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数学课堂教学中的创新教育研究

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数学课堂教学中的创新教育研究
广州市教育局教研室 赵荻帆
江泽民主席说：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”又说：“进一步弘扬我们民族的伟大创新精神，加快建立当代中国的科技创新体系，全面增强我们的科技创新能力。这对于实现我国跨世纪发展的宏伟目标，实现中华民族的伟大复兴,是至关重要的。"(1998.6.1。接见中国科学院第九次院士大会部分院士时的讲话)
中共中央、国务院《关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》中指出:实施素质教育,就是全面贯彻党的教育方针,以提高国民素质为根本宗旨,以培养学生的创新精神和实践能力为重点,造就“有理想、有道德、有文化、有纪律”的德智体美等全面发展的社会主义事业建设者和接班人。
然而，长期以来，我们教师的教学习惯了“满堂灌”的模式，学生不知不觉成了知识的容器，在课堂里,思维的时间和空间无情地失去了。加上陈旧的教学内容,简约化了的课本和连篇累牍的“同步练习册”，使学生只能靠背诵数学的结论和公式，盲目地机械地去进行模仿式的“解题训练”，在茫茫的题海中漫游。对数学问题，根本不可能进行深入的思考和探究，更不可能有创新的思维。因此，学生很用功，书本知识很纯熟，但动手能力差，创新精神欠缺，便成为学生的通病.要落实中央的有关精神，必须扭转上述局面。为此，我们应该探索教学创新及其实施的问题，使中学数学教育得到健康的发展。
众所周知,中学数学的教学内容为初等数学的基础知识,这些基础知识源远流长.不可能再有
有什么创新.更不可能要求学生发明创造什么新的初等数学的结论。因此，我认为数学教育创新应该着眼于学生建构新的认知过程.而这过程的创新应该体现在以下三个方面：
（1)勤于思考:创新的前题是理解。我们知道，数学离不开概念，由概念又引伸出性质,这些性质往往以定理或公式呈现出来。对定理、公式少不了要进行逻辑推理论证,形成这些论证的理路需要思维过程.为此,我们首先必须让学生对学习的对象有所理解。因为数学知识的获得主要依赖紧张思维活动后的理解，只有透彻的理解才能溶入其认知结构.这就需要拼弃过去那种单靠记往教师在课堂上传授的数学结论，然后套用这些结论或机械地模仿某种模式去解题的坏习惯。而要做到理解，就需要勤于思考。对知识和方法要多问几个为什么？如:为什么要形成这个概念？为什么要导出这个性质？这个性质（定理、公式有什么功能？如何应用？勤于思考的表现还在干对认知过程的不断反思、回顾，不断总结挫折的教训和成功的经验。避免墨守成规，勇于创新.
(2）善于提问:学生在数学课堂中通过观察、感知学习的对象以后，要学会分析，要有自己的见解,不要人云亦云,要善于挖掘自己尚不清楚的问题，多角度，全方位地探究，并提出质疑。作为一个中学生，不见得也毋须什么问题都能自己解决.我们倡导的只是能对学习的对象提出多角度的问题，尤其是善于提出新颖的具有独特见解的问题。我认为会提问是创新的一个重要标志.
(3)解决问题:学数学离不开解题，解题是在掌握所学知识和方法的基础上进行运用。解题可以训练技巧，磨炼意志。在解题过程中，首先应判断解题的大方向，大致有什么理路,在引导学生解题的探索过程中，要注意联想，要学会用不同的立意、不同的知识、不同的方法去思考,并善于在解题全过程监控自己的行为：是否走弯路?是否走入死胡同?有没有出错？需要及时调整，排除障碍。这样长期形成习惯后，往往可以别出心裁，另辟解题捷径.这种思维品质也是创新的重要标志.为了让学生达到这个境界，必须让学生明确不要为解题而解题，要在解题后不断反思、回顾，积累经验，增强解题意识，提高能力.
上面谈到“勤于思考、善于提问、解决问题"，说的都是“问题".显然,数学问题就成为数学教学创新的载体.因此，我们在课堂教学设计中，要根据教学目标和教学内容,通过选择恰当的常规的和非常规的问题，作为施教的载体。教师除了根据教学内容广泛收集问题外,最好能创造自己的问题，这些问题不仅仅停留在把课本的题目在条件、结论在逻辑上互动，而是把课本题进行改造，成为情境题、开放题、应用题。并加以积累，不断完善，形成具有特色的校本问题。然后把这些问题通过启导等教学手段，在课堂中使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，从而培养学生的创新意识和能力。
在施教过程的各个环节中，都要有意识地把上面谈到的意图加以贯彻、落实：
（1)在引入新概念时，要把相关的旧概念联系起来，教师要确立信任学生的观念，要注意大胆放手让学生把某种情境用数学方法加以表征；在形成概念时，要留给学生充足的思维空间，要善于多角度、全方位地提出有价值的问题,让学生思考；指导学生自主地建构新概念。在辨识概念时，要多鼓励学生质疑。宋代有一位教育家说过：“读书无疑者，须教有疑.有疑者却要无疑，到这里方是长进。”从学生的角度看,学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始。
（2)在学习数学定理、公式、方法时，离不开对命题的证明，要改变传统的分为“展示定理、推证定理、应用定理”简单三步的模式，而要结合实际情况，在证明命题前为学生创设认知冲突的疑惑情境.例如推导两角和的正弦函数公式,可提出是否会有： = 推导对数的运算性质时，是否会有？等，然后利用学生的求知欲，再作深入探究。用特殊化、一般化、类比、推广、似真推理等种种手段，猜想出结论，然后再给出严格的证明。经过一段训练后，学生便能清楚什么是数学证明，什么不是.并且知道数学证明的价值及其局限性。
（3）在解题教学时，要改变传统的解题训练多而杂的做法.要加强目的性。要注意渗透解题策略。因为策略往往是不容易为学生掌握的.要注意解题训练的坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题,相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度,学生不可能有疑,重重复复会令人乏味。反之,设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。
要做到上述三个方面，必须改变传统的单一的“传授——接受”的教学模式,在课堂教学中，首先要营造平等、相互接讷的和谐气氛，教师要及时提出具挑战性的新问题,这些问题要具思维价值，并为创新做出示范.并能激发学生积极参与课堂教学活动。要留给学生思维的空间，同时要鼓励学生提出不同的想法和问题，提倡课堂师生的交流和学生与学生间的交流，因为交流可令学生积极投入和充分参与课堂教学活动。通过交流,不断进行教学信息的交换、反馈、反思，可修正思维策略，概括和总结数学思想方法。在交流中，教师要耐心倾听学生提出的问题,并从中捕捉有价值的问题,展开课堂讨论，并适时作出恰当的评价,使班集体成为一个学习的共同体，共同分享学习的成果.这就需要教师具有善于捕捉、组织和判断各种信息的的能力。要善于与他人对话、协调,自尊与尊重他人、自我的反思、自我调控的品格。其次，教师要尽力帮助学生主动建构数学认知系统，使学生形成良好的数学知识网络。这就需要教师本身要善于发现问题、综合运用知识解决陌生的新问题的能力。此外教师要改变教育观念,注意接受继续教育，比如学习现代教学理论，建构主义的认知理论，多元智力理论等，了解我国以及国际上数学教育改革的动态，把学习作为实施创新教育的支持条件.也就是说，教师的教学本身也要不断创新。本文为互联网收集,请勿用作商业用途个人收集整理，勿做商业用途
以下提供一些教学案例供读者参考:
案例一：怎样使旧知识与新情境连接起来，产生求新欲望？
在《平面解析几何》的“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，教师可设置这样的问题：初中学过一元二次函数的图象是抛物线，而现在定义的抛物线与初中所学的抛物线的表达方式是不一致的,它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗？
此问题很有意思，问题的结论也是肯定的。但课本并未涉及。自然会引起学生探索其中奥秘之处.这时，教师可进一步提示：我们可从初中所学的最简单的二次函数入手来推导出曲线上的动点到某定点和某定直线的距离相等，即可导出形如动点P （x，y）到定点F （x0，y0)的距离
等于动点P （x,y）到定直线l的距离。大家不妨试试！学生纷纷动笔变形、拼凑，教师巡视一遍后可安排一位正确或基本正确的学生板演并进行评价：

