高一数学必修一易错题集锦答案.doc

高一数学必修一易错题集锦答案
1. 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
2 .已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}
3 。已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：m+n (填A,B,C中的一个)
解：∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB。
4 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
5 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
6 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1ÏA.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A Þ －1∈A Þ ∈A Þ 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A Þ ∈A Þ ∈AÞA，即1－∈A
⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7 设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
　　　（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.
解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个
8.已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足
，∴的定义域是[－1，0]

9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知是二次函数，若，求.
（2）已知，求
（3）若满足求
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设＝由于得，
又由，∴
即　
　　因此：＝
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设∴＝　　（）
（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解
　用代可得：与　　　　　
　联列可消去得：＝.
点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
10 已知，试求的最大值.
分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 得
又
当时，有最大值，最大值为
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 得

当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
11设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有
，求的表达式.
解法一：由，设，
得，所以＝
解法二：令，得即
又将用代换到上式中得＝
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
12判断函数的奇偶性.
解：有意义时必须满足
即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
13 判断的奇偶性.
正解：方法一：∵
＝＝＝－∴是奇函数
　方法二：∵
＝
　　∴是奇函数
14函数y=的单调增区间是_________.
解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是
15已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
解：由,故0<x<,
又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},
16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，
所以
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
17若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围
解：设

　　　由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得
∴a＞
点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.
18已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.
19已知求
解：∵∴
　∴

20知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
21已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
22已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
23若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系　
①　　　②　　　　　③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
24 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=logax(t∈R)，则

f(x)在R上都是增函数.

点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
25已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.
解：设的最小值为
（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
综上，得－7≤≤2
26已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.
（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内
又＝1＞0　
　∴有两种可能情形①得＜－2
或者②得不存在
综上所得，＜－2

27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.
解：令那么由条件得到
即即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
28已知二次函数对于1、2R，且1＜2时
，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.
解：设F（）＝－，　　
则方程　　　　＝　　　　　　①
与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴　F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.
点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
29试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.
分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0， ＝16－4－8＋2＝6＞0
根据·＜0，·＜0，·＜0
可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.
因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以＝0有三个根：
30设二次函数方程的两个根，满足0.
（1）当时，证明；
（2）设函数的图像关于直线对称，证明：
.
分析：（1）用作差比较法证明不等式；
（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.
证明：（1）依题意，设
当时，由于，∴，又
∴>0即

∵0.∴
∴
综合得
（2）依题意知，又
∴
∵∴
点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即
31已知函数，且方程有实根.
(1)求证：-3<c≤-1,b≥0.
(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.
及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.
(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1
解得，
又由于方程有实根，即有实根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c<m<1（如图）
∴c—4<m—4<—3<c.
∴的符号为正.
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.

32定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.
（1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围.
（4）试举出一个满足条件的函数.
解：（1）在中，令.得：.
因为，所以，.
（2）要判断的单调性，可任取，且设.
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.
由于，所以.
为比较的大小，只需考虑的正负即可.
在中，令，，则得.
∵ 时，，
∴ 当时，.
又，所以，综上，可知，对于任意，均有.
∴ .
∴ 函数在R上单调递减.
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.
，
，即.
由，所以，直线与圆面无公共点.所以，
.
解得 .
（4）如.
点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.
33设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值.
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，，
，
此时既不是奇函数，也不是偶函数
（2）（i）当时，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.
若，则函数在上的最小值为，且.
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为.
点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有
，即
可得，当时，，函数函数为偶函数.
通过可得
化得 此式不管还是都不恒成立，
所以函数不可能是奇函数.
（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.

34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.
从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.
由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.
解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则
.
又由图可知：.
所以，
由已知，当时，，即
，
解得.即此时该店有50名职工.
（2）若该店只安排40名职工，则月利润
.
当时，求得时，S取最大值7800元.
当时，求得时，S取最大值6900元.
综上，当时，S有最大值7800元.
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有
.
解得.
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.

点评：求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.