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承前启后的大学数学2010.07.28

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【新】承前启后的大学数学
四川大学数学学院,马洪
2010-07-20于拉萨西藏大学
2010-07-28于成都四川大学
●个人简介
马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业,现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。
●读书心得
有人说
数学是艰深的、抽象的、枯燥的；
但其实
数学也是简单的、直观的、有趣的。
●我对数学的理解
• 数学的框架是简单的、
• 数学的原理是直观的、
• 数学的思想是有趣的.
●承前启后的大学数学
1、中学数学：初等数学
研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学
2、大学数学：高等数学
研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学

从初等数学到高等数学的历史沿革

（一）中学数学回顾：初等数学
在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：
［1］ 一元线性函数：y =
从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射"
原像空间 像空间

［2］ 多元线性函数：Y==
从“n维实线性空间”到“一维实线性空间"的“线性映射”
原像空间 像空间

（二） 大学数学回顾：高等数学

（1)《线性代数》:数字信号处理的基础
线性代数在做什么?其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”:,即
从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”

函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系
线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；
然后再研究对应关系：从“n维线性空间"到“m维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵,它研究了各种各样的矩阵及其性质。
所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：

研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”

有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”
有穷维线性映射：矩阵

（2）《泛函分析》：现代信号处理的理论基础！！！

数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数,比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化……。以手机通话为例,手机作为一个系统:完成语音信号与无线电信号的相互转化.因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少?无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机……，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量(信号）对应起来.比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受(把无线电信号转换为语音信号）两种功能,这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是两个算子.我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号,用数学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是空间，从而是Hilbert空间.所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述《线性泛函分析》这门课程的主要内容,那就是:文档为个人收集整理，来源于网络本文为互联网收集，请勿用作商业用途

研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”

无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”
无穷维线性映射：线性算子

比较一下《线性代数》与《线性泛函分析》的一句话描述，我们惊奇地发
现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无”。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带来的是“有穷”与“无穷"的本质区别。因此，在学习泛函分析的时候,我们要注意比较《线性代数》和《线性泛函分析》研究内容的异同：
相同之处:它们共同关心的问题是映射的“线性性"
不同之处:其“原像空间”、“像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”

典型的无穷维线性空间如,
完备的线性距离空间
完备的线性赋泛空间(Banach空间）
完备的线性内积空间（Hilbert 空间）

（3）《数学分析》（又称《微积分》）的基本框架、核心内容：

数学分析的核心内容：

用“极限”这一手段,研究实函数的“连续性”和“光滑性"

［1]函数的“连续性”:用表示定义于上的连续函数的全体。
［2]函数的“光滑性”：用表示定义于上的光滑函数的全体。

我们用表示定义于上的m阶可微（m阶光滑）函数的全体
显然，我们有

微分映射(微分算子）：，
积分映射（积分算子）：，

定理1函数黎曼积分存在的充分必要条件:函数几乎处处连续

[注1] 微分运算把“光滑”变“粗糙”，故可称“微分算子”为“粗糙子” ；
积分运算把“粗糙”变“光滑”，故可称“积分算子”为“光滑子” 。

[注2]《数学分析》中映射“连续性"概念的一般化、抽象化属于《拓扑学》

［注3]《数学分析》中映射“光滑性”概念的一般化、抽象化属于《微分几何》

［注4]《微积分》在工程中的应用
数学中的“无穷维向量”（函数）,工程中称为“信号”
数学中的“映射”，工程中称为“系统"，“线性映射"对应“线性系统";
“映射”的自变量、因变量，工程上称为“系统"的输入、输出。

在电子信息理论中，可以通过电子电路搭建“微分器”和“积分器”，也就是说，工程中对“信号”（函数）的微积分运算，可以通过电路来实现.

（4）《拓扑学》（略)
（5）《微分几何》（略)
《数学学科发展线索框架》

（一）研究映射的线性性、连续性、光滑性

线性性 连续性、光滑性
线性代数 数学分析
↘ ↙ ↓ ↘
泛函分析 拓扑学 微分几何
线性性、连续性； 连续性； 光滑性

《线性代数》：研究映射的线性性（on实有穷维向量空间）
《数学分析》：研究映射的连续性、光滑性（on实有穷维向量空间）

《泛函分析》:研究映射的线性性、连续性（on抽象无穷维向量空间）
《拓扑学》： 研究映射的连续性（on抽象空间)
《微分几何》：研究映射的光滑性（on抽象空间）

（二）研究函数（映射 ）在连续性、可测性条件下的“积分理论"

数学分析
↓
实变函数
↙ ↘
测度论 概率论

《数学分析》：研究“实空间” 到“实空间”的“连续函数”的积分
《实变函数》:研究“实可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分
《概率论》：研究“抽象可测空间"到“实可测空间”的“可测函数”的积分
《测度论》：研究“抽象可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分

不同类型积分的异同

数学分析：实空间上连续函数的黎曼积分；on诺当测度空间
→连续函数的黎曼积分
实变函数：实空间上可测函数的勒贝格积分；on勒贝格测度空间
→可测函数的勒贝格积分
概率论：抽象空间上可测函数的勒贝格积分；on概率测度空间
→可测函数的“勒贝格积分”
测度论：抽象空间上可测函数的勒贝格积分;on测度空间
→可测函数的“勒贝格积分”

（三） 《概率论》与《随机过程》的基本框架

1、从《概率论》到《随机过程》的基本概念

（1)有穷维随机向量（《概率论》）

［1]一维随机向量：随机变量

［2]n维随机向量:随机向量

由于有穷维随机向量的可测性,在其像空间上诱导出测度，即

此处的测度称为随机向量的分布。

(2）无穷维随机向量(《随机过程》）—-“一族随机变量"

[1］可数无穷维随机向量：离散参数随机过程
（随机序列)

［2]不可数无穷维随机向量：连续参数随机过程

［注] 关于“随机过程”的三种理解:
1、是一族随机变量（一元函数）:
对任意给定，
2、是一族普通实函数(一元函数）：
对任意给定，（称为随机过程的轨道）
3、是一个二元函数：

2、随机序列（按统计特性分类）

(1）马尔可夫序列（马氏性，即无后效性）
（2)平稳序列(平稳性）

随机向量
↙ ↘
有穷维随机向量｛…｝ 无穷维随机向量｛｝
（《概率论》) （《随机过程》)
↙ ↘
可数无穷维随机向量 不可数无穷维随机向量
｛……｝ {｝
（离散参数随机过程） （连续参数随机过程）
（随机序列)
↙ ↘
平稳随机序列 ……马尔可夫随机序列 （按统计特性分类)
（平稳性） （无后效性）
↙ ↘
时间序列分析 ……

根据“信号与系统”理论，《时间序列分析》研究：将“白噪声”输入“线性时不变系统T［.］”的输出“X(n）”.即
→ T[.] → X（n）
输入 系统 输出
根据系统的不同,经典时间序列主要研究:

（1）AR(p）模型（只有反馈的模型）；
=＝＋，这里是白噪声，取整数.
T[.]为带q阶时延的线性时不变因果稳定系统,白噪声为输入，X（n）为输出。
（2）MA（q）模型（只有时延的模型)；
= ＝＋
T［.]为带q阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声为输入,X（n）为输出。

（3）ARMA(p,q）模型（既有时延,又有反馈的模型)
＝ ＋
T［.］为带p阶反馈q阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声为输入,X(n)为输出。
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