.
它表示平面上动点P （x，y）到定点F (0，）的距离正好等于它到定直线y = 的距离，
完全符合现在所学的定义.
这个教学环节对培养学生的自主探究数学问题和创新思维，无疑是非常有价值的。
案例二:如何捕捉问题，把课堂讨论引向深入,产生创新意念？
在一节高三数学课中，教师提出这样一个问题：
己知,求的最大值。
利用复数的几何意义，容易将此问题转化为求椭圆上的点到点A（，0）的距离的最大值问题。
问题提出后,首先请学生思考解题方法，经大家讨论后得到了如下解法：
解法一：设椭圆上一点P（cosα,2sinβ）,则，
故当cosα=－1时，d有最大值2，此时P(－，0)。
解法二:设直线PA的参数方程为
,代入椭圆方程得

由t的几何意义可得d ==。
在求最值时，易发生错误≥，但取等号时须即这是不可能的!在充分讨论后得
当cosθ=1时，它取得最小值4，这时d取得最大值.
教师当即强调该同学的机智在于充分运用了直线的参数方程的几何意义，这种创新意念非常可取。
这时有一位同学提出了这样一种解法：设P（x，y)为椭圆上任一点，且将它视为一圆，当它与椭圆相切，即⊿=0时r最大.
似乎可以，不妨一试,代入并整理得：
（*）
Δ=
与刚才的结论不符，这时教师往往轻易下结论此路不通！但我们应启发学生深究其原因何在？共同寻找错误原因。试把r = 4代入(*）式，解得x = ，这与不符。说明r = 4是不可能取到的。由此引出如下三个问题：
①如何调整本解法使之与前法相符？
②启发：在参考答案中说由几何性质知最大值为，是否存在这样的几何性质？
③何时才能应用⊿=0来求最值？
归纳了这三个问题后，把课堂教学引向高潮。
将(＊)式改写为 ∵ ∴ 当x =时,r取得最大值为.这实质上与解法一相对应，有着异曲同工之妙。也是一种通法，为了解决②、③，可把问题一般化：
设椭圆方程为 (a＞b＞0),求P(0，b)到椭圆上的点的距离的最大值。（其实这是1998年成人高考题）
解：设椭圆上任一点M(x,y）,则 ,
何时取得最大值？关键在于y能否取到，讨论：
①当≤b，即≤1(即a ≥），y =时，d有最大值；
② 当＞b,即＞1(即a＜＝,y =－b时，d有最大值2b.
如果问题的讨论停留在此,则相当遗憾，只要认真分析上述结论，并注意到，
∴ 。 ∴ = 若≤1，即≤1，得＜1；
若＞1，即＞1,得0＜e＜。
到这里问题已经明朗，几何性质己经显露，可以把上述结果表述为：
定理 椭圆 （a＞b＞0) 上的点到短轴端点距离的最大值为d，则；
①当＜1时，d =.此时以(0，b)为圆心以为半径的圆恰与两准线和椭圆同时相切。
②当0＜e＜时,d =2b，(短轴长），此时以(0，b）为圆心,以2b为半径的圆与椭圆相切于(0，－b）。
到此，解决原题己是举手之劳。只要判断离心率即可。∵＜,∴d =2b=。
学生在教师的点拨下,通过讨论思维非常活跃,始终处于主动出击状态，为自己的创造感到惊喜，为把上述定理描述准确，畅所欲言.
案例三:怎样帮助学生挖掘常见错误的原因，诱发创新思维？
由于学生惯于套用模式去解题，面对近年高考中新情境的应用题，学生往往束手无策。教师在启发解题思路过程中，可先暴露学生常见错误,运用挫折性教育的策略，再挖掘产生错误的原因。
本案例着重说明教学中必须充分暴露教师对解题方法的思维探索过程，并努力让学生积极参与其中.充分调动学生思维的积极性、主动性,面对具体问题，共同探索思考。解决这个问题可能有哪些策略方法？准备选择什么策略方法?为什么会想到用这个策略方法？有时还须暴露学生通常出现的错误，师生共同纠正.让学生体会到，公式、方法不可随意套用。否则会出现错误。
例 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/ 时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位）由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/ 时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/ 时)的函数,并指出这个函数的定义域。(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？(1997年高考题）
