人教版2015年16章二次根式整章教案.doc

(完整版)人教版2015年16章二次根式整章教案第16章 二次根式 教材内容 1本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的乘除;最简二次根式:二次根式的加减 2本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章勾股定理及其应用、第十九一次函数章等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础 教学目标 1知识与技能 (1）理解二次根式的概念 （2）理解(a0）是一个非负数,（）2=a（a0),=a（a0） （3)掌握(a0，b0),=；=（a0,b0）,=（a0,b0） （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 2过程与方法 (1）先提出问题,让学生探讨、分析问题，师生共同归纳,得出概念再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简 (2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定,并运用规定进行计算 （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除)法规定的逆向等式并运用它进行化简 (4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的 3情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力 教学重点 1二次根式（a0）的内涵（a0）是一个非负数;（）2a(a0）；=a(a0）及其运用 2二次根式乘除法的规定及其运用 3最简二次根式的概念 4二次根式的加减运算 教学难点 1对（a0)是一个非负数的理解；对等式（)2a（a0）及=a（a0)的理解及应用 2二次根式的乘法、除法的条件限制 3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 教学关键 1潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点 2培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下: 211 二次根式 3课时 212 二次根式的乘法 3课时 213 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时161 二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能 1、 理解二次根式的概念，并利用（a0）的意义解答具体题目2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题过程与方法：经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力.情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐，并提高应用的意识。教学重难点 1重点:形如（a0）的式子叫做二次根式的概念； 2难点：利用“（a0）”解决具体问题教学过程一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1：1）已知,那么是的_；是的_, 记为_，一定是_数。（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =_；正数的算术平方根为_，0的算术平方根为_；式子的意义是 。问题2： (1）的平方根是 ；（2）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t（单位：秒）与开始下落时的高度h（单位：米）满足关系式。如果用含h的式子表示t，则t= ;问题3：(1）圆的面积为S,则圆的半径是 ；(2）正方形的面积为，则边长为 。思考：， ，,等式子的实际意义.说一说他们的共同特征 二、探索新知很明显,，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如(a0）的式子叫做二次根式,“”称为二次根号 （学生活动)议一议: 1-1有算术平方根吗？ 20的算术平方根是多少? 3当a0，有意义吗？例1下列式子,哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、(x0）、-、(x0，y0) 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0 解：二次根式有:、（x0）、-、(x0，y0）;不是二次根式的有:、 例2当x是多少时，在实数范围内有意义? 分析：由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-10，才能有意义 解:由3x10,得：x 当x时，在实数范围内有意义 三、巩固练习 教材P3练习1、2、3 四、应用拓展 例3当x是多少时，+在实数范围内有意义? 分析：要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的0和中的x+10 解：依题意，得 由得:x 由得：x1 当x-且x-1时，+在实数范围内有意义 例4(1)已知y=+5，求的值(答案：2)（2)若+=0，求a2004+b2004的值（答案:） 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握： 1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 六、布置作业 1P5复习巩固1、综合应用52。课后作业:百练百胜训练教学反思：161 二次根式 第二课时 教学内容 1（a0）是一个非负数； 2(）2=a(a0）教学目标知识与技能：1、理解（a0）是一个非负数和（)2=a（a0），并利用它们进行计算和化简2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a(a0)；最后运用结论严谨解题过程与方法：1、在明确（）2=a（a0）的算理的过程中，感受数学的实用性；2、课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识。情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力。 教学重难点 1重点：（a0）是一个非负数；（)2=a（a0)及其运用2难点、：用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（)2=a（a0）教学方法：讲解练习法教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1什么叫二次根式? 2当a0时，叫什么？当a0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1)0；(4）4x212x+9=(2x)2-22x3+32=(2x3）20所以上面的4题都可以运用（)2=a（a0)的重要结论解题 解：（1)因为x0，所以x+10 （）2=x+1 （2)a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1例3在实数范围内分解下列因式: （1）x23 （2）x4-4 （3) 2x2-3分析：（略） 五、归纳小结 本节课应掌握： 1(a0）是一个非负数； 2（）2=a(a0）;反之:a=（）2（a0） 六、布置作业 1教材P5 复习巩固2（1）、(2） P6 73. 课后作业:百练百胜训练教学反思：161 二次根式 第三课时教学内容 a（a0） 教学目标 知识与技能：1、 理解=a(a0）并利用它进行计算和化简2、通过具体数据的解答，探究=a（a0），并利用这个结论解决具体问题过程与方法:课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识，提高竞争意识.情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. 教学重难点关键 1重点：a（a0）2难点：探究结论教学方法：练习法教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1形如（a0）的式子叫做二次根式; 2(a0）是一个非负数； 3（)2a（a0) 那么，我们猜想当a0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题 二、探究新知 （学生活动）填空: =_；=_；=_； =_；=_;=_ (老师点评）:根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2;=0。01；=;=；=0；= 因此，一般地：=a（a0） 例1 化简 （1） (2) (3） （4）分析:因为（1)9=32，(2)（4）2=42，（3)25=52，（4）（3）2=32，所以都可运用=a(a0）去化简解:（1）=3 （2)=4 （3）=5 （4）=3 三、巩固练习 教材P5练习2 四、应用拓展 例2 填空：当a0时，=_；当aa所以a不存在；当aa，即使aa,a、0），反过来=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简 教学目标 知识与技能：1、 理解=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它们进行运算2、利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简过程与方法：1、发展有条理的思考和语言表达能力。2、培养化归的数学思想。情感态度与价值观:在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣. 教学重难点 1重点：理解=(a0，b0），=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简2难点:发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学方法：引导探索-发现教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题: 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； （2）=_，=_； （3)=_，=_; （4）=_,=_规律:_;_;_;_ 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 (老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0,b0），反过来,=（a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例1计算：(1） (2） (3） (4） 分析：上面4小题利用=(a0,b0）便可直接得出答案解:（1）=2 (2）=2（3)=2(4）=2 例2化简: (1） （2） （3) （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1）= (2）= （3）= （4）= 三、巩固练习 教材P11练习1 四、应用拓展 例3已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-x0且x60，即6x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 6x9 x为偶数 x=8 原式=(1+x） =(1+x） =（1+x）= 当x=8时，原式的值=6 五、归纳小结 本节课要掌握=（a0，b0)和=（a0，b0)及其运用 六、布置作业 1教材P12 习题212 2、7、8、92.