初三数学圆与圆的位置关系;弧长和扇形的面积湘教版知识精讲.doc

初三数学圆与圆的位置关系；弧长和扇形的面积湘教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
§3.3 圆与圆的位置关系
§3.4 弧长和扇形的面积、圆锥的侧面展开图

［教学目标］
（一）知识与技能要求
1. 了解圆与圆之间的几种位置关系。
2. 了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系。
3. 了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并能利用这些公式解决有关问题。
4. 了解圆锥的侧面展开图是一个扇形，掌握圆锥的侧面积计算公式，并会用公式解决问题。
（二）过程与方法要求
1. 经历探索两个圆之间位置关系的过程。
2. 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。
3. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，体会扇形与圆锥的侧面之间的关系。
（三）情感态度与价值观要求
1. 积极参与探索活动，并在活动中多动手、动脑，多与同伴交流。
2. 体验通过观察、操作实验等活动可获得数学猜想，感受数学就在我们身边、体验数学的价值。

二. 重点、难点：
（一）教学重点：
1. 圆与圆的七种位置关系及两圆相切的性质。
2. 弧长公式和扇形面积公式及运用公式求弧长和扇形面积。
3. 圆锥的侧面展开图及侧面积的计算。
（二）教学难点：
1. 根据圆心距与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系，特别注意外切、内切分别对应d＝R＋r，d＝R－r，这也是作两圆相切的理论根据。
2. 求一些组合图形的周长和面积。

三. 主要内容：
（一）圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系有以下7种：
（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部称这两个圆外离，如图。

（2）外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切，这个公共点叫作切点，如图。

（3）相交：两个圆有两个不同的公共点，称这两个圆相交，如图。

（4）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，这个公共点叫做切点，如图。

（5）内含；两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内含，如图。

（6）同心圆：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两个圆的圆心重合，称这两个圆内含且同心，简称为同心圆，如图。

（7）重合：两个圆的圆心重合，且半径相等，则两个圆重合，如图。

2. 圆与圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r（R≥r），两圆的圆心距为d，则

例如：
（1）一个圆的半径为9cm，另一个圆的半径为4，圆心距为3，则此两圆的位置关系是___________。
（2）有两个圆，一个圆的半径为4，两圆的圆心距为5，另一个圆的半径r满足___________时，这两个圆外离。
（3）相切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径是_________。
（4）两个圆的圆心距为2cm，一个圆的半径为10cm，要使这两个圆内含，另一个圆的半径应满足___________。
参考答案：

∴这两个圆的位置关系是内含

3. 弧长公式及扇形面积公式：
（1）半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l

（2）定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形，如图的阴影部分是一个扇形，记作扇形OAB。

例如：（1）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以C为圆心，

（2）一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，则该弧所在的圆的半径是___________。

参考答案：
（1）连CD，∵∠B＝15°，∠BCA＝90°
∴∠A＝75°
又CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝75°

（3）设扇形的半径为r，则

又扇形的周长为16

4. 圆锥的有关概念：
（1）圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图。圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫圆锥的母线。连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，如图。

强调：①圆锥有无数条母线：圆锥的母线长不等于圆锥的高。
②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径的区分。

【典型例题】
例1. 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是多少？

分析：略
解：如图，依题意知：
△ABC为等边三角形且AB＝BC＝AC＝1

例2. 求下列阴影部分的面积。
（1）如图（1），矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于E，求阴影部分面积。

分析：略
解：∵AD＝2，AB＝1，∠ABE＝90°

（2）如图（2），AB是半圆的直径，AB＝2R，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积。

图（2）
分析：略
解：连结OC、OD

∴CD∥AB

例3. 如图，半径是10cm的纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩余部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径。

分析：
高则利用勾股定理。
解：设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，母线长为a，则a＝10cm

答：

例4. 如图，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6cm和2cm，现有一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长绳子。（不计绳子接头）

分析：略
解：连结AB、AC、BD，过点B作BE⊥AC于E
∵CD切⊙A于C，切⊙B于D
∴AC⊥CD，BD⊥CD
∴BE＝CD，BD＝CE

例5.

（1）求证：CE∥FD；

分析：略
（1）证明：连结AB
∵∠D＝∠ABE，∠ECA＝∠ABE
∴∠D＝∠ECA
∴CE∥FD
（2）证明：

（3）解：
∵由（2）知：△ECG∽△EBC

又∵EC∥FD，∴△ECG∽△FDG

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择题。
1. 已知两圆的半径分别为3和7，且这两个圆有公共点，则这两个圆的圆心距d为（ ）
A. 4 B. 10 C. 4或10 D.
2. 若⊙O与相切，它们的半径分别为5cm和3cm，则圆心距为（ ）
A. 8cm B. 2cm C. 8cm或2cm D. 以上都不对
3. 如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连AC，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发，绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）

A. B. C. D. 3
5. 在半径为3的⊙O中，弦AB＝3，则的长为（ ）

A. B. C. D.
6. 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）
A. 2：1 B. C. D.
7. 如图△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，，⊙A与BC相切于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题。
9. 和交于A、B两点，且经过点，若，则的度数是___________。
10. 已知两圆的半径比是5：3，当两圆外切时，圆心距为4，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是___________。
11. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和为___________。

12. 两圆的直径分别为和，当圆心距为d（）时，这两圆的位置关系是___________。
13. 如图两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为___________。

14. 已知：如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，C、D分别是的三等分点，则阴影部分面积为___________。

15. 当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移距离为___________ cm。

三. 解答题。
1. 如图，已知两个等圆和相交于A、B两点，经过点，点C是上的任一点（不与A、、B重合），连BC，并延长交于D，连结AC、AD，求证：______________________。
（1）操作、测量：将图按照题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量，说出三条线段之间的关系。
（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想（在你补充完整的图中证明）。

2. 李明同学与马强同学合作，将半径为1米，圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒，李明认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距离OC，如图，马强说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。

3. 如图，两个等圆⊙O和外切，过O作的两条切线OA、OB，A、B为切点，求∠AOB的度数。

4. 如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后，形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线EF＝8cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积。（面积结果用表示）

试题答案
一. 选择题。
1. D 2. C 3. B 4. C
5. B 6. A 7. C 8. A
二. 填空题。
9. 135°或45°
10.
11.
12. 外切
13. 4 （提示：构造直角三角形用勾股定理）
14.
15. （利用弧长公式）
三. 解答题。
1. 解：（1）补充完整图形，如图：

三线段AC、CD、AD相等。
（2）猜想：△ACD是等边三角形
证明：为等圆，且过点

又

∴△ACD是等边三角形
即AC＝CD＝AD
2. 解：如图

∵OA＝OB，OC⊥AB

在圆锥中，

在中，OA＝1

∴李明的说法不正确
3. 解：连

∵OA、OB切于A、B

又⊙O与外切且是等圆

∴在中，
∴∠AOB＝60°
4. 如图：

由题意知：的长的长
设∠AOB＝n°，OA＝R，则
由弧长公式有
解方程组
解得：

答：扇形OAB的圆心角为45°，这个纸杯的表面积为。

用心 爱心 专心