在列出函数解析式v∈(0，c)后，如何求该函数的最小值是解决本题的关键。
求这种形式的最小值，大多数学生都能想到用基本不等式a+b≥2求解，又可化为关于自变量v的一个二次方程，也可用判别式求解。根据学生常见错误，教师先给出下列两种解法：
解法一：∵a，b,s,v均为正数，∴≥2 s 当且仅当即时等号成立. ∴当速度时，全程运输成本最小.
解法二：∵可化为：, ①
∵ ∴ Δ=y2－4s2ab≥0，∵ y ＞0，∴ y ≥2s,当y =2s时代入方程①可求得.∴当时，y有最小值2s，即当速度时全程运输成本最省。
给出上面两种方法后，适时向学生提出这样的问题:上面两种方法答案是否正确？如果错误,试分析错误的原因。这时教师和学生思维应同步，一起分析，共同纠错。经分析得到：
在解法一中，忽视了应用基本不等式求函数最值必须具备三个条件，这里和c的大小不确定，当≤c时，则∈（0，c），这时，即等号可以成立，答案正确，当＞c时，而v∈(0，c),所以不成立，答案错误。
在解法二中，当Δ=y2－4s2ab≥0时是关于v的二次方程在R上有实根的充要条件,但v∈(0,c），∴ Δ=y2－4s2ab≥0不是方程在（0，c)上有实根的充要条件，当≤c时，是方程的实根，但当＞c时，就不是方程在(0，c）上的实根。
在分析错误的原因的过程中,不仅使学生认识到:解题时应根据题中所给具体条件去寻找可使用的策略和方法，不能死搬硬套。同时还认识到:由于题目中和c的大小关系不确定，所以求最小值时必须分两类讨论：①当≤c时，上面的两种方法是正确的；②当＞c时，要求的最小值，解法一的方法不能用，解法二必须修改，接着师生继续共同探索当＞c时，如何求的最小值.这时可思考如下问题：解法二中的方法如何修改?求一般函数的最大值可用的策略方法有哪些?其中有哪些策略方法可用于此题，为什么?
围绕上面的问题展开探索,最后不难得到几种解题策略。(解法从略）
案例四:在课堂教学中，充分展现学生的思维过程,并给予支持、鼓励
教师先向学生呈现问题：己知：，，，，…是公差为－1的等差数列；，,…，是公比为的等比数列，求an 。
教师让学生堂上练习,在巡视一遍后，让一位成绩较好的学生板演.该生先
由－=－1,得/=，从而，又∵，，∴。类似地计算出，在此沉思片刻后,发现了某些规律：，，，，每个分数分母之间的规律似乎己找到，但分子间的规律难以看出。说明该生思维受阻.这时教师往往会着学生返回座位，但教师仍耐心等待片刻.并提示可否试试利用题设的第二个条件。该学生恍然大误。由题意有
/=,即，发现与第一个条件推出的的表达式完全相同，不禁出声道：“咦,这个条件可能是多余的!”思路再次受阻，他立即重看题目，并回顾上述解题过程，从/=与/=两式中悟出了新的思路，调整了解题方案，由知是以为首项，为公比的等比数列，
∴ ①
由知，是以为首项，为公比的等比数列，
∴ ②
①－②并整理得，经验证己知条件中，未含在此通项式中，故调整为，在短短的8、9分钟，表现出该学生的自我调控能力。至此，解题本可结束，但教师仍让学生反思、回顾，观察,，，中的分子5,19，65，211,之间的规律，经学生思考片刻，终于发现5=32－22，19=33－23，65=34－24，211=35－25，于是猜想其通项为3 n+1－2n+1，进一步猜想，然后用数学归纳派证明（此处从略)。从这个教学片断我们可以看到教师让学生暴露解题的思维过程，对培养学生的转向机智、换元机智和创优机智以及很好的独特的、新颖的思维品质很有好处。
案例五：如何通过培养发散思维,促进学生解题方法创新?
教师通过引导学生多角度、全方位地观察、分析问题,提高发散思维能力，从而促进学生产生创新的解题理路。
问题 己知,求函数的最小值.
这是一道非常规题。审题后一般自然想到用“Δ”法：易知y ＞0 ，故可得同解方程
，故Δ=25，得。
但这只能说明y可能有最大值。但通过验证后发现此路不通!
反思失败的原因，可发现问题在于方程（ y ＞0）在上有解。于是联想到抛物线的图象性质可得:
解法一 由题意得同解方程( y ＞0) 令f （x)= ，其对称轴方程为,则在上有解的条件为：
①若＜或＞2，即y2＞5或y2＜时，f （) f (2）≤0≤0y2=2，故此时无解。
②≤≤2,即≤y2≤5时,

