（2，3），从而求得 k的值．
【解答】解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．
再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，
故x0∈（2，3），∴k=2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．

9．若角α的终边经过点 P（1，2），则sin2α﹣cos2α=　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα，由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的终边经过点 P（1，2），
∴，
∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．

10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为　7　．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．
【分析】根据平面向量的加法运算，利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．
【解答】解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），
∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），
即，
解得，
∴m+n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．

11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是　a＞﹣　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；
而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；
若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），
又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，
解可得a＞﹣；
即a的取值范围是a＞﹣；
故答案为：a＞﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．

12．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是　　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．
【解答】解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，
由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）
对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，
函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）
故应填（﹣∞，﹣）
【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．

13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是　（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）　．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．
【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，
，
∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，
∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，
令g（x）=x2+bx+3b﹣2，
若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，
则，
解得，﹣＜b＜6﹣2，
若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，
则，
无解；
若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，
令g（x）=x2+bx+3b﹣2，
则，
解得，﹣2≤b＜﹣；
故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．
【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．

14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是　（﹣1，1）∪{﹣}　．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．
【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，
故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．
由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，
故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，
如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，
故 1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，
故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．

【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．

二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知集合 A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．
（1）用列举法表示集合A和B；
（2）求A∩B和A∪B；
（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的表示法．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】（1）找出A与B中不等式的整数解，分别确定出A与B即可；
（2）由A与B，求出A与B的交集，并集即可；
（3）由B，C，以及B与C的交集仅有3个元素，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；
（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；
（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，
∴实数a的取值范围为1＜a≤2．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若，求函数f（x）的值域．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x=处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间．
（3）由，可求，利用正弦函数的性质可得，从而得解．
【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…
因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，
所以，即，所以ω=2，…
将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，
因为，所以，…
所以．…
（2）令，k∈Z，…
解得，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间是． …
（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）
（3）当，，，…
所以函数f（x）的值域是． …
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题．

17．设向量，，且．求：
（1）tanα；
（2）；
（3）sin2α+sinαcosα．
【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，即可解得tanα．
（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．
（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．
解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0即可解得tanα．
（2）由，解得sinα，cosα的值，代入即可得解．
（3）由（2），代入数值得．
【解答】（本题满分为14分）
解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…
解得tanα=2． …
（2）…
=． …
（3）…
==． …
解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…
解得tanα=2． …
（2）由，解得或．…
将数值代入得=3． …
（3）由（2），代入数值得． …
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题．

18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．
（1）求•；
（2）若=2，求•；
（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．

【考点】向量在几何中的应用．
【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】（1）代入数量积公式计算；（2）用表示，代入数量积公式计算；（3）建立平面直角坐标系，用λ表示出的坐标，代入数量积公式计算，求出关于λ的函数最值．
【解答】解：（1）•=AB•AD•cos∠BAD=1×1×cos60°=．
（2）∵=2，∴ ==（），∴•=（）•=+=+×=1．
（3）以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（，）．C（，）．
∴， =（，）．
∵=λ，∴ =（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．
∴==（，），==（，），
∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．
∴当λ=1时， •最小， 的最小值是．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．
（1）试写出利润 P（x）和Q（x）的函数关系式；
（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？

【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），能求出P（x），设，代入（4，1.2），能求出Q（x）．
（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元．
【解答】解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），
解得，所以，…
设，代入（4，1.2），解得，
所以．…
（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，
利润总和为，0≤x≤3，…
记，则，…
此时，…
当，即时，g（t）取得最大值． …
答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，
最大获利为1.05万元． …
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用．

20．已知函数f（x）=ax+a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；
（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．
【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】（1）函数f（x）的定义域为R．计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出．
（2）x∈（0，1）时，ax＞0.0＜g（x）===，即可得出函数g（x）的值域．
（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R．
f（﹣x）=a﹣x+ax=f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
（2）x∈（0，1）时，ax＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．
（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．
h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，
当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；
当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．
综上可得：m=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．

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