非均匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法.pdf

分类号 TU348密级UDC硕士学位论文非均匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和 固有频率计算的无网格法学科专业结构工程研究方向工程结构分析、设计及施工控制 非均匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法摘要弹性地基上的板壳结构是实际工程中广泛应用的结构形式，是当下理 论与工程实际研究的热点问题。本文运用无网格数值模拟方法对非均匀弹 性地基上加肋变厚度板的静力弯曲和固有频率进行分析和计算。本文回顾了无网格法的发展历程与研究现状，并重点介绍了无网格伽 辽金法(element-firee galerkin method,EF GM)的基本理论与推导过程，包括 形函数与权函数的推导与选取、背景网格积分方案的运用与边界条件的引 入。根据无网格伽辽金法，基于一阶剪切变形理论(first-order shear deformation theory,F SDT)与移动最二乘近彳以(moving least squares,MLS)将弹性地基上的加肋变厚度板结构视为板与肋条的组合结构，分别推导出 板与肋条各自的位移近似函数。将非均匀弹性地基以地基应变能的形式引 入到板的总势能泛函当中，由位移协调条件将板与肋条的能量叠加，得到 非均匀弹性地基上加肋变厚度板的总能量泛函，再分别由最小势能原理和 Hamilton原理得到静力弯曲和自由振动的控制方程，从而求出结构的弯曲 挠度和固有频率。本文的无网格法数值计算方案采用C+程序进行编写，通过与现有相关文献和有限元软件Abaqus的算例对比分析，验证本文方法 的有效性与精确性。本文选取两种不同形貌的非均匀弹性地基模型，讨论地基刚度差异性、不同边界条件等因素对板的弯曲变形和固有频率的影响。针对非均匀弹性 地基的不均匀沉降造成的板的相对挠度差，研究加肋变厚度板的不同结构 I形式对减小相对挠度差的作用。通过算例分析验证加肋变厚度板减小板间 相对挠度差的可行性与有效性，并基于无网格法对非均匀弹性地基上板的 结构优化问题提出展望，为工程实际问题提供参考价值。关键词：非均匀弹性地基；加肋变厚度板；无网格伽辽金法；静力弯曲;相对挠度差；固有频率。IIANALYSIS FOR THE BENDING AND NATURAL FREQUENCY OF RIBBED NON-UNIFORM THICKNESS PLATE ON NON-HOMOGENEOUS ELASTIC FOUNDATION VIA THE MESHLESS METHODABSTRACTThe plate and shell structure on the elastic foundation is a widely used structural form in practical engineering,and it is a hot issue in the current theoretical and engineering research.In this paper,meshless numerical simulation method is used to analyze and calculate the static bending and natural frequencies of ribbed non-uniform thickness plates on non-unifbrm elastic foundations.In this paper,the history and research status of meshless methods are reviewed,and the basic theory and derivation process of element-free galerkin method(EF GM)are introduced,including the derivation and selection of shape functions and weight functions,and application of background grid integration schemes and introduction of