八年级下册数学特殊平行四边形培优试题.doc

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八年级（下）特殊平行四边形培优

一．选择题（共13小题）
1．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）

A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α
2．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则S△CEF：S△DGF等于（　　）

A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
3．（2005•湖州）如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABC的边长为（　　）

A． B． C． D．1
4．（2002•无锡）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
5．（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）

A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
6．（2013•渝中区校级模拟）如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2012•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2012•鹿城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（　　）

A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=3S2
9．（2011•承德县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）

A． B． C． D．
10．（2011•瑞安市校级一模）如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．15 B．20 C．35 D．40
11．（2011春•内江期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2010•盘锦）已知如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和4cm2，则四边形PEOF的面积为（　　）

A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．2.5cm2
13．（1997•内江）如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形，点A是MNPQ的中心（即两条对角线MP和NQ的交点），点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，则四边形AENF的面积是（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共17小题）
14．（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　　　　　　．

15．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于　　　　　　．

16．（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　　　　　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

17．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　　　　　　．

18．（2013•南岗区校级一模）如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB=　　　　　　．

19．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为　　　　　　．

20．（2015•凉山州）菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　　　　　　．

21．（2015•天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为　　　　　　．

22．（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　　　　　．

23．（2014•南岗区二模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE=1，则CF=　　　　　　．

24．（2013•德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是　　　　　　（把你认为正确的都填上）．

25．（2013•广安区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有　　　　　　（填正确结论的序号）．
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．

26．（2013•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　　　　　　．

27．（2013•锡山区校级三模）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为　　　　　　cm2．

28．（2013•成都模拟）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为　　　　　　cm2．

29．（2013•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为　　　　　　．

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）
1．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）

A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．
故选：C．

2．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则S△CEF：S△DGF等于（　　）

A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，
∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，
∵F是DE的中点，∴DF=EF，
在△DFG和△EFH中，，
∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，
又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，
∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．
故选B．

3．（2005•湖州）如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABC的边长为（　　）

A． B． C． D．1
【解答】解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．
∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，
∵AE=AC﹣CE，AF=AB﹣BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，=…①
同理：△CBF∽△QAF，=…②
①+②，得：+=．∴+=3，又∵=6，AC=AB，
∴△ABC的边长=．故选C．

4．（2002•无锡）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选D．

5．（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）

A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
【解答】方法一：
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，
同理可得：B3C3==（）2，故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．

方法二：
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，∴D1E1=B2E2=，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2=60°，∴B2C2=，同理：
B3C3=×=…∴a1=1，q=，
∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×．

6．（2013•渝中区校级模拟）如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，正确；
②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，正确；
③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，错误；
④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，
∵AD∥BC，∴△ADG∽△HGB，∴=2，
即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，
根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，
即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误
⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴∠F=∠HAC，∴CF=BD，正确．
正确的有三个．
故选B．

7．（2012•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：①∵BE=2DE
∴=∴∵AB=CD∴DG=CD∴DG=CG
故本选项正确②设BF=1，则CF=2，AB=AD=3，DG=CG=，
过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，
可得四边形MNCD是矩形，△AME∽△ADG，且相似比为，
∵AD=3，∴AM=2，DM=1，NC=1，则BN=BC﹣NC=2，FN=BN﹣BF=1，
∵MD∥BN，∴△MDE∽NBE，且相似比，∴ME=1，EN=2，在Rt△EFN中，
EF==，在Rt△AME中，AE==，在Rt△ABF中，
AF=，∴AE2+EF2=AF2，∴∠AEF=90°，∵AG==
∴EG=，
∴tan∠AGF==2，又tan∠FGC=，∴∠FGC≠∠AGF，
故本选项错误③∵×=
∴S△ABF=SFCG故本选项正确
④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，
由②可知AF=，∵BE=2ED，∴BH=2HC，EH=CD=2，又∵CF=2BF，
∴H为FC的中点，FH=1，∴在Rt△HEF中：∵EF===
AF=∴AF=EF故本选项正确．
⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，∵，∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．故本选项正确．故选B．

8．（2012•鹿城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（　　）

A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=3S2
【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，
∵四边形IJFH是正方形，四边形BEFG是矩形，
∴∠AJI=∠CFH=AEF=∠CGF=90°，
∴△AIJ、△AEF、△CFH、△CFG都是等腰直角三角形，
设JF=x，则S1=x2，
根据等腰直角三角形的性质，EF=AF=×2x=x，FG=FC=x，
所以S2=EF•FG=x•x=x2，所以S1=S2．故选B．

9．（2011•承德县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；
∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，∴PE+PF=．故选B．

10．（2011•瑞安市校级一模）如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．15 B．20 C．35 D．40
【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；
同理：S△EFH=S△DCH=20
∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．
故选C．

