六年级奥数综合训练六.doc

六年级综合训练六
一、填空题
1．一次有小学生和初一学生参加的棋赛，计分方法是，胜者得1分，负者得0分，和棋两人各得分，规定每位选手平均需与其他选手各对局一次，知选手中初一学生是小学生人数的10倍，但其总得分只为小学生得分的4.5倍，问：共有（ ）名小学生参赛，他们共得了（ ）分。

2．l+1×2×2+1×2×3×3+1×2×3×4×4+1×2×3×4×5×5=（ ）。

3．用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字只能用一次）组成三个能被9整除的三位数，并且三数之和尽可能大，问这三个三位数的和是（ ）。

4．若干学生搬一堆砖，若每人搬k块，则剩20块未搬，若每人搬9块，则最后一名学生只搬6块，那么学生人数是（ ）。

5．一个楼梯共有9级台阶，规定每步至少迈一级台阶，至多迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，共有（ ）种不同的上法。

6．一个长方体，它的“宽×高”与“长×宽”两个面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（ ）。

7．一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数有许多两位数的约数，这些两位数的约数中，最大是（ ）。

二、计算题
1． 李大娘问三位青年人的年龄：小张说：“我22岁，比小吴小2岁，比小徐大1岁。”
小吴说：“我不是年龄最小的。小徐和我差3岁。小徐25岁。”
小徐说：“我比小张年龄小。小张23岁，小吴比小张大3岁。”
这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。李大娘难辨真假，请你帮李大娘弄清这三人的年龄。

2．有100个已经涂了色的小球，其中有红球、白球、黄球，允许你对它们改色，办法是：取出两个不同色的球，把它们涂上与它们颜色都不同的另一种颜色（例如：取出一个白球，一个黄球，可以改涂为红色），然后放回去，这叫“一次操作”。问：能否经过有限次操作，把所有的球都改成同一颜色？

3．现有老实人和骗子两种人，老实人永远说真话，骗子永远说假话，这两种人围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，这时，一个外来人问甲：“这一圈上一共围坐了多少人？”甲答：“共有45人．”另一人乙说：“甲是老实人。”请判断甲、乙是老实人还是骗子？

4．象棋比赛得分规则是：胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方都不得分，也不扣分，现有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局，现知其中有一位学生共得9分，另一位学生共得18分。试证：在比赛过程中至少有过一次平局。

5．村里种了新甜瓜，男女老少品尝它。小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜，老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜。男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组几人品尝瓜？

参考答案
【综合训练】
一、填空题
1．解：
设有x个小学生参赛，小学生得总分为y。于是，初一参赛学生人数为10x，所得总分为4．5y。

比赛总人数为11x，比赛总局数应为11x×（11x－1）÷2。又因每局两人得分和为1分，所以比赛得分总和应为

11x×（11x-1）÷2。另一方面比赛得分总和也可表示成4．5y+y=5.5y，于是
5.5y=11x（11x-1）÷2
即y=x（l1x－l）
由于每一选手只能比赛11x-1局，最多积分为11x－1分。而x个小学生选手欲得x（11x-1）。则每个选手都必须全胜，这只有当x=1时才可能。所以，只有一个小学生参加了比赛，共得了10分。

2．解：
原式=×（2－l）+1×2×（3－l）+1×2×3×
（4－l）+l×2×3×4×（5-l）+
1×2×3×4×5×（6－1）
=l×2－l+l×2×3-l×2+l×2×3×4-
l×2×3+l×2×3×4×5、l×2×3×4+
l×2×3×4×5×6一l×2×3×4×5
=l×2×3×4×5×6-1
=720－l=719

3．解：
1，2，3，…，9这九个数字之和为45，要写成的三个三位数，它们的各位数字之和均是9的倍数，而且每个数字之和都不超过7+8+9=24，所以，这三个三位数中有两个数的数字之和是18，一个是9。

要使数字之和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字取2，个位上的数字取1，这个三位数是621。

要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个百位上的数字取9，另一个百位上的数字取8，十位上的数字分别为5与7，个位上的数字分别为4和3。
所以，这三个三位数之和是621+954+873=2448。

4．解：
设有学生x人，则
kx+20=9（x－l）+6
解得
由于x为人数，所以x应为自然数，即23应为9一k的倍数。
又因为23为质数，所以只有9－k=l，故k=8，所以
x=23（人）
答：有学生23人。

