中小学教育数学解题研究.doc

期末作业考核
《中小学数学解题研究》

满分100分
一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）
1．什么是配方法？配方法的基本特征是什么？
答：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
配方的基本特征是：
特征1：配方目标的确定性：就是说配方有一个明确而具体的思维指向——出现平方式。这就使得具体配方时，能够排除干扰、瞄准目标、集中思想、一攻到底。
特征2：配方途径的多向性：就是说，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。
特征3：配方对象的多样性：数、字母、具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方。
特征4：配方使用的多重性：配方可以并列地多次使用，也可以连续地重复使用。
特征5：配方应用的广泛性：无论是初等数学还是高等数学，无论是代数还是几何，无论是相等关系还是不等关系，无论是求值还是证明，无论是连续问题还是离散问题，无论是简单的整数还是抽象的解析式，都能用到配方，都已成为配方法知识链上的一环。
2．什么是“数学问题”？数学问题与习题的联系与区别是什么？
答：对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。而这样的问题应满足下述三个特性:
（1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础。
（2）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决。
（3）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探究和研究，寻找新的处理方法。
数学“问题”与“习题”的区别与联系
中学数学教材中的习题一般是条件充分、结论确定、解法典型、供巩固知识的练习用。这些习题是为数学教学和日常训练等设计的，适合于学习知识、训练技能。
而“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来自实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题(routine problems)”，也应包括“非单纯练习题式的问题(non-routine problems)”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应包括条件不充分、结论不确定的开放性问题和具有探索性的问题。“问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。因此，“问题”比“习题”的外延宽、所要达到的学习目的多。
虽然习题与“问题”有一定的区别，但并不否认习题在数学教学中的作用。为了使学生理解数学概念、定理、法则，全面系统地掌握数学知识，提高解题的技能、技巧，习题有着不可取代的作用。
3、简述对数学解题进行错误分析的重要意义。
（1）它是教师检查教学方案的执行情况，及时地调整教学方案的依据。
（2）它是发展学生的自我纠错能力的前导。
二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）
1、20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水900克.问:20%与5%食盐水各需要多少克?
解法1 设需20%盐水χ克，则5%的盐水就需要900-χ克，列方程有:
20%χ+(900-χ)×5%=900×15%，χ=600(克)，900-600=300(克)
解法2 假设法.假设900克都是20%的盐水，盐的重量900×20%比实际900×15%多45克，1克20%的盐水比1克5%的盐水多(20%-5%)=0.15克，4(900×20%-900×15%)÷(20%-5%)=300(克)，900-300=600（克）
三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为不对，请给出正确的解法。（共8分）
1、已知
学生B的解法：根据等比定理有
答：此题解法不对，正确的解法为：上面的解法忽略了应用等比定理时应有条件。（3分）
当时，有等比定理

当时，
所以，k=2或k=-1（5分）
四、试按波利亚的解题四步骤来分析求解下题（12分）
1、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为△ABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。
解：第一步 理解题意
本题的条件是（ⅰ）c=10，（ⅱ）cosA/cosB=b/a=4/3；（ⅲ）P是三角形△ABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A、B、C三顶点的距离的平方和的最值。
综观之，这是一道关于图形的最值问题。
第二步 拟订计划
设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与密切相关的两类问题：
第一， 已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。
第二， 在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距
离和或平方和的最小值。
于是原问题可分裂为两个较为简单的问题：
① a、b、c为△ABC的三边，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，试确定△ABC的形
状及其大小。
② 在确定的△ABC的内切圆上有一动点P，试求PA²+PB²+PC²的最小值与最大
值。
对①小题，△ABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来。对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。
第三步 实现计划
由cosA/cosB=b/a，用正弦定理作代换，得cosA/cosB=sinB/sinA，
即sinA·cosA =sinB·cosB或sin2B=sin2A
因为cosA/cosB =4/3，知A≠B，且A、B是三角形内角，
所以2A=π-2B，即B+A=π/2
所以△ABC是直角三角形。
再由c=10，b/a=4/3及a²+b²=c²，可解得a=6，b=8。
如图1—2，建立直角坐标系，使直角△ABC的三个顶点
为A（8，0）、B（0，6）、C（0、0） y
在直角△ABC中，有a+b=c+2r ，r=2， B
所以，内切圆的圆心为Oˊ（2，2），
方程为（x-2）²+（y-2）²=4。 M N P
设圆上的任一点为P（x，y），则有
S=|PA|²+|PB|²+|PC|² O A
=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y² 图2—1
=3{（x-2）²+（y-2）²}-4x+76
=3·4-4x+76=88-4x
因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。
第四步 回顾讨论
对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：
x=0时，P点运动到BC边上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72。
此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法（略）
五、求解下列数学题（每题10分，共30分）
1、求下图1中阴影部分的面积。(取π=3)

图1
解 将图形分成四个区域(如图)用Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ、Ⅳ表示相应区域的面积于是，阴影
部分的面积为
S=Ⅲ+Ⅳ=（Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ）-Ⅰ
=（Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ）-[（Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ）-（Ⅱ+Ⅲ）]
因为Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ=×62=9π=27，
Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ= 6×4=24，
Ⅱ+Ⅲ=×42=4π=12
S=27-（24-12）=15
答：阴影部分面积为15.
2、已知，求的最大、最小值。
解：对原式作配方，有
19=（）≤（）
19=（）+≥（）
分别得
时，
时，
3、如图2所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水
面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶
端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落
下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离1m处
达到距水面最大高度2.25m。
（1） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能
使喷出的抛物线形状与图2相同？
解：（1）如图（2）建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水处与x轴交点为C，根据题意A（0，1.25），B（1，2.25），设C（x，0），抛物线的方程为y=a（x—1）+2.25
将A（0，1.25）代入方程y=a（x—1）+2.25，得a=—1
于是方程为y=—（x—1）+2.25
令y=0，得=2.5，=—0.5（舍去）
所以，水池的半径至少要2.5米。
（2）若水流喷出的抛物线形状大小与图3相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？（精确到0·1m）
解：（2）所以设抛物线为y=－（x+m）+k
将点A（0，1.25），C（3.5，0）代入方程y=－（x+m）+k，
解方程组得：m≈1.6，k≈3.7
所以，此时水流最大高度应达到3.7米。
六、证明下列各题（每题10分，共20分）
1、若ad－bc=1，证明（a，b，c，d均为整数）不可约。
证明：经配方有=
=
若与有公约数m﹥1，则由

知，1含有因数m﹥1是不可能的，故不可约。
2、如图4，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三
角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点。
(1)求证：△BCF≌△DCE；
(2)若BC=5，CF=3，∠BFC=90º，求DG∶GC的值。

图4

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