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动点轨迹问题
一．专题内容：
求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：
（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．
（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．
（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点是随另一个在已知曲线：上的动点的变化而变化，且能用表示，即，，则将代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹方程．
（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率等），分别求出动点坐标与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．
（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！
二．相关试题训练
（一）选择、填空题
1．（ ）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
2．（ ）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是 ；
5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平
分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 ．
6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶
点C的轨迹方程是 ；（）
变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是 ；
7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是
．
8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
（）
9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，
弦中点的轨迹方程为 ．
解法分析：解法1 当直线的斜率存在时，
设PQ所在直线方程为 与抛物线方程联立，
消去得 ．
设，，中点为，则有
消得．
当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为．
解法2 设，，
由 得，设中点为，
当时，有，又，
所以，，即．
当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为．
10．过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________．
（二）解答题
1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．
（定义法）
2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，
求动点的轨迹方程．
（直接法、定义法；突出转化思想）
3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）
4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足
，．
（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围．
解：（1）设，则由重心坐标公式可得．
∵ ，点在轴上，∴ ．
∵ ，，∴ ，即 ．
故点的轨迹方程为（）．（直接法）
（2）设直线的方程为（），、，的中点为．
由消，得．
∴ ，即． ①
又，∴，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，又由①式可得 ，∴ 且．
∴ 且，解得且．
故的取值范围是且．
5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）
（Ⅱ）若A、B是轨迹上的两动点，且．过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．
解：(Ⅰ)设．由已知，，,
．
，……………………………………………3分
∵，
∴．
整理，得 ．
即动点的轨迹为抛物线，其方程为．
6．已知O为坐标原点，点、，动点、、满足（），，，．求点M的轨迹W的方程．
解：∵，，
∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 点M在AE上，
∴ ，，
∴ ，
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，
∴ ．
∴ 点M的轨迹W的方程为（）．
7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，， 且．
（1）求点的轨迹的方程；（定义法）
（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．
解：（1）；
（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．
，所以与 重合，与四边形是矩形矛盾．
故直线的斜率存在，设方程为，．
由 消得此时＞恒成立，且，，
，所以四边形是平行四边形．
若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．
，
∴ ．
即．
．，得．
故存在直线：，使得四边形是矩形．
8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，．
（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（II）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，
则，，．
∵ ，，∴，．
∵，∴ ，
即所求点的轨迹方程为．
（2）设点
设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为
由…………6分
…………7分
…………8分
…………10分
由于 …………11分
解得…………13分
∴直线斜率k的取值范围是
9．如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）设，由得，
，，，
又，∴，即动点的轨迹方程为．
（2）
10．已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，．
（1）求点轨迹的方程；
（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围．
解：（1）设、、，则、、
．
由题意得 ∴ ∴ ，
故动点的轨迹方程为．
（2）
11．如图和两点分别在射线、上移动，且，
为坐标原点，动点满足．
（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．
解：（1）由已知得，
∴ ．
（2）设P点坐标为（），由得
，
∴ 消去，可得，
又因，∴ P点的轨迹方程为．
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．
（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得
即 ，
易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又，
设，则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧
，
∴ ，即，又由同理可得 ，
由得 ， ∴
由得，
由得，
消去得 考虑几何求法！！
解之得： ，满足．
故所求直线l存在，其方程为：或．
12．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．
解：（I）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设
，．
∵， ∴ ∴
又， ∴．
∴． 即曲线C的方程为．
（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．
故，．
∵ M、N在曲线C上， ∴
消去s得 ．
由题意知，且，解得 ．
又 ， ∴． 解得 （）．
故实数的取值范围是（）．
13．设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．
（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）
（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（）
提示：，又，，
则，．
又 ，代入距离公式即可．
（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．（不存在）
14．已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且． （1）求动点P的轨迹方程；
（2）若，求向量与的夹角；
（3）如图所示，若点G满足，点M满足，且线段MG的垂直平分线经过点P，求△PGF的面积．
15．如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）
（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程．（（））
16．双曲线C：（，）的离心率为2，其中，，且．（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围．
解：（I）依题意有：
解得：
所求双曲线的方程为………………………………………6分
（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分
当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为．则M、N两点的坐标满足方程组
由 消去y得
．…………………………………9分
显然，
∴．
即． ①
设线段MN中点D（）
则
∵D（）在直线l上，
∴．即 ②
把②带入①中得 ，
解得或．
∴或．
即或，且k≠0．
∴k的取值范围是．…………………14分
17．已知向量=(2，0)，==(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并且满足·=K(·-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数K的取值范围.
18．过抛物线的焦点作两条弦、，若，，．
（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；
（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；
（2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．
思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设，直线的斜率为（），
则直线的斜率为，方程为．
∴由，消得，
解得，∴ ，
∴(定值)．
所以直线的斜率为定值．
法二：设定点，、，
由 得 ，即；同理 ．
∵ ，∴ ，即，∴ ．
所以，（定值）．
第一问的变式：过点作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线EF的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．
（2）直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得．
点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.
20．如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为，折痕与交于点，点满足关系式．
（1）建立适当的直角坐标系，求点的轨迹方程；
（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围．
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