双曲线典型例的题目讲义.doc

实用标准文案
直线与双曲线
一、知识梳理
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性

质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
二、典型例题：
例1．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是 （ ）
A．y＝±x　　　B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
例2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，c/a等于，则C的方程是 （ ）
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
例3．斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的c/a的取值范围是 （ ）
A．(－∞，) B．(1，) C．(1，) D．(，＋∞)
例4．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a等于（ ）
A. B. C. D.
例5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
例6．已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且c/a为2，则双曲线C的标准方程为

例7．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的c/a为________．
例8．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

例9．过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．

例10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，c/a为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．

11、已知曲线C的方程为，
（1）若曲线C为椭圆，则m的取值范围为 ；
（2）若曲线C为双曲线，则m的取值范围为
12、直线与双曲线C：交于A、B两点，若，求k的取值范围。

13、对于双曲线，过能否作直线，时使与双曲线交于两点，且是的中点． 若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

14．已知双曲线的方程，试问是否存在被点（1， 1）所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。

15、试问双曲线3x2-y2=1上是否存在A、B两点关于直线对称?若存在，求出AB直线方程；若不存在，说明理由．

16：已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，若l与C左支有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围。

练习：
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的c/a为 (　　)
A. B. C. D.
3．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．22或2　　　　　　B．7 C．22 D．2
4．(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的c/a为(　　)
A. B. C. D.
5．若点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，
则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是(　　)
A．a B．b C. D.
7．点P在双曲线上－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2
的三条边长成等差数列，则此双曲线的c/a是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐
标为－，则此双曲线的方程是(　　)
A.－ B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
9．设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且,则|+|= .
10．已知双曲线x2－(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
11．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的c/a为________；
渐近线方程为________．
12.已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的c/a为________．
13．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长为__________．
14．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(，)．(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，如果|MN|＝4，求直线l2的方程．

16.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.

17.直线:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

四、课后作业
1．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线c/a的取值范围为 (　　)
A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2.已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
3.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的c/a等于 .
4.求适合下列条件的双曲线的方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为12，c/a为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为

5.已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求该双曲线的焦点坐标、c/a和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

6.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的c/a为2，求该双曲线的方程．

7.已知椭圆的方程为 ，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(1）求双曲线的方程；(2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，求的范围

参考答案
双曲线1　[解析] B椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点P(2,1)在双曲线上，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求的双曲线方程是－y2＝1.
2解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x, 因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝，故选D.
3答案　A4答案　D解析　直线FB的斜率为－，与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝.
5[解析] B 因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)，则有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)．因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
6答案　B7 [解析] D　不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，则4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，由2|PF2|＝2c＋|PF1|，且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，代入4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝(2c－2a)2＋(2c－4a)2，化简整理得c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或者c＝5a，故e＝＝5.
8答案　D解析　设双曲线方程－＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴①－②得：＝·，∴1＝·，∴5a2＝2b2.
又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，选D.
9．210。2 11。，x±y＝0双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±x.又因为一条渐近线方程与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝.∴双曲线的c/a为e＝＝；渐近线方程为x±y＝0.
12答案　或解析　设m>0，n>0，∴＝，∴＝.∴＝.∴e＝.设m<0，n<0.则－＝1，∴＝.∴＝.∴＝.∴＝.∴e＝.∴双曲线的c/a为或.
13 [解析] 4a＋2m 由⇒|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.则△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
14[解析] 6　 根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.
15解析　(1)设F(c,0)，l1：y＝x，PF：y＝－(x－c)．解方程组，得P(，)，又已知P(，)，故解得a＝1，b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.(2)若直线l2垂直于x轴，交双曲线于M，N.由(1)得右焦点为F(，0)，将x＝代入x2－＝1，得y＝±2，所以|MN|＝4，若直线l2不垂直于x轴，设MF：y＝k(x－)，代入x2－＝1，得2x2－k2(x－)2＝2，整理，得(2－k2)·x2＋2k2x－3k2－2＝0，所以x1＋x2＝，若M，N两点均在双曲线的右支上，则k2>2；若M，N两点在双曲线的两支上，则k2<2.又若M，N两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M，N两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MN|＝||NF|－|MF||＝[(－x2)－(x1－)]，所以4＝2－(x1＋x2)，即＝－2，k＝±，所以所求直线l2的方程为x＝或y＝±(x－)．
16解 （1）设双曲线C的方程为=1（a＞0,b＞0）.由题设得 解得
所以双曲线C的方程为=1.（2）设直线l的方程为y=kx+m (k≠0).
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组
①
②

将①式代入②式，得-=1,整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.
此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0,
整理得m2+5-4k2＞0. ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0==,y0=kx0+m=.
从而线段MN的垂直平分线的方程为y-.
此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为,.
由题设可得·=.整理得m2=,k≠0.
将上式代入③式得+5-4k2＞0,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)＞0,k≠0.
解得0＜|k|＜或|k|＞.所以k的取值范围是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞).
17解 （1）将直线的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 ①
依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，
故解得k的取值范围为-2＜k＜-.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则由①式得 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得
（x1-c）(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得：
(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0 ③
把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.
可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
1.B 解析：∵ |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴ 有c－a≤2a，∴ 1<e≤3，故选B.
2. 5 解析：∵ 双曲线的渐近线方程为3x－y＝0，∴ a＝1.又P是双曲线右支上一点， |PF2|＝3，|PF1|－|PF2|＝2，∴ |PF1|＝5.
3.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以，即由
4. 解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为．由题意，得解得
所以双曲线的方程为．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为．
同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为．方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为当＞时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
当＜时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
5. 解：(1)由16x2－9y2＝144得，∴ a＝3，b＝4，c＝5.
焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，c/ae＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由题意，得||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝＝0.∴ ∠F1PF2 ＝90°.
6.解：设双曲线方程为 (a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵ ＝2，∴ |PF1|·|PF2|·sin ＝2.∴ |PF1|·|PF2|＝8.∴ 4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵ e＝＝2，∴ a2＝.∴ 双曲线的方程为＝1.
7. 解：（1）设双曲线的方程为，
再由得，故双曲线的方程为 .
(2）将代入得 .
由直线与双曲线交于不同的两点得
即解得 故k的取值范围为
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