1、上海市黄浦区2021届高三数学下学期4月学业等级考调研测试试题上海市黄浦区2021届高三数学下学期4月学业等级考调研测试试题年级:姓名:12上海市黄浦区2021届高三数学下学期4月学业等级考调研测试(二模)试题(完卷时间:120分钟 满分:150分) 2021.4考生注意:1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无效;2答卷前,考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚,并在规定的区域贴上条形码;3本试卷共21道试题,满分150分;考试时间120分钟一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对前
2、6题得4分、后6题得5分,否则一律得零分. 1已知集合,则 2方程的解 3已知某球体的表面积为,则该球体的体积是 4已知函数的定义域为,函数是奇函数,且,若,则 5.已知复数的共轭复数为,若(其中为虚数单位),则 .6已知长方体的棱,则异面直线与所成角的大小是 .(结果用反三角函数值表示)第6题图7已知随机事件和相互独立,若,(表示事件的对立事件) ,则= .8.无穷等比数列的前项和为,且,则首项的取值范围是 .9已知的二项展开式中第三项的系数是,则行列式中元素的代数余子式的值是 .10已知实数满足线性约束条件 则目标函数的最大值是 .11某企业开展科技知识抢答抽奖活动,获奖号码从用这十个数字
3、组成没有重复数字的三位数中产生,并确定一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)12已知,函数的最小值为,则由满足条件的的值组成的集合是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分13. 已知空间直线和平面,则“直线在平面外”是“直线平面”的 ( ). ()充分非必要条件 ()必要非充分条件 ()充要条件 ()非充分非必要条件14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场
4、比赛中的得分情况如下: 甲:21、22、23、25、28、29、30、30; 乙:14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是 ( ). ()甲队员每场比赛得分的平均值大 ()乙队员每场比赛得分的平均值大 ()甲队员比赛成绩比较稳定 ()乙队员比赛成绩比较稳定15已知点是直线和圆的公共点,过点作圆的切线,则切线 的方程是( ). () () () () 16已知是正实数,的三边长为,点是边(与点不重合)上任一点,且. 若不等式恒成立,则实数的取值范围是 ( ).(A) (B) (C) (D) 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号
5、规定区域内写出必要的步骤17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 已知长方体中,棱,点是棱的中点. (1)联结,求三棱锥的体积; (2)求直线和平面所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 已知中,内角、所对边长分别为、,且,(1)求正实数的值;(2)若函数(),求函数的最小正周期、单调递增区间19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分某民营企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行
6、奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金(单位:万元)随经济收益(单位:万元)的增加而增加,且,奖金金额不超过20万元.(1)请你为该企业构建一个关于的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数作为奖励函数模型,试确定实数的取值范围.20.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分 椭圆的右顶点为,焦距为,左、右焦点分别为,为椭圆上的任一点.(1)试写出向量的坐标(用含的字母表示);(2)若的最大值为,最小值为,求实数的值;(3)在满足(2)的条件下,若直线与椭圆交于两点(与椭圆的左右顶点不重合),且以线段为直
7、径的圆经过点,求证:直线必经过定点,并求出定点的坐标.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分 定义:符号表示实数中最大的一个数;表示中最小的一个数. 如,.设是一个给定的正整数(),数列共有项,记, ().由的取值情况,我们可以得出一些有趣的结论.比如,若,则.理由:,则.又,于是,有.试解答下列问题: (1)若数列的通项公式为,求数列的通项公式; (2)若数列满足,求通项公式; (3)试构造项数为的数列,满足,其中是等比数列,是公差不为零的等差数列,且数列是单调递减数列,并说明理由.(答案不唯一)黄浦区2021年高考模拟考数学试卷参考答
8、案 2021.4说明: 1本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分2评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分一、填空题.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、选择题13 14 15 16 三、解答题17(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 yxz解(1) 是长方体,
9、棱, 平面,即三棱锥的高等于. . . (2)按如图所示建立空间直角坐标系,可得, , ,. , 设平面的法向量 , 则 即 取,得 故平面的一个法向量为. 设直线和平面所成的角为 ,则. 所以直线和平面所成角的大小为 18(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分解 (1)在中, 根据正弦定理:, 得 ( ) . (2) 由(1)知, 函数的最小正周期为. 由(),得 . 函数的递增区间是. 19 (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数; 说明是单调增函数; 函数的取值满足要求. 如,就是符合
10、企业奖励的一个函数模型.理由:根据一次函数的性质,易知,随增大而增大,即为增函数;当时,当时,即奖金金额且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2) 当时,易知是增函数,且当时,当时,即满足奖金且不超过20万的要求; 故当时,符合企业奖励要求. 当时,函数是增函数,即对任意,且时,成立.故当且仅当,即时,此时函数在上是增函数. 由,得;进一步可知,故成立,即当时,函数符合奖金且金额不超过20万的要求. 依据函数模型是符合企业的奖励要求,即此函数为增函数, 于是,有,解得. 综上,所求实数的取值范围是. 20(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分
11、6分,第3小题满分6分解 (1)根据题意,可知. 于是,. (2) 由(1)可知,. 在椭圆上,则. . 依据椭圆的性质,可知. 当且仅当时, 当且仅当时,. 又 的最大值为,最小值为, 解得即为所求. 证明 (3)由(2)知,椭圆. 又, 联立方程组 得. 设是直线与椭圆的两个交点,于是,有 以线段为直径的圆经过点, ,即,进一步得 (),化简得 . 解得.(经检验,都满足) 当时,直线过点不满足与椭圆的左右顶点不重合要求,故舍去. ,即. 直线必经过定点,且定点的坐标为. 21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分解 (1)数列的通项公式为,考察指数函数的图像与性质,知数列是单调递减数列,即. , . 为所求的通项公式 (2) 数列满足,依据题意,由,知;由,知;依此类推,有,即,于是,数列是单调递减数列. , . , 数列是首项,公差为的等差数列 (3) 构造数列:,数列:,设,则数列满足题设要求. 理由如下: 构造数列:,数列:, , 易知,数列是等比数列,数列是等差数列. 由指数函数的性质,知 ,即数列是单调递减数列;由函数的性质,知数列是单调递减数列. ,即. 数列是单调递减数列. . ,即数列是单调递减数列. 数列是满足条件的数列.