boundary conditions.Based on the EF GM and first-order shear deformation theory(F SDT)and moving least squares(MLS),the ribbed non-unifbrm thickness plate on non-homogeneous elastic foundation is regarded as a plate with composite structure of the rib,the displacements approximated functions of the plates and ribs are derived respectively.The non-homogeneous elastic foundation is introduced into the total potential energy function in the form of ground strain energy,then through the condition inof displacement harmony,the energy of plate and rib are superimposed and the total energy of ribbed non-uniform thickness plate on the non-homogeneous elastic foundation is obtained Then the control equations of static bending and free vibration are obtained by the principle of minimum potential energy and Hamilton principle,respectively,then the bending deflection and natural frequency of the structure is obtained.The meshless simulation of this paper is written in C+program.The validity and accuracy of this method are verified by comparison with current literature and Abaqus.In this paper,two kinds of non-homogeneous elastic foundation models with different morphologies are selected,the effects of the bending deformation and natural frequencies in different foundation stiffness,different boundary conditions and other factors are dicussed.In view of the difference in relative deflection of plates caused by uneven settlement of non-homogeneous elastic foundations,and in order to decrease the relative deflection,the effects of different structural forms of ribbed non-unifbrm thickness plates were investigated.The feasibility and effectiveness of the ribbed non-unifbrm thickness plate to reduce the difference in relative deflection of plates are verified by numerical examples.KEY WORDS:non-homogeneous elastic foundations；ribbed non-unifbrm thickness plate；static bending；natural