江苏省徐州市2015-2016学年高一(上)期末数学试.doc

2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1已知全集U=1，2，3，A=1，m，UA=2，则m=2函数y=log2（x1）的定义域是3幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），则=4sin240=5已知向量，且，则x的值为6若sin=，则tan的值为7已知，且，则向量与的夹角为8若方程lnx+x=3的根x0（k，k+1），其中kZ，则k=9若角的终边经过点 P（1，2），则sin2cos2=10已知向量=（2，1），=（1，2），若m=（9，8）（m，nR），则m+n的值为11已知函数g（x）=x3+x，若g（3a2）+g（a+4）0，则实数a的取值范围是12若函数f（x）=loga（2x2+x）（a0，a1）在区间恒有f（x）0，则f（x）的单调递增区间是13已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是14若方程2sin2x+sinxm2=0在0，2）上有且只有两解，则实数m的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知集合 A=x|0x5，xZ，B=x|2x4，xZ（1）用列举法表示集合A和B；（2）求AB和AB；（3）若集合C=（，a），BC中仅有3个元素，求实数a的取值范围16已知函数f（x）=Asin（x+）（ A0，0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域17设向量，且求：（1）tan；（2）；（3）sin2+sincos18如图，在菱形ABCD中，AB=1，BAD=60，且E为对角线AC上一点（1）求；（2）若=2，求；（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=（01）当为何值时，可使最小，并求出的最小值19某民营企业生产甲乙两种产品根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）（1）试写出利润 P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20已知函数f（x）=ax+ax（a0且a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a2x2mf（x）的最小值为7，求实数m的值2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1已知全集U=1，2，3，A=1，m，UA=2，则m=3【考点】补集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由全集U及A的补集，确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m【解答】解：全集U=1，2，3，且UA=2，A=1，3A=1，m，m=3故答案为：3【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）【考点】对数函数的定义域【专题】计算题【分析】由函数的解析式知，令真数x10即可解出函数的定义域【解答】解：y=log2（x1），x10，x1函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）故答案为（1，+）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键3幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），则=2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】计算题；方程思想【分析】幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求【解答】解：幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），2=22=2故答案为：2【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数4sin240=【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】由诱导公式sin（180+）=sin和特殊角的三角函数值求出即可【解答】解：根据诱导公式sin（180+）=sin得：sin240=sin（180+60）=sin60=故答案为：【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180+）=cos进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力5已知向量，且，则x的值为【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】转化思想；构造法；平面向量及应用【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可【解答】解：向量，且，3x（1）（1）=0，解得x=故答案为：【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目6若sin=，则tan的值为【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cos，从而可求tan的值【解答】解：sin=，cos=，tan=故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题7已知，且，则向量与的夹角为【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用【分析】设向量与的夹角为，根据向量的数量积运算即可得到cos=，问题得以解决【解答】解：设向量与的夹角为，且，（3）（）=|3|cos=31012cos=36，cos=，0，=，故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，和三角函数值，属于基础题8若方程lnx+x=3的根x0（k，k+1），其中kZ，则k=2【考点】二分法求方程的近似解【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】由题意可得可得x0是函数f（x）=lnx+x3 的零点再由f（2）f（3）0，可得x0（2，3），从而求得 k的值【解答】解：令函数f（x）=lnx+x3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x3 的零点再由f（2）=ln21=ln2lne0，f（3）=ln30，可得f（2）f（3）0，故x0（2，3），k=2，故答案为 2【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题9若角的终边经过点 P（1，2），则sin2cos2=【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sin，cos，由此能求出结果【解答】解：角的终边经过点 P（1，2），sin2cos2=（）2（）2=故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用10已知向量=（2，1），=（1，2），若m=（9，8）（m，nR），则m+n的值为7【考点】平面向量的坐标运算【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用【分析】根据平面向量的加法运算，利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可【解答】解：向量=（2，1），=（1，2），m=（2m+n，m2n）=（9，8），即，解得，m+n=7故答案为：7【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题11已知函数g（x）=x3+x，若g（3a2）+g（a+4）0，则实数a的取值范围是a【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a2）+g（a+4）0变形为g（3a2）g（a+4）=g（a4），由函数的单调性可将其转化为3a2a4，解可得答案【解答】解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（x）=x3x=g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g（x）=2x2+1，则g（x）0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a2）+g（a+4）0，即g（3a2）g（a+4）=g（a4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a2a4，解可得a；即a的取值范围是a；故答案为：a【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性12若函数f（x）=loga（2x2+x）（a0，a1）在区间恒有f（x）0，则f（x）的单调递增区间是