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2021-2022学年高中数学 第1章 预备知识 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 预备知识 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定巩固练习北师大版必修第一册

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姓名：

2.2　全称量词与存在量词
第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
课后训练·巩固提升
一、A组
1.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形,它们的面积相等
D.存在两个全等三角形,它们的面积不相等
解析:全称量词命题的否定为存在量词命题,因为命题“全等三角形的面积一定都相等”为全称量词命题,所以它的否定为“存在两个全等三角形,它们的面积不相等”.
答案:D
2.命题“∀x∈R,有|x|+12x≥0”的否定是(　　)
A.∀x∈R,|x|+12x<0 B.∀x∈R,|x|+12x≤0
C.∃x∈R,使|x|+12x<0 D.∃x∈R,使|x|+12x≥0
解析:命题“∀x∈R,有|x|+12x≥0”的否定是“∃x∈R,使|x|+12x<0”.
答案:C
3.已知命题p:∀x∈R,有2x2+2x+12<0,命题q:有些三角形是等腰三角形,则下列判断中正确的是(　　)
A.p是真命题 B.q是假命题
C.p的否定是假命题 D.q的否定是假命题
解析:因为2x2+2x+12=2x+122≥0,所以p是假命题,p的否定为真命题.
又q是真命题,所以q的否定为假命题.所以选D.
答案:D
4.给出下列命题:①∀x∈R,-x2<0;②∃x∈Q,使x2=5;③∃x∈R,使x2-x-1=0;④若p:∀x∈N,有x2≥1,则p的否定为“∃x∈N,使x2<1”.其中是真命题的是(　　)
A.①③ B.②④ C.②③ D.③④
解析:①中,当x=0时,-x2=0;②中,x2=5,则x=±5,而±5是无理数;③中,x=1±52时,x2-x-1=0;④中,全称量词命题的否定是存在量词命题,故③④是真命题.
答案:D
5.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是(　　)
A.命题p的否定是真命题
B.命题p是存在量词命题
C.命题p是全称量词命题
D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
解析:命题p:实数的平方是非负数,是真命题,故p的否定是假命题,命题p是全称量词命题.
答案:C
6.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,有2x∈B,则命题p的否定是(　　)
A.任意x∈A,有2x∉B B.任意x∉A,有2x∈B
C.存在x∈A,使2x∈B D.存在x∈A,使2x∉B
解析:p是全称量词命题,其否定是存在量词命题,故选D.
答案:D
7.已知命题p:∀x>2,有x3-8>0,那么命题p的否定是　　　　　　　　　　. 
解析:命题p为全称量词命题,其否定为存在量词命题,则命题p的否定是“∃x>2,使x3-8≤0”.
答案:∃x>2,使x3-8≤0
8.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;
(3)r:等圆的面积相等,周长相等.
解:(1)命题p的否定是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.
注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,关于x的一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以p的否定是真命题.
(2)命题q的否定是“对所有的实数x,都有x2+x+1>0”.
因为Δ=1-4=-3<0,又抛物线y=x2+x+1开口向上,所以x2+x+1>0恒成立,即命题q的否定是真命题.
(3)命题r的否定是“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识,知命题r的否定是假命题.
二、B组
1.已知非空集合A,B满足A⫋B,则下面四个命题中正确的个数是(　　)
①对任意x∈A,都有x∈B;②存在x∈A,使x∈B;③存在x∉B,使x∈A;④对任意x∉B,都有x∉A.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:根据A⫋B知,①②④正确,③错误.
答案:C
2.命题“任意x∈[0,+∞),有x3+x≥0”的否定是(　　)
A.任意x∈(-∞,0),有x3+x<0
B.任意x∈(-∞,0),有x3+x≥0
C.存在x∈[0,+∞),使x3+x<0
D.存在x∈[0,+∞),使x3+x≥0
解析:全称量词命题的否定是存在量词命题.
答案:C
3.命题“对任意一个实数x,都有12x+4>0”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案:“存在一个实数x,使得12x+4≤0”
4.命题“二次函数的图象关于y轴对称”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　. 
解析:本题中的命题是全称量词命题,省略了全称量词,加上全称量词后该命题可以叙述为:所有二次函数的图象关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”,结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”,所以该命题的否定是“有些二次函数的图象关于y轴不对称”.
答案:“有些二次函数的图象关于y轴不对称”
5.已知二次函数y=x2-mx+1,命题p:对任意x∈R,都有y>0,命题q:存在x∈R,使x2+m2<9.若命题p的否定与q均为真命题,求实数m的取值范围.
解:由于命题p:对任意x∈R,都有y>0,所以命题p的否定为“不等式y≤0在实数集上有解”,故方程x2-mx+1=0的Δ=m2-4≥0,得m≤-2,或m≥2.
又命题q:存在x∈R,使x2+m2<9,即不等式x2<9-m2在实数集上有解,故9-m2>0,得-3<m<3.
因为命题p的否定与q均为真命题,所以m的取值范围为(-3,-2]∪[2,3).
6.已知命题p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x≥3,或x≤1}.
(1)若A∩B=⌀,A∪B=R,求实数a的值;
(2)若命题p的否定是q的否定的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围.
解:(1)由已知A={x|a-1<x<a+1},B={x|x≥3,或x≤1},
由A∩B=⌀,A∪B=R,得a-1=1,a+1=3,得a=2.
(2)若命题p的否定是q的否定的必要条件,但不是充分条件,则p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,又A≠⌀,结合数轴可得,a+1≤1,或a-1≥3,解得a≤0,或a≥4.
所以实数a的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).