frequency；relative deflectionIV目录摘要.IABSTRACT.Ill第1章绪论.11.1 选题背景.11.2 无网格的研究历史与现状.21.2.1 国外无网格的研究历史与现状.21.2.2 国内无网格的研究历史与现状.41.3 变厚度板以及加肋板的研究现状.51.3.1 变厚度板简介.51.3.2 加肋板的研究现状.61.4 弹性地基上板壳结构的研究现状.81.5 本文的主要内容.9第2章 基本理论与分析模型.112.1 引言.112.2 无网格伽辽金法中的近似方法.112.2.1 移动最小二乘近似.112.2.2 权函数的性质.142.3 无网格伽辽金法的基本原理.172.3.1 控制方程的推导.172.3.2 背景网格积分方案.182.3.3 完全转换法处理位移边界条件.192.4 无网格伽辽金法程序设计计算.二.202.5 弹性地基模型.222.5.1 Winkler 弹性地基.222.5.2 双参数弹性地基模型.222.5.3 弹性半空间地基模型.232.5.4 分层地基模型.232.6 非均匀弹性地基模型.24第3章 非均匀弹性地基上加肋变厚度板的弯曲分析.263.1 引言.263.2 弹性地基上加肋变厚度板的无网格计算模型.263.3 弹性地基上加肋变厚度的静力弯曲无网格模拟.273.3.1 一阶剪切变形理论.273.3.2 变厚度板和肋条各自的势能.283.3.3 位移协调条件.303.3.4 非均匀弹性地基上加肋变厚度板的弯曲控制方程.333.4 算例分析.343.4.1 无网格方法有效性验证.343.4.2 条形非均匀弹性地基上板的相对挠度差计算分析.453.43方 形非均匀弹性地基上板中点挠度计算分析.58v3.5 本章小结.64第4章非均匀弹性地基上加肋变厚度板固有频率计算分析.664.1 弓I 言.664.2 非均匀弹性地基上加肋变厚度板的自由振动方程.664.2.1 非均匀弹性地基上加肋变厚度板的能量泛函.664.2.2 位移协调条件.694.2.3 固有频率计算.704.3 算例分析.704.3.1 无网格方法有效性验证.70432条形非均匀弹性地基上不同因素对加肋变厚度板固有频率的影响.814.3.3 方形非均匀弹性地基上不同因素对加肋变厚度板固有频率的影响.854.4 本章小结.87第5章结论与展望.885.1 结论.895.2 展望.89参考文献.91致谢.99攻读硕士期间参加的科研项目和发表的论文.100VI广西大学硕士学位论文m 3与弹性地基上加肋变厚反板弯 曲和 固有频率计算的天网格法第1章绪论1.1 选题背景板壳结构的力学性能研究一直是固体力学中的热点问题，从最初的经典板壳力学分 析理论开始，学者们就对板壳结构展现出了浓厚的兴趣。随着工业生产水平和科学技术 地不断发展，有关板壳结构的研究不胜枚举，但大多研究都是围绕等厚度板展开，而对 于厚度发生变化的变厚度板结构的研究则寥寥无几。实际工程问题中为了满足提高材料 的利用率，减轻结构的自重等需要，很多情况下要根据外界荷载情况和支撑条件使板的 厚度作相应的变化，因此变厚度板就应运而生成为实际工程中不可或缺的板壳结构。而 加肋板则是通过在板上增加肋条的方式提高板的刚度，将变厚度板与加肋的方式相结合 不失为一种有效的板壳结构形式，其对板壳结构力学性能的研究以及解决工程实际问题 提供了更多的可能性。弹性地基上的板壳结构也是工程中常见的一种结构形式，如混凝土路面板、建筑筏 板基础、机场跑道等。由于地基的存在，这类地基上的板壳结构一般承受的荷载都很大 且在设计过程中需要满足一些特殊的构造要求，所以必须根据设计规范严格控制板的内 力和变形。因此，弹性地基对板壳结构的影响是不可忽视的，关于弹性地基上的板壳结 构的力学性能研究一直是科研人员非常关注的问题，有关此类板壳结构的弯曲、振动等 基本力学问题的分析对于解决工程实际问题和现有理论的补充都有着重要的意义。在对实际工程中的地基进行简化时，为了方便计算，常把地基看成是均匀的，然而 实际工程中根据具体情况的不同经常要考虑到地基的不均匀性，不能一味的将地基简化 成均匀的，这将给设计计算带来很大的误差。因此，这就要求研究人员根据地基的多变 性和不均匀性提出非均匀弹性地基模型，使工程的设计计算更为合理、有效。在对弹性地基上板壳结构进行模拟计算时，有限单元法是首先被考虑使用的。随着 现代计算机技术的发展有限单元法得以迅速的发展起来，它起源于20世纪50年代，首 先应用于连续体力学以及动态特性分析等领域中。