2018年高考数学二轮复习-第二部分-专题五-立体几何-5.3.2-角与距离-理.ppt

5.3.25.3.2角与距离角与距离利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(多维探究多维探究)题型题型1求异面直线所成的角求异面直线所成的角例1如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.解题心得由于异面直线所成的角的范围是 ,利用向量的数量积所求的两个向量的夹角有可能是钝角,为此取向量夹角余弦值的绝对值作为异面直线的夹角的余弦值,即若AB,CD为异面直线,所成的角为,则cos=.对点训练对点训练1(2017江苏无锡一模,15)如图,已知正四棱锥P-ABCD,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N-PC-B的余弦值.解(1)设AC与BD的交点为O,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).=30,故异面直线MN与PC所成角为30.题型题型2求线面角求线面角例2如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TN AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.对点训练对点训练2(2017山西太原三模,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC,A1AC=60,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.(1)证明:DE平面A1B1C;(2)若AB=2,BAC=60,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.(1)证明取AC的中点F,连接DF,EF,E是BC的中点,EFAB.ABC-A1B1C1是三棱柱,ABA1B1,EFA1B1,EF平面A1B1C.D是AA1的中点,DFA1C,DF平面A1B1C.又EFDF=F,平面DEF平面A1B1C,DE平面A1B1C.(2)解过点A1作A1OAC,垂足为O,连接OB,侧面ACC1A1底面ABC,A1O平面ABC,A1OOB,A1OOC.A1AC=60,AA1=2,AB=2,OAB=60,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OAABcosBAC=3,OB=,AOB=90,OBAC.分别以OB,OC,OA1为x轴、y轴、z轴,建立如图的空间直角坐标系Oxyz,设m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一个法向量,题型题型3求二面角求二面角例3(2017全国,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.解题心得如图,设平面,的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为(0),则|cos|=|cos|=.结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.对点训练对点训练3(2017全国,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EF BC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,空间点到面的距离空间点到面的距离例4如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM平面ACE.(1)解设ACBD=O,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效.(2)异面直线间的距离可以通过在两条直线上任意各取一点A,B,求向量 在公垂线的方向向量n上的投影来解决;直线到与其平行的平面的距离、平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离.对点训练对点训练4A1B1,A1D1的中点.(1)在图中作一个平面,使得BD,且平面AEF;(不必给出证明过程,只要求作出与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面)(2)若AB=AA1=2,BAD=60,求点C到所作截面的距离.解(1)取B1C1的中点G,D1C1的中点H,连接BG,GH,DH,则平面BDHG就是所求的平面.(2)取BC的中点M,AB=AA1=2,BAD=60,以D为原点,DA为x轴,DM为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,