《金融衍生品》课件_第07章_金融衍生产品定价原理.pdf

第七章衍生证券定价原理一、绝对定价法与相对定价法二、无套利定价1、复制定价法2、状态价格定价法3、风险中性定价方法4、鞅定价方法三、鞅定价方法的运用1一、绝对定价法与相对定价法缠生定价法：运用恰当的贴现率将未来预期现金流贴现加总（股票和 伍券）。祖亚富饺猿L型用唇跑章比黄章聂被金证券价格之间的内在关系，直 搂根据标的资产价格求出衍生证券价寤。绝对定价法具有一般性，易于理解，但难以应用；相对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生证券定价。无套利定价法：相对定价法一种形式。2二、无套利定价 如果一个市场上，存在下述情况：初期投入为0,未来回报大于等于0,或大于。的概率大于0,这个市场就存在套利机会，否则该市场是无套利的。市场达到无套利均衡时的价格简称无套利价格。无套利是衍生资产定价的基本假设，以下四种定价 方法均基于无套利的假设。3四种不同形式的无套利定价 复制定价法 状态价格定价法 风险中性定价法 鞅测度定价法41、复制定价法：一个例子假设一种不支付红利股票目前的市价为10元,我们知道在3个月后，该股票价格或者为11 元，或者为9元。假设连续无风险年利率为 10%o如何为一份3个月期，协议价格为10.5元的该 股票欧式看涨期权定价？10 7CK=10.5 元5复制定价法：例子得税螂品皤叫&无风险组合。为了使该组合在期权到期时无 风险，必须满足：11A-0.5=9A(7-1)=0.25该组合的现值应为：2.25e-4x-25=2.19元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单 位股票多头，而目前股票市价为10元，呼匕 10 x 0.25-C=2.19 C=0.317U6例子的一般化表述假设一只无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S。基于该 股票的某个期权的价值是期权到期日为T,在期权存续期内，股 票价格或者上升到Su,相应的期权回报为防 或者下降到Sd,相应 的期权回报为九。连续无风险年利率为广。为了保证无套利，股票的价格要满足：2,J)包 S S(7-2)u er(TT)d(7-3)7价格二叉树S,(=Sz/)fuS匚 人？)Sd(=Sd)fd欧式看涨期权九=max(S K 0)为=max(Sd-K,0)欧式看跌期权九=max(K-SUf0fd=max(K-Sdf 0)8复制定价法构造一个由一单位看涨期权空头和A单位标的股票多头组 成的无风险组合，并可计算得到该组合无风险时的值。Su fu=ASd fd(7-4)解得,=fu-fdSu-Sd无风险利率为r,在无套利条件下，有 SA /=(S九)所以：/=其中，P=忸九+(1再%)er(T-t)(7-5)(7-6)u-d92、状态价格定价法状态证券（Arrow证券）、状态价格 Arrow证券：在某一特定状态发生条件下，交割一单位的购买力（1元钱）；如果该状态没有发生，则该证券的持有者什么也得不 至!I。此类证券通常被称为“基本证券”。状态价格（state prices）,指的是在特定的状态发生时回报为1,否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的状态价格都知道，那 金苔繇瞽种懿簸翻酸蕊耨报状况就可以对该 状态价格定价法其实质是复制定价法的一种运用。10状态价格定价法SSd(=s)一0购买Su份基本证券1和Sd份基本证券2,在无套利条件 下，该组合有T时刻的回接舁股票是相同的，即S=71nsu+ndSa（7-7）1=nuu+ndd（7-8）购买1份基本证券1和1份基本证券2,该组合在T时刻总能获得1元，这是无风险组合,，在无套利条件 下，有/+”=广弘6（7-9）7rder（Tt）+兀=1（7；）11状态价格定价法所以1-de 一穴 TT)丸=-F-，nL-F一r u er(TT)d(7-3)，有 由nu 0,nd 0(7-11)对于支付为p和4，状态价格定价的一般表达式:P=%兀+Pd n d（7-12）123、风险中性定价方法在状态价格定价方法中(t=o),对无风险资产有1=e 仃 Ji+e 7rd(7-13)上式右边第一项看作是上升状态概率以=e人右边第二项看作是下降状态概率Pu，Pd均大于零,且+PdPa=1.13风险中性定价方法P=L（PuP+P请力（7；4）上式右边是随机支付心和七在概率P“Pd下的期望值，再 按照无风险利率贴现。