发展至今，有限单元法在人们不断创 新与探索中越发成熟，被广泛应用于科学研究与工程实践的各个技术领域，尤其在力学 方面的科学研究中，它能用直观的网格单元将研究物体进行离散，根据网格的大小和形 状的不同调整被离散的研究模型，使其几何特征和物理概念被更直观的展现，便于学者 学习和理解。因此，有限单元法现已成为数值模拟与工程分析中不可或缺的方法之一。广西大学硕士学位论文mg 与弹性地基上加肋变厚度板弯 曲和 固有频率计算的无网格法然而，有限单元法虽然功能强大但也存在一些不足之处。在处理裂纹扩展、塑性流 动、高速撞击以及大变形等问题时有限元在进行网格划分时会出现网格畸变的情况导致 求解过程难度加大，时常需要重新划分网格。而重新划分网格往往会增加重复的工作量 这样一来，对于一些需要反复验算的问题就会带来很大的麻烦大大降低了工作效率，而 且这个过程由于网格的重置导致每次计算的结果会不稳定，从而使计算的精度也有所下 降。这样不仅使模拟难度增加而且还不一定能得到我们需要的满意解答。因此，解决此 类问题时，为了提高计算效率，应该采用一种更为合理、便捷的数值计算方法无网 格法。无网格法与有限元相比最大的特点就是在对研究物体进行离散时不需要划分网格 而是采用节点进行离散。无网格法通过求解域内布置的有限个节点上的信息来构造形函 数，将待求场函数分段逼近后得到最终近似场函数从而求解。与有限元相比，无网格法 最大的优势在于离散方式的不同使研究对象的几何形貌不再受网格的约束，让数值模拟 过程变得灵活自如，而且无网格法还能调整不同区域的网格疏密程度来更精确地表达物 体的几何特征，便于研究人员把握计算精度。同时精度高、收敛速度快也是无网格法能 在解决某些问题时脱颖而出的优势所在。虽然有关无网格法的研究与应用目前已初见成 效，但相比有限元法的发展还是有些许不成熟的地方，但随着研究浪潮的推动，国内外 众多学者将不断涌入其中，对无网格法展开更深入的探索与研究。我相信在不久的将来，无网格法将会突破各种技术难题，取长补短，成为数值分析领域的一把利器。对于变厚度板与肋条相结合的结构体系而言，其不仅通过变厚度能提高材料利用率 从而减轻自重，而且能通过加肋对结构刚度进行补强，做到质量轻，刚度大，性能好等 优势，因此，其在基础工程、机械制造、航空航天等工程领域中的应用前景不容小觑。本文将采用无网格伽辽金法(Element-F ree Galerkin Method)对加肋变厚度板在非均匀 弹性地基上的弯曲和固有频率进行计算分析，由于研究对象的几何特征和肋条位置都在 不断变化，而基于无网格法求解可以不用重新划分网格将使计算更加便利，提升计算效 率。此外，通过与相关有限文献以及Abaqus有限元软件进行算例对比分析验证本文方 法的有效性。1.2 无网格的研究历史与现状1.2.1 国外无网格的研究历史与现状无网格法(meshless method)的萌芽诞生于20世纪中后期，当时的国外研究学者 2广西大学硕士学位论文m3 匀弹性地基上加肋变厚度板 弯曲和 固有频率计算的 无网 格法们在对不规则的网格有限差分法的研究中并从中想到了不划分网格的数值计算方案。但 有限单元法的发展势头过于强劲，这种想法刚开始并没有受到科学界的重视。无网格法 得到落实与应用是从Luc严提出的光滑粒子运动学（smoothed particle hydrodynamics,简称为sph2-5）开始，这是一种无需划分网格的纯拉格朗日数值计算方法。起初此方 法应用于研究天体物理时得出的计算结果在精度上难以达标，由于该方法布置的节点数 的多少对计算结果的精度起着很大的决定作用。因而对节点的调整使计算时的前期工作 量大大增加。虽然当时的研究人员暂时无法解决SPH法的这一问题，但由于其在高速 撞击、裂纹扩展等问题的处理上具有其他一些数值方法无法比拟优越性，使SPH法依 然应用于实际问题当中闭。从20世纪80年代初开始，有一批学者在原有SPH法的基础上对其算法进行了改 良与完善。Johnson为了提高SPH法的精度提出了一种将函数光滑化的算法。与此同 时Swegle、Dyka与Chen的等也通过不同的方法对SPH法进行了改良，提高了方法 的稳定性。Monaghan2对SPH法展开了进一步的研究，并基于SPH法提出了一种解释 为核（kernel）近似的方法。在这方面同样做出贡献的还有LIU】等，他们在前人的基 础上对SPH方法进行了改善，提出了再生核粒子方法（简称RKPM）。随着研究学者们 对SPH方法的不断研究与创新，其已被广泛应用于流体动力学、冲击波模拟、水下爆 炸仿真模拟等问题中“】。