回归分析基本思想及初步应用技术.doc

学案4 回归分析的基本思想及其初步应用
学习目标：了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.
学习重点：了解回归分析的基本思想
学习过程：
一、 课前预习：内化知识 夯实基础
(一)基础知识
1、函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系.
5、对于一组具有线性相关关系的数据且所求回归方程是
，其中= = ,=___________,其中= ,= , 称为样本点的中心.
6、残差：
7、残差平方和：
8、相关指数的计算公式： ；显然，的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.
9、残差或残差图的作用：（1） （2）
10、建立回归模型的基本步骤：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
二、新课
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
165
165
157
170
175
165
155
170
体重
48
57
50
54
64
61
43
59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。
解：画散点图（略）看是否有线性回归关系
求==0.849，==-85.712
回归直线方程=0.849x-85.712
1.回归模型：y=bx+a+e(其中a和b为参数，e为随机误差)
e产生的原因：
（1） 用线性回归模型近似真实模型所引起的误差
（2） 忽略了某些因素的影响
（3） 观测误差
2.残差：
残差=
残差平方和= 总偏差平方和=
残差平方和越小模型拟合的效果越好
3.相关指数R2

R2越大，模型拟合的效果越好

4.建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.
③由经验确定回归方程的类型.
④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.
三、例题选讲
本周练习：
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（　　 ）
A．回归分析　　 B.相关系数分析　　 C.残差分析　　 D.相关指数分析
2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（　　 ）
A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上　　
B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄（岁）
3
4
5
6
7
8
9
身高（
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型 ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（　　 ）
A.她儿子10岁时的身高一定是145.83 　　
B.她儿子10岁时的身高在145.83 以上
C.她儿子10岁时的身高在145.83 左右
D.她儿子10岁时的身高在145.83 以下
7.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（　　 ）
A.样本点都在回归直线上　　 B.样本点都集中在回归直线附近
C.样本点比较分散　　　　　 D.不存在规律
8.在建立两个变量 与 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数 如下，其中拟合最好的模型是（　　 ）
A.模型1的相关指数 为0.98　　 B.模型2的相关指数 为0.80
C.模型3的相关指数 为0.50　　 D.模型4的相关指数 为0.25
四．课后心得
1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
目标：通过独立性检验能判断两个分类变量是否有关
重点、难点：通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
一、基础知识梳理
1.独立性检验
利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.判断结论成立的可能性的步骤：
（1）通过等高条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。
（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
二、例题选讲　　
例1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

患病
不患病
合计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
分析：最理想的解决办法是向所有50岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这花费的代价太大，实际上是行不通的，339人相对于全体50岁以上的人，只是一个小部分，已学过总体和样本的关系，当用样本平均数，样本方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。现在情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的339个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够得出什么结论呢？我们有95%（或99%）的把握说事件 与事件 有关，是指推断犯错误的可能性为5%（或1%），这也常常说成是“以95%（或99%）的概率”是一样的。
解：根据列联表中的数据，得
　　 。　　
因为 ，所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。　　
评注：对两个分类变量进行独立性检验，要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。
例2．甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
班级与成绩列联表

优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
画出列联表的条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关；利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少　　
解：列联表的条形图如图所示：
由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”；由表中数据计算得K2的观察值为k≈0.653>0.455。由下表中数据
P（K2≥k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
得：P(K2≥0.455)≈0.50，
从而有50%的把握认为“成绩与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。
评注：　　
（1）画出条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错。
（2）计算得到K2的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中，在假设“成绩优秀与班级没有关系”的情况下，计算得到的K2的值比较小，且P(K2≥0.653)≈0.42，说明事件(K2≥0.653)不是一个小概率事件，这个事件的发生不足以说明“成绩优秀与班级没有关系”，即没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这里没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。
例3．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联列表：
药物效果与动物试验列联表

患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
请问能有多大把握认为药物有效？
解： 假设“服药情况与是否患病之间没有关系”，则K2的值应比较小；如果K2的值很大，则说明很可能“服药情况与是否患病之间有关系”。由题目中所给数据计算，得K2的观测值为k≈6.110，而P(K2≥5.024)≈0.025，所以有97.5%的把握认为“服药情况与是否患病之间有关系”，即大约有97.5%的把握认为药物有效。　　
三、课后练习
1．在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，则随机变量 的可能值为（　　　　 ）　　
A．6.635　　　　 B．5.024　　 C．7.897　　 D．3.841　　
　3．由列联表

合计

43
162
205

13
121
134
合计
56
283
339
则随机变量 的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：

非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到　　 。
因为 ，所以断定主修统计专业与性别有关系。这种判断出错的可能性为　　　　　　　　　 。
四．课后心得

参考答案：　　1．C 　　2．C　　3．7.469　　4．女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数（或高级职称中女性的人数，高级职称中男性的人数，中级职称中女性的人数，中级职称中男性的人数。）　　5．5%（或0.05）　　6．答案：　　（1） 的列联表：

看电视
运动
合计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
（2）假设休闲方式与性别无关，计算　　 ；
因为 ，所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的，即我们有97.5%的把握认为休闲方式与性别无关。　
7．由所给数据计算得K2的观测值为k≈3.689，而由
P（K2≥k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
知P(K2≥2.706)=0.10
所以有90%的把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”。

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