数学全国优秀教师(文).docx

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十八)
第十八单元　概　　率
(120分钟　150分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.从至少含有2件次品的1000件产品中,抽出5件产品进行质检,设“至少抽到1件次品”为事件A,“不含次品”为事件B,且P(A)=m,则P(B)等于
A.m B.1-m C.m(1-m) D.(1-m)2
解析:事件A与事件B为对立事件,故P(B)=1-m.
答案:B
2.以下事件:
(1)连续投掷骰子两次,掷得的点数和为16
(2)若集合A,B,C,满足A⊆B,B⊆C,则A⊆C
(3)骑车通过5个十字路口,一路绿灯
(4)技术发达后,不需要任何能量的永动机将会出现
(5)一教师在讲台上随手抛出一段粉笔头,粉笔头最后落下
属于随机事件的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:依据随机事件的概念,可以判断(3)是随机事件,而(1)、(4)是不可能事件,(2)、(5)是必然事件,故选B.
答案:B
3.小明需要从甲城市编号为1-12的12个工厂或乙城市的编号为13-32的20个工厂选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)等于
A.332 B.14 C.916 D.58
解析:事件A与事件B为互斥事件,且P(A)=1232,P(B)=632,所以P(A+B)=12+632=916.
答案:C
4.分别在区间[1,5]、[1,4]内各任取一个实数依次为m,n,则m>n的概率是
A.14 B.38 C.58 D.34
解析:所求概率为由约束条件1≤m≤5,1≤n≤4,m>n,确定的区域的面积与由不等式1≤m≤5,1≤n≤4,确定的平面区域的面积的比值,其值为1-9212=58.
答案:C
5.如果某种彩票中奖的概率为21000,那么用概率的意义解释买1000张彩票的错误叙述是
A.可能1张中奖 B.一定有2张中奖
C.可能0张中奖 D.可能3张中奖
解析:买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖,故选B.
答案:B

6.如图,在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒的豆子,恰有120粒落在阴影区域里,则该阴影部分的面积约为
A.35 B.125 C.65 D.185
解析:易得:S阴影S正=120200,即S阴影4=120200,所以S阴影=125.
答案:B

7.甲、乙两人用牌面数字分别为1,2,3,4的4张扑克牌玩游戏.他俩将扑克牌洗匀后,背面朝上放置在桌面.若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数,则甲获胜;反之,乙获胜.以下说法正确的是
A.甲获胜的可能性大 B. 乙获胜的可能性大
C.甲乙获胜的可能性一样大 D.无法确定
解析:∵一次抽出两张牌的组合共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况,其中有4组中的两数和是奇数,∴由古典概型公式得P(甲)=46=23,P(乙)=13,故选A.
答案:A
8.袋中共有5个除了颜色外完全相同的球,其中1个红球、2个白球、2个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率为
A.15 B.25 C.35 D.710
解析:从5个球中取出两个的取法共有10种,而一白一黑包含其中的4种,所以一白一黑的概率为25.
答案:B
9.在一次大学同学聚会上,参加聚会的女同学比男同学的13多2人,在晚上的联欢会上随机选一位同学做主持人,已知选到女同学的概率为310,则参加这次聚会的男同学的人数为
A.30 B.21 C.9 D.10
解析:设参加聚会的男同学有x人,则女同学为(13x+2)人,由古典概型公式得13x+213x+2+x=310,解之得x=21,故选B.
答案:B
10.区域D是平面直角坐标系中由到原点距离不大于1的点组成,在区域D内任取一点(x,y),该点满足x+y<22的概率为
A.23+34π B.23 C.23+32π D.13+34π

解析:所求概率为阴影部分的面积与圆的面积之比,又圆的面积为π,阴影部分的面积为2π3+34,故比值为23+34π.
答案:A
11.在二位“渐降数”(定义:我们把每个数字都比其左边数字小的正整数叫做“渐降数”(比如852,6543等)中任取一数都比54小的概率为
A. 1545 B. 1344 C.1445 D. 1345
解析:十位是9的“渐降数”有98,97,…,90共9个,十位是8的“渐降数”有87,86,…,80共8个,…,十位是2的“渐降数”有21,20共2个,
十位是1的“渐降数”有10共1个,∴二位“渐降数”共有9+8+7+…+1=45(个),比54小的共有4+4+3+2+1=14(个),所以由古典概率的计算公式得所求概率为1445,故选C.
答案:C
12.已知正棱锥S—ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<13VS-ABC的概率是
A.23 B.49 C.827 D.1927

解析:VP-ABC=13·S△ABCh',VS-ABC=13·S△ABCh,其中h',h分别表示点P、点S到底面的距离,由题意可得h'<13h,所求概率为VA'B'C'-ABCVS-ABC=1-VS-A'B'C'VS-ABC=1-827=1927.
答案:D
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.当百位和个位上的数字相同且大于十位上的数字时,称这样的数为“三位伞数”,从“三位伞数”中取出一个,则这个数小于300的概率为　　　　. 
解析:“三位伞数”共有1+2+…+8+9=45个,而小于300的伞数共有3个,故所求概率为115.
答案:115

