新北师大版九年级上册第一单元特殊的平行四边形复习.ppt

特殊的平行四边形特殊的平行四边形新北师大版九年级数学下册第一单元新北师大版九年级数学下册第一单元 菱形菱形的性质的性质ABCD菱形的对边平行且四边相等菱形的对边平行且四边相等.角角对角线对角线边边每条对角线平分一组对每条对角线平分一组对角。角。矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分.对称性对称性菱形是轴对称图形，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形也是中心对称图形.一：菱形一：菱形菱形菱形的定义的定义：有一组临边相等的平行四边形有一组临边相等的平行四边形.菱形的对边平行且四边相等菱形的对边平行且四边相等.菱形的对角相等菱形的对角相等菱形的判定方法：菱形的判定方法：1、有一组临边相等的、有一组临边相等的平行四边形平行四边形是是菱形菱形。2、对角线互相垂直的、对角线互相垂直的平行四边形平行四边形是是菱形菱形。3、有四条边相等、有四条边相等四边形四边形是是菱形菱形。对于对于1、2两种判定方法是在两种判定方法是在平行四边形平行四边形的前提下来判断的，而的前提下来判断的，而3是直接在是直接在四边形四边形的的前提下判断的。前提下判断的。矩形矩形的性质的性质ABCD矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等.角角对角线对角线边边矩形的对角线相等矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等矩形的对角相等.对称性对称性矩形是轴对称图形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形也是中心对称图形.二：矩形二：矩形矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形有一个角是直角的平行四边形.矩形的判定方法：矩形的判定方法：1、有一个角是直角的、有一个角是直角的平行四边形平行四边形是是矩形矩形。2、对角线相等的、对角线相等的平行四边形平行四边形是是矩形矩形。3、有三个角是直角的、有三个角是直角的四边形四边形是是矩形矩形。对于对于1、2两种判定方法是在两种判定方法是在平行四边形平行四边形的前提下来判断的，而的前提下来判断的，而3是直接在是直接在四边形四边形的的前提下判断的。前提下判断的。要判定一个四要判定一个四边形是矩形，通常边形是矩形，通常先判定它是平行四先判定它是平行四边形，再根据平行边形，再根据平行四边形构成矩形的四边形构成矩形的条件，判定有一个条件，判定有一个角是直角或者对角角是直角或者对角线相等。线相等。3、已知：如图，在平行四边形、已知：如图，在平行四边形ABCD中，中，E为为CD中点，三角形中点，三角形ABE是等边三角形，求证：是等边三角形，求证：四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。边:对边平行 四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形 2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法四条边相等，四个角都是直角对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形小结小结5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结例例1 1、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于O O，MNABMNAB且且MNMN分别交分别交OAOA、OBOB于于M M、N N，求证：，求证：BMBMCNCN。证明：OAOMOBONOMONOMN13ONM45又MNAB12345OAOB AB=BC四边形ABCD是正方形即：AM=BNABMBCNBM=CN例例2 2、直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形求证：四边形CEDFCEDF是正方形是正方形。ABCDEF四边形ABCD是正方形（)DE=DF()DEAC，DFBC CD平分ACB 四边形ABCD为矩形()而ACB=90 DEC=90，DFC=90证明：DEAC，DFAB有三个角是 直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形 1 1、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正方形的一为正方形的一边在同一侧作正方形边在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延长延长BDBD交交AFAF于于H H。求证：。求证：(1)ACFDCB (2)BHAF(1)ACFDCB (2)BHAF 练习1：BC=FC ，1=2，AC=DC2：由1得：3=HBC ，又HDF=CDB，CBD+CDB=90 FDB=180 3 HDF=902 2、如图、如图(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连，连结结BGBG、CECE，交点为，交点为N N。求证：求证：CEACEAABGABG 证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG3、在正方形中，点在正方形中，点，分别在分别在，上，且，上，且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DCBADCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。ABDCFE5 5、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E在在BCBC的延长线上，的延长线上，且且CE=ACCE=AC，AEAE交交CDCD于于F F，则求，则求AFCAFC的度数。的度数。6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。OABCDE7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF因为是正方形因为是正方形 若对角线若对角线AC、BD交于点交于点O那么那么AO=AC的一半的一半=5 BAC=45 AC BD 又又PE AC PF BD 四边形四边形PEOF为矩形为矩形 PF=OE 在三角形在三角形APE中中 PAE=45 AE=PE PE+PF=AE+OE=AO=58、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN在在BC中取中取P,使使BP=2,连连DP,则则DP是是DN+MN的最小值的最小值证明证明:因为因为ABCD是正方形是正方形,所以所以AC平分角平分角BCD而而CP=CM=8-2=6所以所以,AC垂直平分垂直平分MP所以所以,MN=NP所以所以,DN+MN=DN+NPD,N,P在同一条直线时在同一条直线时,DN+NP最小最小所以所以:DP是是DN+MN的最小值的最小值DN+MN的最小值的最小值=DP=(CD+CP)=(8+6)=108 8、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动点，求上一个动点，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN9 9、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，是正方形，说明理由。