【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题【专题】计算题【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x，得2x2+x（0，1），至此可由恒有f（x）0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可【解答】解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a0，a1）在区间恒有f（x）0，由于x，得2x2+x（0，1），又在区间恒有f（x）0，故有a（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（，）故应填（，）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键13已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（，62）2，）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x2+bx+3b2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b2=0有4个不同的实数根，x2+bx+3b2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b2，若2个不同的实数根都在2，2）上，则，解得，b62，若2个不同的实数根都在（3，+）上，则，无解；若分别在2，2），（3，+）上，令g（x）=x2+bx+3b2，则，解得，2b；故答案为：（，62）2，）【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用14若方程2sin2x+sinxm2=0在0，2）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（1，1）【考点】三角函数的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在0，2）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围【解答】解：由于方程2sin2x+sinxm2=0在0，2）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在0，2）上有且只有两个交点由于sinx在（1，1）上任意取一个值，在0，2）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx1，1，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（1，1）上有且只有一个交点，如图所示：当t=时，y=，故 1m+23或m+2=，求得1m1或m=，故答案为：（1，1）【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知集合 A=x|0x5，xZ，B=x|2x4，xZ（1）用列举法表示集合A和B；（2）求AB和AB；（3）若集合C=（，a），BC中仅有3个元素，求实数a的取值范围【考点】交集及其运算；集合的表示法【专题】计算题；集合思想；集合【分析】（1）找出A与B中不等式的整数解，分别确定出A与B即可；（2）由A与B，求出A与B的交集，并集即可；（3）由B，C，以及B与C的交集仅有3个元素，确定出a的范围即可【解答】解：（1）由题意得：A=x|0x5，xZ=0，1，2，3，4，5，B=x|1x2，xZ=1，0，1，2；（2）A=0，1，2，3，4，5，B=1，0，1，2，AB=0，1，2，AB=1，0，1，2，3，4，5；（3）B=1，0，1，2，C=（，a），且BC中仅有3个元素，实数a的取值范围为1a2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键16已知函数f（x）=Asin（x+）（ A0，0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得的值，利用函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，）在x=处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间（3）由，可求，利用正弦函数的性质可得，从而得解【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以=2，将点代入f（x）=3sin（2x+），得，因为，所以，所以（2）令，kZ，解得，kZ，所以f（x）的单调减区间是 （结果未写出区间形式或缺少kZ的，此处两分不得）（3）当，所以函数f（x）的值域是 【点评】本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题17设向量，且求：（1）tan；（2）；（3）sin2+sincos【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】解法一：（1）由ab，得2cossin=0，即可解得tan（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解解法二：（1）由ab，得2cossin=0即可解得tan（2）由，解得sin，cos的值，代入即可得解（3）由（2），代入数值得【解答】（本题满分为14分）解：解法一：（1）由ab，得2cossin=0，解得tan=2 （2）= （3）= 解法二：（1）由ab，得2cossin=0，解得tan=2 （2）由，解得或将数值代入得=3 （3）由（2），代入数值得 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题18如图，在菱形ABCD中，AB=1，BAD=60，且E为对角线AC上一点（1）求；（2）若=2，求；（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=（01）当为何值时，可使最小，并求出的最小值【考点】向量在几何中的应用【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用【分析】（1）代入数量积公式计算；（2）用表示，代入数量积公式计算；（3）建立平面直角坐标系，用表示出的坐标，代入数量积公式计算，求出关于的函数最值【解答】解：（1）=ABADcosBAD=11cos60=（2）=2， =（），=（）=+=+=1（3）以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（，）C（，）， =（，）=， =（，0），=（1，0）=（，），=（，），=（）（）+=22=（1）2+当=1时， 最小， 的最小值是【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题19某民营企业生产甲乙两种产品根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）（1）试写出利润 P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），能求出P（x），设，代入（4，1.2），能求出Q（x）（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元【解答】解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，设，代入（4，1.2），解得，所以（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3x万元，利润总和为，0x3，记，则，此时，当，即时，g（t）取得最大值 答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元 【点评】本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用20已知函数f（x）=ax+ax（a0且a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a2x2mf（x）的最小值为7，求实数m的值【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用【分析】（1）函数f（x）的定义域为R计算f（x）与f（x）的关系，即可判断出（2）x（0，1）时，ax0.0g（x）=，即可得出函数g（x）的值域（3）f（1）=a+a1，解得a=2h（x）=（2x+2xm）2m22，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为Rf（x）=ax+ax=f（x），函数f（x）为偶函数（2）x（0，1）时，ax0.0g（x）=，函数g（x）的值域为（3）f（1）=a+a1，解得a=2h（x）=a2x+a2x2mf（x）=22x+22x2m（2x+2x）=（2x+2xm）2m22，当m2时，h（x）的最小值为h（0）=24m=7，解得m=，舍去；当m2时，h（x）的最小值为m2，m22=7，解得m=综上可得：m=【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题第18页（共18页）