服与此同时，随着无网格法的发展与推广，另外一种发展迅速的无网格法也正在逐渐 进入学者们的视线。一种用移动最小二乘法P2-27（Moving Least-square,简称MLS）来构 造形函数的方法，也就是移动最小二乘近似无网格方法也随之发展起来。20世纪后期，用丫加。328】等在一种基于伽辽金9出山11）法的数值计算中首次运用了 MLS近似，并由 此提出了漫射元法（diffuse element method,DEM）。1994年美国学者Belytschko网等对漫 射元法展开了深入研究后，对漫射元法计算时给出的形函数进行了改良，在引入边界条 件时应用拉格朗日乘子法进行处理，并基于漫射元法中在将移动最小二乘近似与伽辽金 法相结合的思路，提出了 无单元 Galerkin 法（the element-free Glerkin method,EF G）,为 无网格法的发展奠定了坚实的基础。此类方法成为至今应用较为广泛的无网格方法之一 3。-34,因其具有良好的计算精度与收敛速度，且计算稳定。但缺点是计算量相对较大，计算效率因而受到影响。在无单元Galerkin法被提出之后数年，Athiri等里】在前人的基础上，基于移动最小 二乘近似，提出了无网格局部 Petrov-Galerkin 法（meshfree local Petrov-Galerkin method,广西大学硕士学位论文m 当匀弹性地基上加肋变厚度板弯 曲和 固有频率计算的无网格法简称MLPG）。此方法在算法上采用Galerkin弱式，从加权余量法的角度上看，其要求 以离散节点为中心的一系列子域上的近似场函数必须满足积分弱式，基于此特点，MLPG法较适合解决有关非线性的问题。1.2.2 国内无网格的研究历史与现状随着国外学者们对无网格法研究的深入，这股研究热浪也逐渐涌入中国，感染了国 内的学者们。20世纪末期，无网格思想开始在国内传播。周维恒教授最早在清华大学 展开了对于无网格法的研究36。他对无单元Garlerkin法做了细致的介绍，并把它应用 于解决拱坝的开裂问题分析中，且对无网格法在解决岩土工程中的力学行为问题中也有 所研究。其独特的研究思路给国内其他学者留下了深刻的印象，并为国内无网格的研究 奠定了基础，其学术上的成果也一直被后人所借鉴。在此之后，随着无网格法的研究氛围愈发的浓厚，大批学者也都络绎不绝地加入其 中。最初的国内学者们大多是针对无单元Galerkin法展开的研究,张雄对无单元Galerkin 法进行了拓展研究，并将这种方法应用到岩土问题的研究中画；庞作会网利用无单元 Galerkin法研究边坡开挖问题；曾清红网等用无网格法研究渗流相关的问题；苑素玲口。】等用无单元Garlerkin法对温度场的问题进行了研究；周瑞忠等【旬在解决断裂力学的问 题时考虑到无网格法在这方面的优越性采用了一种影响半径能根据计算要求自动适应 的无网格法;陈建等附采用基于滑动最小二乘的无网格法计算了功能梯度材料的断裂力 学问题；范永利等4刃将无网格法运用到求解中厚板弯曲问题中；刘天祥等网佝研究无网 格法与有限元法之间的耦合问题，这样做能将各种数值计算方法的优势想结合，合理运 用算法来减少运算量从而提高计算效率；张希等M 4可通过运用无网格局部 Petrov-Galerkin法进行几何非线性以及材料非线性问题进行分析时发现计算精度得到了 较大提升。由于几何非线性时常会考虑结构发生过大变形，在运用有限元求解此类问题 时往往会造成网格畸变，而采用Petrov-Galerkin法时能成功规避这些不利于计算的因 素，所以在解决非线性问题时无网格法有其独特的优越性。国内学者的一些创新性研究对无网格法的发展做出了突出的贡献。2000年伊始，张雄、宋康祖等A*。在前人研究的基础上将最小二乘法与配点法相结合，建立了最小二 乘配点无网格法，并提出了紧支试函数加权残量法，为国内无网格法的研究探索树立了 新的标杆。随后刘小虎和张雄等6通过对配点法的改良，增加了算法中的辅助点，克服 了伽辽金法中的计算缺陷使计算量减小的同时也提高了计算精度。与此同时，张雄和胡 4广西大学硕士学位论文mg匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法炜等开始对最小二乘近似展开了进一步的研究，根据最小二乘法和变分原理将原有的 最小二乘无网格法进行了改良，提出了加权最小二乘无网格法。