说明理由。ABCEMND10、如图如图B、C、E是同一直线上的三个是同一直线上的三个点，四边形点，四边形ABCD与与CEFG是正方形，连是正方形，连接接BG、DE（1）观察、猜想）观察、猜想BG与与DE之间的大小关之间的大小关系，并说明理由。系，并说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间的关系是否仍然成立之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？.在正方形在正方形ABCD中，点中，点P是对角线是对角线AC上一点，上一点，PE AB，PF BC，垂足分别是点，垂足分别是点E、F.求证：求证：DP=EFFEPDCBA几种特殊四边形的性质平行平行四四边形形边边角角对角线对角线对称性对称性对边平行平行且相等且相等对角相等、角相等、邻角互角互补两条两条对角角线互相平分互相平分中心中心对称称矩形矩形同上同上四个角是四个角是直角直角互相平分互相平分且相等且相等 既既轴对称称又中心又中心对称称菱形菱形对边平行、平行、四四边相等相等对角相等、角相等、邻角互角互补互相垂直平分互相垂直平分且平分且平分对角角同上同上正方形正方形同上同上四个角四个角是直角是直角互相垂直平分且互相垂直平分且相等；平分相等；平分对角角同上同上平行平行四四边形形(1)两两组对边分分别平行平行;矩形矩形(2)是平行四是平行四边形形.且有一个角是直角且有一个角是直角；菱形菱形 （2）是平行四）是平行四边形，且有一形，且有一组邻边相等；相等；（1）是平行四）是平行四边形，有一个角是直角且有一形，有一个角是直角且有一组邻边相等；相等；（2）是矩形，且有一）是矩形，且有一组邻边相等；相等；（3）是菱形，且有一个角是直角；）是菱形，且有一个角是直角；（4）是矩形，）是矩形，对角角线互相垂直；互相垂直；（5）是菱形，且）是菱形，且对角角线相等。相等。正方形正方形(2)两两组对边分分别相等；相等；(3)一一组对边平行且相等；平行且相等；(4)两条两条对角角线互相平分；互相平分；(5)两两组对角分角分别相等；相等；(1)有三个直角；有三个直角；（3）是平行四是平行四边形，并且两条形，并且两条对角角线相等相等；（1）四条）四条边都相等都相等;（3）是平行四）是平行四边形，并且两条形，并且两条对角角线互相垂直；互相垂直；几种特殊四边形的常用判定方法ABCDEFGHoA1.下列命题:(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(4)顺次连结矩形四边中点所得的四边形还是矩形 其中错误命题的个数为 ()A1个 B2个 C3个 D4个2;如图，如图，P P是矩形是矩形ABCDABCD内的任意一点，连内的任意一点，连PAPA、PBPB、PCPC、PDPD，得到得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分，设它们的面积分别是别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：，给出如下结论：S1+S2=S3+S4 S2+S4=S1+S3 若若S3=2 S1，则，则S4=2 S2 若若S1=S2，则，则P点在矩形的对角线上点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是_.解析：过点解析：过点P分别向分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面作垂线段，两个三角形的面积之和积之和等于矩形面积的一半，等于矩形面积的一半，同理，过点同理，过点P分别向分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半等于矩形面积的一半.=,所以所以一定成立一定成立本题利用三角形的面积计算，能够得出本题利用三角形的面积计算，能够得出成立，要判断成立，要判断成立，在这里充分利用成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形所给条件，对等式进行变形.不要因为选出不要因为选出，就认为找到答案了，对每个结论都，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于对于 这一选项容易漏选这一选项容易漏选.2、43:3:已知：如图，在菱形已知：如图，在菱形ABCDABCD中，中，F F为边为边BCBC的中点，的中点，DFDF与与对角线对角线ACAC交于点交于点M M，过，过M M作作MECDMECD于点于点E,1=2E,1=2。(1(1）若）若CE=1CE=1，求，求BCBC的长；的长；(2(2）求证）求证AM=DF+MEAM=DF+ME。CBADEFG4:如图如图11，四边形，四边形ABCD是矩形，是矩形，E是是BD上的一点，上的一点，BAEBCE，AEDCED，点，点G是是BC、AE延长延长线的交点，线的交点，AG与与CD 相交于点相交于点F（1）求证：四边形）求证：四边形ABCD是正方形（是正方形（2）当）当AE2EF时，时，判断判断FG与与EF有何数量关系？并证明你的结论有何数量关系？并证明你的结论（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BADBCD90BAEBCE，BADBAEBCDBCE，即即EADECDAEDCED，EDED，AEDCEDADCD矩形矩形ABCD是正方形是正方形（2）FG3EF理由：理由：BGAD，GEAD由于由于EADECD，GECDCEGFEC，CEGFEC由（由（1）知）知CEAE，而，而AE2EF，故，故CE2EFEG2CE4EF，即，即EFFG4EFFG3EF5:如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，等边三角形中，等边三角形AEF的顶点的顶点E,F分别在分别在BC和和CD上上.（1）求证：）求证：CE=CF；（2）若等边三角形）若等边三角形AEF的边长为的边长为2，求正方形求正方形ABCD的周长的周长.DABCEF解：（解：（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD正方形，正方形，B=D=90,AB=AD.AEF是等边三角形，是等边三角形，AE=AF.RtABE RtADF,BE=DF,BC=CD,CE=CF.（2）在）在RtEFC中，设中，设EC=FC=x 根据勾股定理根据勾股定理 解得解得x=根号根号2 .设正方形设正方形ABCD的边长为的边长为x，则，则x2+(x )2=22正方形正方形ABCD的周长为的周长为 4 =2 解得解得X=（舍负）（舍负）+2.DABCEF222