故ymin=。
从上述解决问题中易看到当x =或2时，ymin=。,也易得ymax=.由此会产生一种直觉，若能证明函数在［,]上为增函数，在[,2］上为减函数，则问题便可得到解决。由此得到：
解法二 由题意知＞0，令h (x)=，设≤x1＜x2≤，则h (x1)－ h （x2）= －=，∵≤x1＜x2≤，∴x12x22＞0,x2－ x1＞0，＜，∴ ＞+=. 即 5 x1x2－2 x1－2 x2＜0，
即h （x1)－ h (x2） ＜0，h (x1） ＜ h （x2）。

∴ h (x)在x∈［，］上为增函数,仿此可证h (x）在x∈［，2]上为减函数.
∴ ymin= h ()= h (2）=。
受此启迪，我们又可想到若能证明x∈［，2]时，不等式≥恒成立,岂不是更圆满吗?由此得到：
解法三 在x∈[，2]上，要证明≥恒成立，
只要证5x－2≥2x2 x∈[，2]，此乃己知条件，故所证不等式成立,即ymin=.
而将解法三运用综合法来表述，则可得到：
解法四 ∵ x∈[，2］，∴ 。 ，
即≥ （当且仅当x=或2时取得等号）.
∴ ymin=。
上述一系列解法分层递进，充分体现了思维转化的功能，若洞察的结构特征，把分母x放进根式由,则不难联想到用配方法求取值：

解法五 ∵ x∈[，2]，∴ ∈[，2] .
。 ∴ 当=或2时，ymin=。

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