2020-2021学年高中数学-第九章-解三角形-9.1.2-余弦定理优质作业新人教B版必修第四册.docx

2020-2021学年高中数学 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理优质作业新人教B版必修第四册

2020-2021学年高中数学 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理优质作业新人教B版必修第四册

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姓名：

第九章解三角形
9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.2　余弦定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=13,则a=(　　)

A.5 B.7 C.4 D.3
答案D
解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2×3×2×13=9,解得a=3.故选D.
2.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于(　　)
A.14 B.34 C.24 D.23
答案B
解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=2a.所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a·2a=34.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则C的大小为(　　)
A.60° B.90° C.120° D.150°
答案C
解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,
所以a2+b2-c2=-ab,即a2+b2-c22ab=-12,
所以cosC=-12,所以C=120°.
4.在△ABC中,sin2A2=c-b2c(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案B
解析因为sin2A2=1-cosA2=c-b2c,所以cosA=bc=b2+c2-a22bc,整理得a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形中最大角的度数是(　　)
A.135° B.90° C.120° D.150°
答案C
解析因为sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,故a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=-12.因为0°<C<180°,因此,C=120°.故选C.
6.

某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为(　　)
A.π3 B.π4 C.π6 D.π8
答案D
解析设等腰三角形的顶角为α,由三角形的面积公式,得4个等腰三角形的面积和为4×12×400×400sinα=320000sinα,由余弦定理可得正方形边长为4002+4002-2×400×400cosα=4002-2cosα,故正方形面积为160000(2-2cosα)=320000(1-cosα),所以所求占地面积为320000(1-cosα+sinα)=3200002sinα-π4+1,所以当α-π4=π2,即α=3π4时,占地面积最大,此时底角为π-3π42=π8,故选D.
7.(多选题)(2020海南中学高一期中)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=3+1,则下列说法正确的是(　　)
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=6
D.该三角形的面积为3+12
答案BC
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=4+4+23-2×2×(3+1)×12=6,所以a=6.由正弦定理,得asinA=bsinB,所以sinB=bsinAa=2×326=22.由于0°<B<120°,所以B=45°.所以C=180°-B-A=75°.三角形ABC的面积为12bcsinA=12×2×(3+1)×32=3+32.综上所述,选BC.
8.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b=　　　　　,若C=60°,则边c=　　　　　. 
答案5　19
解析由题意得a+b=5,ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=19.
9.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为33,则BC的长是　　　　　. 
答案13
解析由题可知12AB·AC·sinA=33,所以sinA=32.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°,由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc,得a=13即BC=13.
10.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是　　　　　. 
答案(2,8)
解析因为2a-1>0,所以a>12,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简得0<a<8.又因为a+2a-1>2a+1,
所以a>2,所以2<a<8.
11.在△ABC中,求证:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
证明右边=sinAcosB-cosAsinBsinC
=sinAsinC·cosB-sinBsinC·cosA
=ac·a2+c2-b22ac-bc·b2+c2-a22bc
=a2+c2-b22c2-b2+c2-a22c2=a2-b2c2
=左边.
所以a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
能力提升练
1.(2020江苏扬州大桥高级中学高一月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则B的值为(　　)
A.π6 B.π3
C.π6或5π6 D.π3或2π3
答案D
解析∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,且cosB=a2+c2-b22ac,∴sinB=32,∴B=π3或2π3.故选D.
2.在△ABC中,已知AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A.322 B.332 C.32 D.33
答案B
解析如图,

在△ABC中,BD为AC边上的高,且AB=3,BC=13,AC=4.因为cosA=32+42-(13)22×3×4=12,所以sinA=32.故BD=AB·sinA=3×32=332.
3.已知△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=120°,a=21,△ABC的面积为3,则c+b=(　　)
A.4.5 B.42 C.5 D.6
答案C
解析由三角形的面积公式可得S△ABC=12bcsinA=12bc×32=34bc=3,所以bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-2×4×-12=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选C.
4.(2020辽宁高一期中)△ABC的面积S=a2-(b-c)2,则sin A=(　　)
A.1517 B.817 C.1315 D.1317
答案B
解析根据S=12bcsinA,又a2=b2+c2-2bccosA,则S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=-2bccosA+2bc,所以-2bccosA+2bc=12bcsinA,化简得sinA=-4cosA+4,联立sinA=-4cosA+4,sin2A+cos2A=1,解得sinA=817.
5.(2020广东高三模拟)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代语言表示为:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=14[(ab)2-(a2+b2-c22) 2].根据此公式,若acos B+(b+3c)cos A=0,且a2-b2-c2=2,则△ABC的面积为(　　)
A.2 B.22 C.6 D.23
答案A
解析由acosB+(b+3c)cosA=0,得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(1+3cosA)=0.因为sinC≠0,所以cosA=-13.由余弦定理,得a2-b2-c2=-2bccosA=23bc=2,所以bc=3,由△ABC的面积公式得S=14[(bc)2-(c2+b2-a22) 2]=14×(32-12)=2.故选A.
6.(多选题)(2020江苏南京秦淮中学高一期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径仅为877
答案ACD
解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x其中x>0,解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知c边最大,所以三角形中C最大.
又cosC=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)22×4x×5x=18>0,所以C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中A最小,又cosA=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)22×6x×5x=34,所以cos2A=2cos2A-1=18,所以cos2A=cosC,由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈(0,π),C∈0,π2,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=csinC,又sinC=1-cos2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正确.故选ACD.
7.在△ABC中,sin B2=255,AB=5,BC=1,则AC=　　　　　. 
答案42
解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
又cosB=1-2sin2B2=1-2×45=-35.
故AC2=25+1-2×5×1×-35=32,
所以AC=42.
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=35,sin C=2sin A.
(1)求a,c的值;
(2)求sin2B+π4的值.
解(1)由正弦定理csinC=asinA及sinC=2sinA,得c=2a.因为a+c=35,所以a=5,c=25.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,
所以cosB=45.
因为B是三角形内角,所以0<B<π.
所以sinB=1-cos2B=35.
所以sin2B=2sinBcosB=2425,
cos2B=2cos2B-1=725.
所以sin2B+π4=sin2Bcosπ4+cos2Bsinπ4
=2425×22+725×22=31250.
素养培优练
　(2020山东泰安高三模拟)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若△ABC是锐角三角形,若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①A=π3;②a=13;③c=15;④sin C=13.
(1)条件①④能否同时满足,请说明理由;
(2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的△ABC的面积.
解(1)△ABC不能同时满足①④.理由如下:
若△ABC同时满足①④,则在锐角三角形ABC中,sinC=13<12,所以0<C<π6.
又因为A=π3,所以π3<A+C<π2,
所以B>π2,这与△ABC是锐角三角形矛盾,
所以△ABC不能同时满足①④.
(2)因为△ABC需同时满足三个条件,由(1)知不能同时满足①④,故只可能同时满足①②③或②③④,若同时满足②③④,因为c>a,所以C>A,则A<C<π6,则B>π2,这与△ABC是锐角三角形矛盾.故△ABC不能同时满足②③④.
若同时满足①②③,因为a2=b2+c2-2bccosA,所以132=b2+152-2×b×15×12,解得b=8或b=7.
当b=7时,cosC=72+132-1522×7×13=-126<0,
所以C为钝角,与题意不符合,
当b=8时,cosC=82+132-1522×8×13=126>0,所以C为锐角,满足题意,所以b=8.所以△ABC的面积S=12bcsinA=303.