山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题.doc

山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题年级：姓名：25山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. （ ）A. B. C. D. 3. 已知命题，则命题的否定为 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 若，（ ）A. B. C. D. 7. 科学研究已经证实，人智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ）A. 智力曲线处于最低点B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期C. 智力曲线与情绪曲线相交D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称8. 已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9. 下列结论正确的是（ ）A. 若为正实数，则B. 若为正实数，则C. 若，则“”是“”的充分不必要条件D. 当时，的最小值是10. 若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，且，.若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知弧长为cm的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为_cm14. 已知函数，若，则实数的值为_15. 若函数且在上最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是_16. 若函数最大值为，则常数的值为_三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）若，求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.的最小正周期为，且是偶函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，且与是图象上相邻的两条对称轴，且问题：已知函数，若 （1）求，的值;（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19. 己知，且.（1）求的值;（2）若，求值.20. 已知函数，且.（1）证明:定义域上是减函数;（2）若，求的取值集合.21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道探测器实施次轨道修正，次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，其中，(单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，(单位:吨)表示它装载的燃料质量，(单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).（1）某单级火箭自身的质量为吨，发动机的喷射速度为千米/秒.当它装载吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到);（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数=，）22. 已知函数，（1）若，恒成立，求实数的取值范围; （2）证明：有且只有一个零点，且泰安市2020-2021学年高一上学期期末考试数学考试（解析版）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，所以，故选：B2. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】 ，故选：C3. 已知命题，则命题的否定为 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得选项【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，则命题的否定为“，”，故选：B4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度，即可求解.【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了.故选：D5. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据终边经过点，且，利用三角函数的定义求解.【详解】因为终边经过点，且，所以，解得，故选：C6. 若，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的性质判断，根据指数的性质判断，由此得出三者的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D.7. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ）A. 智力曲线处于最低点B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期C. 智力曲线与情绪曲线相交D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称【答案】D【解析】【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误；B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误；D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，故选：D8. 已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，当，时，总有，转化为，当，时，总有，令，则在上递增，再根据，得到在上是偶函数，将，转化为求解.【详解】令，因为，当时，总有，即，当时，总有，即，当时，总有，所以在上递增，又因为，所以在上是偶函数，又因为，所以，即，所以即，解得，所以实数的取值范围为 故选：A【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9. 下列结论正确的是（ ）A. 若为正实数，则B. 若为正实数，则C. 若，则“”是“”的充分不必要条件D. 当时，的最小值是【答案】AC【解析】【分析】利用作差法可考查选项A是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B是否正确；利用不等式的性质可考查选项C是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D是否正确.【详解】对于A，若，为正实数，故A正确；对于B，若，为正实数，则，故B错误；对于C，若，则，不能推出，而当时，有，所以成立，即，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，当时，当且仅当时取等号，故D不正确.故选：AC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.【详解】因为为第二象限角,所以A,B正确，D不正确；当时，当时，所以C不一定正确.故选:AB11. 函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.【详解】当时，图象A满足；当时，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12. 已知函数的定义域为，且，.若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据，利用赋值法求解判断.【详解】A. 令得，即，因为，所以，故正确；B. 令，得，即，故错误；C. 令，得，即，所以，故正确； D. 令得，所以，故正确；故选：ACD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知弧长为cm的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为_cm【答案】2【解析】【分析】由弧度制公式求解.【详解】已知弧长为cm的弧所对圆心角为，因为， 所以，故答案为：214. 已知函数，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先求，再代入求，求实数的值.【详解】，即，又，且，所以.故答案为：15. 若函数且在上最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是_【答案】1【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是减函数，不符合题意. 故答案为：116. 若函数的最大值为，则常数的值为_【答案】【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，因为，所以.故答案为：.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）若，求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】首先分别求解两个函数的定义域，（1）根据集合包含关系，列不等式求解的取值范围；（2）根据，得，求的取值范围.【详解】由题知， ，解得：，（1）若，则，即，实数的取值范围是.（2）若，则，即，实数的取值范围是.18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.的最小正周期为，且是偶函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，且与是图象上相邻的两条对称轴，且问题：已知函数，若 （1）求，的值;（2）将函数图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件性选择见解析，（1），；（3）.【解析】【分析】（1）方案一:选条件，由的最小正周期求出，利用函数的奇偶性得出；（2）由（1）得出函数的解析式，通过平移和伸缩变换得到，根据余弦函数的单调递减区间结合给出的定义域得出答案【详解】（1）方案一:选条件的最小正周期为，.又是偶函数，恒成立，恒成立，.又，.（2）由（1）知，将的图像向右平移个单位长度后，得到的图像.再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图像.由，.当时，在上的单调递减区间是.方案二：选条件（1）函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，又，即，.又，（2）同方案一（2）方案三：选条件（1）与是图像上相邻的两条对称轴，即.又，.又，.（2）同方案一（2）.19. 己知，且.（1）求的值;（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数的关系求出，再根据诱导公式化简求值即可；（2）根据的范围，求出的范围，再根据同角三角函数的关系求出，再根据两角和的余弦公式求出，最后根据诱导公式即可求出的值.【详解】解：，；（1）；（2），又，.20. 已知函数，且.（1）证明:定义域上是减函数;（2）若，求的取值集合.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据，求得，得到，由，求得的定义域，令，用函数单调性的定义证明其单调性，再利用复合函数的单调性得到结论.（3）易得函数是奇函数，将原不等式转化为，再利用在定义域上的单调性求解.【详解】（1），又，.由，解得，的定义域为.令.任取，且，则.，即，又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是减函数.（3），原不等式可化为，即.由（1）知，是减函数，.又的定义域为，的取值集合为.【点睛】方法点睛：复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道探测器实施次轨道修正，次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，其中，(单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，(单位:吨)表示它装载的燃料质量，(单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).（1）某单级火箭自身的质量为吨，发动机的喷射速度为千米/秒.当它装载吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到);（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数=，）【答案】（1）该单级火箭的最大速度为千米/秒；（2）该单级火箭的最大速度不能超过千米/秒，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，由，求解.（2）根据单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过，即，又代入求解.【详解】（1），该单级火箭的最大速度为千米/秒.（2），.，.该单级火箭最大速度不能超过千米/秒.22. 已知函数，（1）若，恒成立，求实数的取值范围; （2）证明：有且只有一个零点，且【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)先判断的单调性，求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；(2)用零点存在定理，分类讨论在和的零点情况；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将带入中进行计算即可证明不等式成立.【详解】解（1）是增函数，是减函数，在上单调递增.的最小值为.又，解得，实数的取值范围为.（2）当时，.在上无零点.当时，与单调递增，在上单调递增.又，使得，在上有且只有一个零点，综上所述，有且只有一个零点.又，即，在上单调递减，.【点睛】关键点睛：对x进行分类讨论时：当时，可判断在上无零点；当时，与单调递增，再结合零点存在定理，即可判断在上有且只有一个零点