11．（2011春•内江期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，∴AN=PF在△ANP与△FPE中，
∵，∴△ANP≌△FPE（SAS），∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．故选：B．

12．（2010•盘锦）已知如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和4cm2，则四边形PEOF的面积为（　　）

A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．2.5cm2
【解答】解：已知矩形ABCD，
∴△APD的面积+△BPC的面积=矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积=4×3﹣×4×3=6（cm2），
∴△AEP的面积+△BFP的面积=（△APD的面积+△BPC的面积）﹣△ADE和BCF的面积之和=6﹣4=2（cm2），
已知矩形ABCD，
∴△AOB的面积=×4×（3×）=3（cm2），
∴四边形PEOF的面积=△AOB的面积﹣（△AEP的面积+△BFP的面积）=3﹣2=1（cm2）．
故选A．

13．（1997•内江）如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形，点A是MNPQ的中心（即两条对角线MP和NQ的交点），点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，则四边形AENF的面积是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为a2，∴四边形AENF的面积为；故选A

二．填空题（共17小题）
14．（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　．

【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB==6，
∴EF的最大值为3．故答案为3．

15．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于　　．

【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD=BE=6，则DF=3，AF==3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，
∴AC=AF=×3=．

故答案为：．

16．（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　①②④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，
，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．

17．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　　．

【解答】解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵，
∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．
故答案为：．

18．（2013•南岗区校级一模）如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB=　7　．

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于F，连接DE，
∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，∴OF=OE=×=，
在Rt△OEF中，EF===，∵OD=，
∴DF=OD+OF=+=，
在Rt△DEF中，DE===，
∵AD、BE为△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×=7．
故答案为：7．

19．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为　　．

【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案为：1.5．

20．（2015•凉山州）菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　（）　．

【解答】解：连接ED，如图，

∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），
∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（0，﹣1），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，
所以点P的坐标为（），故答案为：（）．

21．（2015•天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为　（，0）　．

【解答】解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1）；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a，a），a=﹣（1+a）+2，解得a=，得到B2（，）；
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3（+b，b），b=﹣（+b）+2，解得b=，得到B3（，），所以A3（，0）．故答案为（，0）．

22．（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　128　．

【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．

23．（2014•南岗区二模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE=1，则CF=　2　．

【解答】解：作EG⊥AB于G，根据角平分线的性质可得，EG=OE=1，又BD平分∠ABC，
则∠ABE=45°
∴△EBG是等腰直角三角形，可得BE=，则OB=1+，可得BC=2+
又∠AFB=90°﹣∠FAB，∠FEB=∠OEA=90°﹣∠FAC，∴∠AFB=∠FEB
∴BF=BE=则CF=BC﹣BF=2+﹣=2．

24．（2013•德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是　①②④　（把你认为正确的都填上）．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；
∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，
则a2=2+，S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．

25．（2013•广安区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有　①②　（填正确结论的序号）．
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．

【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④不正确．
综上可得①②正确，共2个．
故答案为①②．

26．（2013•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　　．

【解答】解：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∽△CDA，∴，
∵AC=BD==5，∴…①，同理：△PFD∽△BAD，
∴，∴…②，∴①+②得：，
∴PE+PF=，
即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是：．
故答案为：．

27．（2013•锡山区校级三模）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为　8　cm2．

【解答】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．
∵AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，
∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．
=AH×x×+AE×y×
=2x×+3y×=5cm2
2x+3y=10
S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×
=2（4﹣x）×+3（6﹣y）×
=（26﹣2x﹣3y）×
=（26﹣10）×
=8cm2．
故答案为8．

28．（2013•成都模拟）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为　　cm2．

【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）=cm2．
故答案为：．

29．（2013•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为　（6，4）　．

【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，
∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AM=CM，
∴∠OAB=∠EBC，OF=EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF=（AO+EC），
∵MF⊥OE，
∴MO=ME．
∵在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB=CE，AO=BE．
∴MF=（BE+OB），
又∵OF=FE，
∴△MOE是直角三角形，
∵MO=ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE==6，
∴A（0，2），
∴OA=2，
∴BE=2，
∴OB=CE=4．
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．

30．（2013•荣成市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是　　．

【解答】解：
延长GE到M，使GE=EM，连接CG、CM、BM，过C作CN⊥DE于N，
∵E为BC中点，
∴BE=EC=，
在△BEG和△CEM中

∴△BEG≌△CEM（SAS），
∴S△BEG=S△CEM，
∵E、F分别为BC、CD中点，
∴DG：EG=2：1，
∴GM=DG=2EG，
∴S△MGC=S△DGC，
∴S△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，
∵S△DEC=×1×=，
∴S△DMC=，
∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD﹣S△DMC=1×1﹣=，
故答案为：．

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