在概率P Pd下，所有的资产期望值都可以按照无风险利率贴现。在这个 概率定义下，所有投资者仿佛都是风险中性的。这就是风险中性定价的含义。概率P Pd称为风险中性概率。14如何理解风险中性定价 P=eyT(Pu.ProbdPdo(7-15)(7-14)(7-16)这种风险中性概率对实际概率的扭曲，隐含了真实世界的风险厌恶程 度和风险溢价的天小。154、鞅定价方法(1)计价单位(计价物)可以采用无风险资产作为计价物，也可以采用其他资 产，如黄金、股票作为计价物。(A)采用无风险资产作为计价物时，假设期初的价值 t时刻的计价物价值?(力。(B)采用股票作为计价物，要考虑其红利收益。假设股 票的红利收益率为心假设股票期初的价格为心，t时 刻的价格为 St。计价物期初的价值1/(0)=s。，/价物t 时刻的价值=。16(A)无风险资产作为计价物 R二尺(0)=1R(T)=Rd=e以无风险资产作为计价单位，则有P _ Pu PdN=瓦+p与(7-16)lid2(IVIartingale)假设 x 为一个随时间变化随机变量(随机过程)，XG：)为该随机 过程当前值，X(s)为该魔机过程的未来的值$)，若运个I 机变量 满足XCO=E/XCs)贝(J迂个随机过程被称为一个鞅过程(Martingale)。鞅定价公式上式的含义可以理解为，翳是一个与时间有关的随机变量，它 在风险中性概率下是一个鞅过程。也即：这是鞅定价的公式。18(B)考虑风险资产作为计价物为了简化分析，我们先假设红利收益率方o情形。根据式 S=Su7lu+Sd7Td,可得到 1=Su7tu/S+Sd7ld/So定义藐=巴0,Qd=吟 0.A Aq 立+Qd=1(7-18)%,为第一种状态出现的概率，%为第二种状态出现的概率。采用风险资产s作为计价单位，则有：7=%詈+q*(7-19)、Sd上式表明选择风险资产s作为计价物，其他资产和风险资产的比 值联在Qd概率分布下是一个鞅过程。鞅定价模型的一般表示式目前是基于二叉树模型的推导。鞅定价模型在连续分布时也是成立的，这 里不作严格的证明。以num表示计价物（可以使无风险资产也可以是无风险资产），鞅定价一般 表达式为：4=E吁(匹 num(t)num(T)(7-20)表示以资产num为计价物时的概率分布下的期望值。鞅定价公式：=加山。*尸（熹患）（7-21）20三、鞅定价的运用：欧式期权定价欧式看涨期权到期支付：C(T)=maxS(T)O,其支付可以写成下式:C(T)=S(T)-I-k-I(7-22)其中,变量I满足条件:当S(T)Nk时为1,当S(T)I S(0)0 V S(T)Cs(0)=S(0)-END=S(0)-probsS(T)KCd(T)=I,以无风险资产R(t)=e作为计价物：鬻=(总)(7-24)CD(0)=e-rTEg(7)=e-rT-probRSQT)K(7-25)因止匕：C(0)=S(0)-probsS(T)K-ke-rT-probRSQT K(7-26)23鞅定价的运用：欧式期权定价上式中probss(T)2 K是风险资产作为计价物时的资产价格分布下，期权 被执行的概率，实际上就是后面要介绍的B-S期权定价模型中的N(di)；probRSQT)K是无风险资产作为计价物时的资产价格分布下，期权被执行的 概率，就是B-S模型中的N02)。S(T)在实际概率测度下服从对数正态分布的，后面的章节的分析可以得到，在不同的计价物下也是S(T)服从对数正态分布的，只是在不同的计价物下概率分 布有所不同，计算出的NR?)不同。对于欧式看跌期权：P(丁)=(K-S(T)1S(T)Kp(t)=Q-(tT)prob(S(丁)K)-S(Oprobs(S(T)K)24