5．解：
设从甲、乙两容器中各取出硫酸溶液x千克放入对方容器中，可使二者的浓度相等，列方程得

解得x=240（千克）
答：从甲、乙两容器中各取硫酸溶液240千克放入对方容器中，可使二者的浓度相等。

6．解：
设上n级台阶有种不同的上法，，，。
当时，
由此递推出。，，，，。所以有149种上法。

7．解：
“除以3余1”的数和“除以5余3”的数就是比3和5的公倍数少2的数，从小到大列出来后会很快从中找到“除以7余2”的数最小值58。

8．解：
因为宽×高+长×宽=宽×（高+长）=209，又209=11×19，11与19两个数中，只有19可以分成两个质数的和，11不能分成两个质数的和，所以此长方形的宽为11，长为17，高为2，故体积为11×17×2=374。

9．解：
这个已知数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7的连乘积。如果一个数是它的约数，则这个数的质因数仅含有2、3、5、7，且2、3、5、7的个数不会超过已知数中2、3、5、7各对应质因数的个数。同学们可以按从99、98、97、96、…的顺序开始检验，看哪一个数首先符合条件，则就是这个数。所求结果是96。

二、计算题

1．解：
阴影部分的面积从表面上看，是由小正方形中的三角形和大正方形中的三角形组合而成的。直接求出这两个三角形的面积显然是不可能的，但我们从整体出发就可以观察到阴影部分的面积就是以大正方形的边长为高，以小正方形的边长为底的三角形的面积，即：
S=2×4÷2=4（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4平方厘米。

2．解：
假设张22岁是真的，那么徐说“小张23岁”是假的，徐说的其他两句话都是真的，所以吴25岁，小徐小于22岁，由此推知小吴说的三句话中，“小徐和我差3岁”及“小徐25岁”这两句话都是假的，与每人有一句假话矛盾，所以小张不是22岁。

因为小张的“我22岁”是假的，其余两句话是真的，所以小吴比小徐大3岁，小张比小徐大1岁。如果小徐说的“小张23岁”是假的，那么“小吴比小张大3岁”是真的，谁知小徐和小张同岁，则小徐所说“我比小张年龄小”是假的，小徐有两句话是假的，与题意不符，所以“小张23岁”是真的。由此得：小吴25岁，小徐22岁。
答：小张23岁，小吴25岁，小徐22岁。

3．解：
设原有红球、白球、黄球的个数分别为x、y、z，且x+y+z=100。
由于100不是3的倍数，因此x、y、z不是3的倍数，而且x、y、z被3除后的余数不能互不相同，否则x+y+z为3的倍数。可见x、y、z中有两个被3除的余数相同，另一个被3除的余数与它们不同。

设y、z被3除后的余数相同，x被3除后余数与它们不同。
如果y=z，那么可以用一白、一黄改涂为两个红球的方法，经过有限次操作，把所有的球都涂成红色。

如果y≠z不妨假定y＜z。，于是z－y必是3的倍数，进行“一白一黄变二红”的改色，直到把白球用完，这时只有红球和黄球两种，且黄球数z－y是3的倍数。我们再把三个黄球和一个红球组成一组。对这一组进行改色，办法是：先用一红一黄变二白，这时四个球是二白二黄。再把二白二黄改为四红。于是每三个黄球和一个红球都可以变为四个红球。

由于黄球个数z－y是3的倍数，且是有限的，而红球越改越多，所以经过有限次改色后，总可使这100个球全涂成红色。

4．解：
因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知，老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，而甲说有45人是奇数，这说明甲说了假话，甲是骗子，而乙却说甲是老实人，也说了假话，所以乙也是骗子。

5．证明：
设得9分的学生胜了a局、输了b局，得18分的学生胜了m局、输了n局，可得：a－b=9，m－n=18

假设比赛过程中无平局出现，那么由于每人比赛的场次相同，可知a+b=m+n，所以a+b+m+n为偶数。另一方面，由a－b=9知，a+b为奇数；由m－n=18知，m+n为偶数，进而谁知a+b+m+n为奇数，这与前面矛盾，所以假设错误。故比赛过程中至少有一次平局。

6．解：
设每组有x人品尝瓜，依题意有：

，x=24
答：每组有24人品尝瓜。