课后作业:百练百胜训练教学反思：162 二次根式的乘除 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标 知识与技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求情感态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中,获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。 重难点 1重点：最简二次根式的运用2难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学方法:练习法教学准备:多媒体课件 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书） 1计算（1）,（2),（3) 老师点评：=，=,= 2现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式 学生分组讨论,推荐34个人到黑板上板书老师点评：不是=。 例1(1) ; （2） ； （3) 教材P11 练习2、3 四、应用拓展例3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 (+)(+1)的值 分析：由题意可知,本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解:原式=（-1+-+）(+1） =（1）（+1) =20021=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用 六、布置作业 1教材P12 习题212 3、7、103.课后作业：百练百胜训练教学反思：163二次根式的加减 第一课时教学内容 二次根式的加减 教学目标 知识与技能：理解和掌握二次根式加减的方法过程与方法:先提出问题，分析问题，在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简情感态度与价值观:体会合作学习的先进性。 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学准备：多媒体课件教学方法：情境导入，归纳应用。 教学过程 一、复习引入 学生活动:计算下列各式 （1)2x+3x； (2）2x2-3x2+5x2; (3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变,系数相加减 二、探索新知 学生活动：计算下列各式（1)2+3 (2）23+5 (3）+2+3 (4)3-2+ 老师点评: (1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2+3=（2+3）=5 (2）把当成y; 23+5=（2-3+5)=4=8 （3）把当成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看为x，看为y 32+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗?可以的 （板书）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例1计算 （1）+ （2）+ 分析:第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：(1)+=2+3=（2+3）=5 （2)+=4+8=（4+8）=12 例2计算 （1)39+3 (2）（+）+（) 解：（1)3-9+3=123+6=（123+6）=15 (2）（+）+（-）=+- =4+2+2=6+ 三、巩固练习 教材P16 练习1、2 四、应用拓展 例3已知4x2+y2-4x6y+10=0，求(+y2)(x25x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式,得（2x1）2+（y-3）2=0,即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式,最后代入求值 解：4x2+y24x6y+10=0 4x24x+1+y2-6y+9=0 （2x1）2+（y-3)2=0 x=,y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时, 原式=+6=+3 五、归纳小结 本节课应掌握：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2)相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 1教材P17 习题213 1、2、3、52。课后作业:百练百胜训练教学反思:163 二次根式的加减 第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 知识与技能:运用二次根式、化简解应用题过程与方法：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题情感态度与价值观:学会和他人分享交流。 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点,又是本节课的难点、关键点 教学准备:多媒体课件。教学方法：小组合作交流，应用提高。 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步,再将被开方数相同的二次根式进行合并,下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示) 分析:设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值 解:设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米 三、巩固练习 教材P16 练习3 四、应用拓展 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上,根式不是最简二次根式，因此把化简成b，才由同类二次根式的定义得3ab=2，2ab+6=4a+3b 解：首先把根式化为最简二次根式： =b| 由题意得 a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 1教材P17 习题213 72。课后作业:百练百胜训练教学反思：163 二次根式的加减 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除;乘法公式的应用 教学目标 知识与技能：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算情感态度与价值观:学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。 重难点 重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学准备：多媒体课件. 教学方法：练习，小组合作。 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1计算 （1）（2x+y)zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）(2x+1）2+（2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式 例1计算: (1）（+） （2）（43）2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解:(1）(+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=4232 =2 例2计算 （1）（+6）（3) （2）（+）(） 分析：刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解：（1）（+6）（3） =3（)2+186 =133 （2）（+）（)=()2(）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本P17练习1、2 四、应用拓展例3已知=2,其中a、b是实数,且a+b0，化简+,并求值 分析：由于（+）（）=1,因此对代数式的化简,可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x2+x+2 =4x+2 =2 b（x-b）=2aba（x-a） bx-b2=2abax+a2 (a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1教材P17 习题213 1、8、9 2.课后作业：百练百胜训练教学反思:二次根式复习课教学目标知识与技能：1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算过程与方法：在复习过程中，体会知识的连贯性，以及提高对知识的应用能力。情感态度与价值观：感受数学的实用价值,提高解决问题的能力.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子教学准备：多媒体课件。教学方法:归纳总结，练习提高。教学过程设计一、复习1请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式2二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化3在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义：分析:(1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义；（3)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4）题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零x-2且x0解因为n2-90，9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以例3 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式把它们分别分解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a0和1a0解 因为1a0，3a0,所以a1，|a2|2-a(a1)（a-3)=(1-a)（3a）=（1a)(3a)0这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析:先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算解注意：所以在化简过程中,例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大,根据式子的结构特点,分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷a+b2(n+2），ab=（n+2）2-