其优势在于既避免了使 用高阶高斯积分带来的计算难度，又可以消除节点处和辅助点出的残差，从而使计算量 得以减小，方法可行性得到大大提高。张见明画基于前人对无网格法的研究，提出了一种边界类型无网格方法一杂交边 界点法。该方法采用修正变分原理，将其与移动最小二乘法相结合，基于无网格法的局 部化思想，通过在局部子域内限制积分方程使各个边界节点相互联系从而得到边界局部 积分方程。此方法由于在整个计算过程中都不需要网格，因而称得上是真正意义上的无 网格法。且这种方法前处理过程比较简单，因此计算速度快且精度高、收敛性好，在二 维位势问题、平面静力问题乃至三维位势问题上都得到了应用。随着科学技术的不断发展以及研究人员们的不断努力，无网格法也逐步向着高精 度、高效率和稳定性好的方向发展，我相信之后会有更多的国内外学者投身到这一方法 的研究热潮中，为无网格法的发展和数值分析计算的未来不懈奋斗。1.3 变厚度板以及加肋板的研究现状F ig.1-1 Different section of non-unifbrm thickness plate科技的进步引领着生产制造水平不断向前发展，人们对工业制造的要求也越来越高。板材是各项实际工程中运用广泛的一种结构形式，实际工程应用中为了满足提高材 5广西大学硕士学位论文匀弹性地基上加肋变厚度板弯 曲和固有频率计笄的无风格法料的利用率，减轻结构自重等需求，很多情况下要根据外界荷载情况和支撑条件使板的 厚度作相应的变化，变厚度板由此被广泛应用于工程实际中，对变厚度板的力学性能进 行研究从理论和实际上都是非常有意义的。关于变厚度矩形板的力学性能研究起初从研究线性变厚度板的级数解开始，对阶梯 形板给出统一解式并以此来逐渐逼近连续的单向变厚度板。而后随着科学技术以及计算 机水平的飞速发展，从20世纪60年代以来，随着有限单元法的兴起，众多数值分析方 法也得到了发展。1965年F.C.Appl等四用上限法和下限法求解四边简支线性变厚度矩 形板自由振动的固有频率；1974年，S.R.Soni等的采用样条函数法求解变截面矩形板 的振动问题。随着计算机技术和数值分析水平的不断提高关于变厚度矩形板的研究也受 到了国内学者们的关注。1988年，仝立勇阿采用两步级数展开法对四边简支的变厚度 矩形板的临界荷载和振动特性进行了研究和讨论；1993年，李光耀等S提出一种任意 网格差分格式来求解变厚度薄板弯曲问题；2009年，张彬等阿用DQ法研究了变厚度 矩形薄板的弯曲问题；2012年，刘行愣采用无网格法对变厚度薄板的弯曲和自由振动 展开了研究。1.3.2加肋板的研究现状加肋板又称加劲板(ribbed plate),如下图1-2所示，相对于平板而言，加肋板就是 在平板上布置肋条而形成的一种板壳结构。肋条的添加使板在整体自重几乎不变的情况 下结构刚度得到了加强且稳定性也得到了提高。因此，加肋板是一种既简单又经济实用 的结构形式。肋条图1-2加肋板的结构形式 F ig.1-2 structure of ribbed plate加肋板因其独特的优势在建筑、航空航天以及船体等实际工程领域得到了广泛的应 用-631(图I、1-4所示)。如人们最常见的建筑结构里的混凝土梁板结构，若将梁看作 是肋条其就是一个典型的加肋板实例。对于加肋板的研究，我们的目标在于保证结构可 靠耐用时尽可能节约材料，减轻自重，让结构形式得到优化。由于加肋板在实际工程中 的广泛应用，因此关于它的研究与分析是十分有意义的。6广西大学硕士学位论文m 冯匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法图1-3加肋板在桥梁中的应用 图1-4加肋板在航空材料上的应用F ig.1-3 Application of ribbed plate in bridge F ig.1-4 Application of ribbed plate in aviation materials加肋板是由平板和肋条两部分组成，但平板和肋条之间在计算时是需要耦合的，所 以将加肋板看成一个整体来进行力学计算是相对困难的，获得解析解就更难了。因此为 了研究加肋板的力学性能就要在计算时对加肋板整体结构进行简化，建立便于计算的力 学模型，目前的研究中有以下几种简化模型作为理论依据：(1)正交各向异性板的模型这是一种较为简单的加肋板计算模型，此模型首先将平板和肋条看成一个整体，既 然是一个整体就不存在肋条和板的耦合问题，这样就能将肋条的刚度均分到板的刚度 上，统一了加肋板整体刚度体系，然后按正交各向异性板理论对加肋板进行建模计算。