四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-理.doc

四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

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姓名：

- 22 -

四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出A集合，则可以比较简单的判断四个选项的正误.
【详解】可以排除且故选择D.
【点睛】考查集合的包含关系，属于简单题.
2.若是虚数单位，，则实数（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.
【详解】由于
由复数相等的定义，
故选：B
【点睛】本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
3.命题“对任意,都有”的否定为（ ）
A. 对任意,都有 B. 不存在,使得
C. 存在,使得 D. 存在,使得
【答案】D
【解析】
【分析】
对全称命题的否定，应将全称改存在，再否定结论
【详解】命题“对任意,都有”的否定为：“存在,使得”
故选：D
【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题
4.已知随机变量，，则（ ）
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.66 D. 0.68
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机变量服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴，根据正态曲线的特点，即可得到结果．
【详解】解：随机变量服从正态分布，
，
，
，
，

故选：D ．
【点睛】本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，属于基础题．
5.两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5

其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. ﹣0.1 D. ﹣0.2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出样本中心，代入回归直线的方程，求得，得出回归直线的方程，令，解得，进而求解相应点的残差，得到答案.
【详解】由题意，根据表中的数据，可得，
把样本中心代入回归方程，即，解得，
即回归直线的方程为，
令，解得，
所以相应点的残差为，故选B.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6.已知向量和分别是直线和的方向向量，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数量积公式,即可求得答案.
【详解】,
根据数量积公式:
可得:
直线与所成角为:.
故选: C.
【点睛】本题主要考查了向量法求线线角,解题关键是掌握向量法求线线角的方法和线线角的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
7.设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．
【详解】若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；
若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；
若，， m与n可能异面，可能平行，C错；
若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．
故选：D.
【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．
8.的展开式中，系数最小的项为（ ）
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
【答案】C
【解析】
由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C．
9.设函数定义如下表：

1
2
3
4
5

1
4
2
5
3

执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据流程图执行循环，确定周期，即得结果
【详解】执行循环得：

所以周期为4，因此结束循环，输出，选B.
【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=x
又抛物线的准线方程是x=−，
故A,B两点的纵坐标分别是y=，，
又，∴，即，，
故选D
11.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．
【详解】
四棱锥的四个面都是直角三角形，
∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．
由得，又，则，，
所以球表面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．
12.定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．
当时，，
由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，
当时，．则在的值域为．
当时，，则有，解得，
当时，，不符合题意；
当时，，则有，解得．
综上所述，可得的取值范围为 ．
故选：．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该　不重复不遗漏．
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.
【答案】0.1
【解析】
随机变量服从正态分布，且，故答案为.
14.把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)
【答案】30
【解析】
【分析】
将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．
【详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可．教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．
【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用．
15.乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果
【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分
所以概率为
【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.
16.在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:
甲说:我的成绩比乙高;
乙说:丙的成绩比我和甲的都高;
丙说:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是________.
【答案】甲.
【解析】
【分析】
本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误,即可求得答案.
【详解】由题意,可把三人的预测简写如下:
甲:甲乙.
乙:丙乙且丙甲.
丙:丙乙.
只有一个人预测正确,
分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意.
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确,
则有丙乙,乙甲,乙预测不正确,而丙乙正确,
只有丙甲不正确,
甲丙这与丙乙,乙甲矛盾,不符合题意.
只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,甲乙,乙丙.
三人中预测正确的是:甲.
故答案为:甲.
【点睛】本题主要考查了合情推理,解题关键是掌握合情推理解题方法和结合实际情况具体分析问题,考查了分析能力和推理能力,属于难题.
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知函数()=In(1+)-+(≥0)．
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间．
【答案】（I）（II）见解析
【解析】
【详解】（I）

（II）
当时，得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时得单调递增区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是

18.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了人进行分析，得到如下列联表（单位：人）.

经常使用
偶尔使用或不使用
合计
岁及以下

岁以上

合计

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用共享单车的情况与年龄有关；
（2）（i）现从所选取的岁以上的网友中，采用分层抽样的方法选取人，再从这人中随机选出人赠送优惠券，求选出的人中至少有人经常使用共享单车的概率；
（ii）将频率视为概率，从市所有参与调查的网友中随机选取人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：

【答案】（1）能；（2）（i）；（ii）数学期望为，方差为.
【解析】
【分析】
（1）利用列联表中的数据计算出的观测值，再将观测值与进行大小比较，可对题中的结论进行判断；
（2）（i）先利用分层抽样方法计算出人中经常使用共享单车和偶尔使用或不使用共享单车的人数，然后利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率；
（ii）先由列联表计算出经常使用共享单车的网友的频率为，由题意得出随机变量服从于二项分布，利用二项分布的数学期望公式和方差公式可计算出结果.
【详解】（1）由列联表可知，，
，
能在犯错误概率不超过的前提下认为市使用共享单车的情况与年龄有关；
（2）（i）依题意，可知所选取的名岁以上的网友中，
经常使用共享单车的有人，偶尔使用或不使用共享单车的有人.
则选出的人中至少有人经常使用共享单车的概率；
（ii）由列联表可知选到经常使用共享单车的网友频率为，
将频率视为概率，即从市所有参与调查的网友中任意选取人，恰好选到经常使用共享单车的网友的概率为.
由题意得，，.
【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，考查古典概型概率公式的应用，以及二项分布的数学期望和方差公式的应用，解题时要弄清随机变量所服从的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.
19.如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,∥,侧棱平面ABCD,且.

（1）求证:平面平面;
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求证平面,即可求证平面平面,即可求得答案;
（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案.
【详解】（1）平面,平面,

,∥

平面
平面
平面平面
（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,
如图:

由
可得:,,,,,
由（1）知平面,
为平面的一个法向量,且；
设为平面的一个法向量,
则,,
,,
,,
,
令,则,,
,
设平面与平面所成的二面角为,
,
平面与平面所成二面角余弦值为.
【点睛】本题主要考查了面面垂直和向量法求面面角,解题关键是掌握面面垂直判断定理和向量法求面面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）（2）是定值,且为
【解析】
【分析】
（1）由的周长为，得到，即.再由离心率求得，从而可得，得椭圆方程．
（2）直线l斜率不存在时，，直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得，计算，并代入可得．这样就得出结论．
【详解】（1）由的周长为，得到，即.
又因为，所以，
故，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，，，
把直线的方程代入，得，
则，，
因为，
而.
即．
当直线与轴垂直时，，即，
所以，即是定值.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线的方程为，设交点，，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得，计算并代入求得结论．
21.已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】
【详解】试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.
试题解析：(1) 由于，所以
.
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程；
(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.
【答案】（1）(为参数)；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程．
试题解析：（Ⅰ），（为参数）．
（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，
，
且，，
所以，当（）时，取最大值，
此时，
所以，，，
此时，，的普通方程为．
点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
23.已知.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分情况去掉绝对值，得到分段函数的形式，分段解不等式即可；（2）依题意，得，即按照绝对值的几何意义得到.
【详解】（1）依题意，得.

当时，由，得，即，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，即，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）依题意，得，即，所以.
所以在恒成立，所以
所以，所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.