14.矩形ABCD的边长AB=1,BC=3,从矩形的顶点和矩形的对角线的交点O这五个点中随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为1的概率为　　　　. 
解析:从5个点中任取两个点的取法有AB,AC,AD,BC,BD,CD,OA,OB,OC,OD共10种,而满足两点距离为1的取法有:OA、OB、OC、OD、AB、CD,共6种取法,故所求概率为35.
答案:35
15.满足∠B=π6,b=12,a=k的三角形ABC恰有两个,则k>18的概率为　　　　. 
解析:由正弦定理:asinA=bsinB得sin A=ksinBb=k24,因为A∈(0,5π6),欲使三角形的解有两个,即角A的值有两个,即函数y=k24与函数y=sin A(A∈(0,5π6))的图象有两个交点,由此可得k24∈(12,1),解得k∈(12,24),故P(k>18)=612=12.
答案:12
16.设函数f(x)=ax+xx-1(x>1),若a是从1,2两个数中任取一个,b是从1,2,3三个数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为　　　　. 
解析:a,b的取法有6种,当a=1时,f(x)=x+xx-1=(x-1)+1x-1+1≥3;当a=2时,f(x)=2x+xx-1=2(x-1)+1x-1+3≥22+3,故满足f(x)>b恒成立的取法有(1,1)、(1,2)、(2,1),(2,2),(2,3)共5种,故所求概率为56.
答案:56
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
设m为0,3上的任意实数.
(1)若方程x2+mx+1=0有实根,求实数m的取值范围;
(2)求方程x2+mx+1=0有实根的概率.
解析:(1)一元二次方程有实数根⇔Δ≥0,即Δ=m2-4≥0,解之得m≤-2或m≥2,又m∈0,3,∴2≤m≤3,即实数m的取值范围为2,3.5分
(2)由几何概型知所求概率为长度之比,即P=2,3的长度[0,3]的长度=13.10分
18.(本小题满分12分)
某学校900名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,利用分层抽样的方法抽取其中若干个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],有关数据见下表:

各组组员数
各组抽取人数
[13,14)
54
a
[14,15)
b
8
[15,16)
342
19
[16,17)
288
c
[17,18]
72
d

(1)求a,b,c,d的值;
(2)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组,求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率.
解析:(1)因为19342=118,所以每个学生被抽到的概率都为118.2分
故a=54×118=3,b=8×18=144,c=288×118=16,d=72×118=4.
故a,b,c,d的值分别为3,144,16,4.6分
(2)样本中第一组共有3人,第五组共有4人.
其中第五组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第一组三人记为1、2、3,其中1、2为男生,3为女生,基本事件列表如下:

a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d

　　所以基本事件有12个,
恰为一男一女的事件有1b,1c,1d, 2b,2c,2d,3a;共7个,
因此新组恰由一男一女构成的概率是712.12分
19.(本小题满分12分)
某天甲、乙两同学约好在晚上8点到9点之间在某地会面,假定两人到达指定地点的时刻是等可能的且相互独立的,并约定先到者等待后到者时间是15分钟,之后就可以离去,问两人能够见面的概率有多大?

解析:因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为Ω:{(x,y) | 0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.会面的充要条件是|x-y| ≤15,即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分,∴由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P(A)=602-452602=716.12分

20.(本小题满分12分)
2013年2月16号十八大二中全会召开,现有8名全会的志愿者作为大会翻译,其中志愿者A1,A2,A3通晓英语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语.从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
解析:(1)从8人中选出英语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),
(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),
(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),
(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.3分
由18个基本事件组成,由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件,则
M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),
(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}
事件M由6个基本事件组成,
因而P(M)=618=13.6分
(2)用N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则其对立事件N表示“B1,C1全被选中”这一事件,
由于N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件N有3个基本事件组成,
所以P(N)=318=16,由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N)=1-16=56.12分
21.(本小题满分12分)
现有A、B两种型号的汽车模型,其中A种型号的汽车模型有3个,标号为1,2,3;B种型号的汽车模型有2个,标号为1,2.
(1)从以上五个汽车模型中任取两个参与展览,求这两个汽车模型型号不同且标号之和小于4的概率;
(2)现又有一个标号为0的C种汽车模型,从这六个汽车模型中任取两个,求这两个汽车模型型号不同且标号之和小于4的概率.
解析:(1)从五个汽车模型中任取两个的所有可能情况有如下10种:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2.其中两个汽车模型型号不同且标号之和小于4的有A1B1,A1B2,A2B13种情况,故所求的概率为P=310.6分
(2)加入一个标号为0的C种型号的汽车模型后,从六个汽车模型中任取两个,除上面的10种情况外,多出5种情况:A1C0,A2C0,A3C0,B1C0,B2C0,即共有15种情况,其中型号不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为P=815.12分

22.(本小题满分12分)
某同学参加体育达标测试,100米、跳高、跳远获得等级A和获得等级不是A的机会相等,100米、跳高、跳远获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3,100米、跳高、跳远获得等级不是A的事件分别记为W1、W2、W3.
(1)试列举该同学这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为W1,W2,W3);
(2)求该同学参加这次达标测试获得两个A的概率;
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试100米、跳高、跳远成绩情况的事件,使该事件的概率大于85%,并说明理由.
解析:(1)该同学这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩是否为A的可能结果有8种,
分别为(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3);4分
(2)由(1)可知,有两个A的情况为(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)三个,
从而其概率为P=38.7分
(3)方案一、该同学参加这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩不全为A的事件概率大于85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩不全为A的事件有如下七种情况:(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3),概率是P=78=0.875>85%.12分
方案二、该同学参加这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩至少一个A的事件概率大于85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中100米、跳高、跳远成绩至少一个为A的事件有如下七种情况:(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3)、(W1,W2,W3),概率是P=78=0.875>85%.12分

9 / 9