这种模型对肋条进行的刚度整合处理使得建模求解计算简单了许多，计算量也随之减 小，但这样的简化往往只适用于肋条密集均匀布置的加肋板，对于肋条数量少或肋条间 距较大的情况此方法无法适用。(2)梁格(Grillage)模型由于上述正交各向异性板模型在对加肋板的处理局限性较大，所以学者Smith、Omid-varan版在前人基础上对加肋板模型进行了改良，便有了梁格(Grillage)模型的出 现。所谓梁格，首先将肋条看成梁板结构里的梁，将梁像网格一样垂直交叉布置形成一 个棋盘似的网格状结构，再将它布置于板上，相当形成了一个梁板组成的结构模型，也 就是梁格模型梁格模型既做到了肋与板的分开又照顾到了加肋板的整体性，但这种模 型由于将肋条看成了一个整体忽略了肋条由于方向或位置的不同所具有的独立性，因此 该模型能模拟的情况有限，不能全面的表达加肋板的结构特征。所以之后的研究学者更 倾向于将加肋板看成是一个混合结构，平板依然当成板来计算，而先将每根肋条独立开 来看成梁模型进行计算，然后再将板和肋条通过位移协调条件进行耦合。7广西大学硕士学位论文mg 匀弹性地基上加肋变厚度板弯 曲和固有频率计算的无网格法(3)离散板、肋条的加肋板模型这种模型相比前两种模型对加肋板的模拟更具普遍性且更符合实际，其计算思路清 晰，考虑到板和肋条之间固有的不连续性质，将板与肋条独立开来进行计算分析，并分 别建立板与肋条各自的位移场和刚度矩阵，巧妙地运用板与肋条之间的位移协调条件，将两者的位移与刚度进行耦合组成整体刚度矩阵得到最终的刚度方程。这样的计算模型 经过国内外学者的研究和探索已充分证明了其合理性和准确性。Liew和Xiang阿用瑞利-里兹法、郭兆璞等附和王蔓等网运用有限元法都在此模型的基础上对加肋板的动力性 能展开了研究。此外，彭林欣阳-721基于移动最小二乘无网格法，结合一阶剪切变形理论对加肋板的 弯曲和自由振动展开了研究。其首先根据理论推导得出板与肋条各自的位移近似场函 数，然后通过板与肋条的应力应变场由能量方程得出板与肋条各自的势能泛函，再将两 者通过位移协调条件进行组合得到整体能量泛函和整体刚度矩阵，采用完全转换法引入 本质边界条件，最终得出加肋板弯曲或自由振动的控制方程并求解，计算结果与有限元 解相吻合，验证了此方法的有效性。1.4 弹性地基上板壳结构的研究现状有关弹性地基上板壳结构力学性能的研究，国内外学者都有涉足。关于均匀的弹性 地基上板的力学性能研究，Zekai。刃利用伽辽金(Galerkin)法研究了矩形板在无拉力弹 性地基上的弯曲；国内有阎红梅等四和曲庆璋等175同样运用伽辽金法对弹性地基上四 边自由矩形板展开了研究；除了伽辽金法，成祥生加和陈叔陶m利用里兹(Ritz)法研 究了弹性地基上板的弯曲和振动等力学问题；Liew和Wang78,79在里兹法的基础上提出 pb-2Ritz法对任意几何形状的中厚板展开静力分析。Katsikadelis等网、Balas等】和 Wang等画运用边界元法(Boundary element method)研究矩形板在双参数弹性地基上 多种边界情况下的静力弯曲问题；其中Wang等网考虑了厚板理论，对弹性地基上矩形 板的研究理论进行了完善。李刚等网运用构造试函数的方法对双参数弹性地基上的四边 自由矩形板进行了研究；Shen等网8习对矩形板在不同的弹性地基上的线性与非线性弯 曲问题做了详细研究。有限元作为热门的数值分析手段在研究弹性地基上板的力学问题 时同样受到研究者们的青睐，Huang颔运用有限条法对弹性地基上的板的静力弯曲进行 了计算;张祥等将有限元法与边界元法相结合对四边自由的矩形板在双参数弹性地基 上的静力弯曲进行了研究。无网格法同样也被应用于此类问题，张建辉网采用无单元法 8广西大学硕士学位论文mg匀弹性地基上加助变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法研究了双参数地基上薄板的静力弯曲问题。杨柳等画采用微分求积法研究了 Winkler地 基上变厚度矩形板的弯曲问题；徐腾飞和邢誉峰利用分离变量法得到了 Winkler弹性 地基上矩形薄板自由振动的精确解。上述文献基本只考虑了均匀的弹性地基，因为这样可以竟可能的简化地基模型，但 实际问题中经常会遇到地基是不均匀的情况，如面积较大的筏板基础的地基、添加了多 种填充物的地基以及地质条件较为复杂的山区地基等等，若遇到此类地基明显不均匀的 情况时依然采用经验公式或参数协调的方法将地基看作是均匀的显然是不合理的，因而 研究学者们考虑地基的不均匀性对非均匀弹性地基上板的力学问题展开了相应研究。研 究非均匀弹性地基的文献较之均匀弹性地基少了很多。关于弯曲问题，苏成等在前人 的基础上，运用边界元法对厚板在非均匀Winkler弹性地基上的弯曲性能展开了研究；陈英杰等192对厚板在非均匀Winkler弹性地基上的静力弯曲问题展开了研究；陈浩网 利用不同的数值分析方法对非均匀弹性地基上板的弯曲问题展开了研究；关于振动问 题，国外学者成果较多。Shen等194-96在自由振动和受迫振动的问题上对多种弹性地堇:上的矩形板展开了多方面的的研究，并详细论述了温度场和预加面内机械荷载对弹性地 基板的动力特性的影响；Laura等a刀通过瑞丽里兹(Rayleigh-Ritz)法对非均匀Winkler 弹性地基上的多种几何形状不同的板壳结构在不同边界条件下的自由振动问题展开了 研究；Jedrysiak网分析了薄板在非均匀Winkler弹性地基上的自由振动问题；Xiang99 则对中厚板在非均匀Winkler弹性地基上的自由振动问题展开了研究。放眼国内，张粢 华等U。应用一种特殊的边界元法对薄板在非均匀winkier弹性地基上的弯曲、振动问 题都做了相应研究；林海斌口叫运用pb-2Ritz法对四边自由的矩形中厚板在非均匀弹性 地基上的静力弯曲与动力特性展开了研究。由以上文献综述可知，目前有关弹性地基上板壳结构的力学性能分析大多是围绕均 匀弹性地基展开的，而有关非均匀弹性地基的研究成果则相对较少。因此，研究非均匀 弹性地基上板的弯曲和自由振动问题对于弹性地基板理论的补充以及板壳结构的分析 与设计都有着重要的科研价值与实际应用价值。1.5 本文的主要内容本文基于无网格伽辽金法对非均匀弹性地基上加肋变厚度板进行数值模拟计算，主 要内容如下：(1)阐述本文运用的无网格伽辽金法的基本理论推导与应用方法，进行编程计算。简述弹性地基模型的种类与非均匀弹性地基模型的选取。9广西大学项士学位论文mg 匀弹性地基上加肋变厚度板弯 曲和 固有频率计算的无网格法(2)对非均匀弹性地基上加肋变厚度板的静力弯曲进行计算分析，建立变厚度板 和肋条的位移场近似，给出变厚度板与肋条各自的应力应变场，根据板的能量泛函将弹 性地基以地基应变能的形式考虑在内，通过位移协调条件、完全转换法最终得出结构整 体的能量泛函与刚度控制方程并求解得出弯曲挠度，再与现有文献和有限元软件 Abaqus进行算例对比分析，验证本文方法的有效性。考虑非均匀弹性地基上不同因素 对板间挠度差异的影响，并论证用加肋变厚度板减小板的挠度差异的可行性。(3)对非均匀弹性地基上加肋变厚度板的固有频率进行计算分析，建立与时间有 关的变厚度板与肋条的位移近似场函数，同样通过板的能量泛函将弹性地基以地基应变 能的形式考虑进去，再由位移协调条件得到加肋变厚度板的整体能量泛函。通过 Hamilton原理导出非均匀弹性地基上加肋变厚度板自由振动的控制方程，采用完全转换 法引入边界条件，求解方程得出结构固有频率。讨论非均匀弹性地基上不同因素对板的 固有频率的影响。(4)对本文研究内容今后可发展的研究方向进行探讨，并基于无网格法对基础板 的结构优化提出展望，希望能对实际工程应用提供参考价值。10广西大学硕士学位论文mg匀弹性地基上加肋变厚度板弯曲和固有频率计算的无网格法第2章基本理论与分析模型2.1 引言无网格法自问世以来，受到了科研学者们的广泛关注，在其发展的数十年间，已有 多种种无网格法陆续出现，主要包括无网格伽辽金法(EF G)、点插值法(PIM)、SPH 法等等。在这些方法中目前发展最为成熟的无疑是无网格伽辽金法。它以移动最小二乘 近似为核心来构造形函数，从能量泛函的弱形式中得到控制方程。因其精度高、收敛快、后处理方便等特点而从众多无网格方法中脱颖而出。本章将介绍无网格伽辽金法的基本 理论及推导过程。章末对非均匀弹性地基分析模型的选取进行简要叙述。2.2 无网格伽辽金法中的近似方法移动最小二乘近似作为无网格伽辽金法算法中的核心内容，影响着最终求解的精度 与收敛速度，本节将首先对其展开介绍说明。然后再针对在移动最小二乘近似过程中起 到关键作用的权函数进行论述。2.2.1 移动最小二乘近似针对待求函数(x)，假设其在求解域。中布置有N个有限节点吃(/=1,2,h)进行离散，且这N个节点处的函数值为=(巧)是已知的。为了近似表达待求函数，在 求解域。内构造全局近似函数J(x)。则待求函数(x)在计算点x(本文方法中为高斯 点)的邻域与内可用近似函数表示