高中数学必修一函数大题(含详细解答).doc

高中函数大题专练
１、已知关于的不等式，其中。
⑴试求不等式的解集；
⑵对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。

２、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。

3.已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.

4.设函数是定义在上的偶函数.若当时，
（1）求在上的解析式.
（2）请你作出函数的大致图像.
（3）当时，若，求的取值范围.
（4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件.

5．已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。

6、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。

7．对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。
（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；
（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。

8．设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为.
（1）求函数的解析式；
（2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.

9．设定义在上的函数满足下面三个条件：
①对于任意正实数、，都有；
②；
③当时，总有.
（1）求的值；
（2）求证：上是减函数.

10． 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

11.记函数的定义域为，的定义域为，
（1）求：
（2）若，求、的取值范围

12、．对于在上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的.现在有两个函数与，现给定区间.
(1)若，判断与是否在给定区间上接近；
(2)若与在给定区间上都有意义，求的取值范围；
(3)讨论与在给定区间上是否是接近的.

13．集合A是由具备下列性质的函数组成的：
(1) 函数的定义域是；
(2) 函数的值域是；
(3) 函数在上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

15．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案
１、已知关于的不等式，其中。
⑴试求不等式的解集；
⑵对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。
解：（1）当时，；当且时，；
当时，；（不单独分析时的情况不扣分）
当时，。
（2） 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；
当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集。
因为，当且仅当时取等号，
所以当时，集合的元素个数最少。
此时，故集合。
２、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。
解：（1） 当时，总有，满足①，　　　　　　　
当时，
，满足②
（2）若时，不满足①，所以不是函数；　　　　　
若时，在上是增函数，则，满足①　
由 ，得，
即，　　　　　　　　　　　　 　　
因为
所以 与不同时等于1

当时， 　　，　　　　　
综合上述：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）根据（２）知：　a=1，方程为， 　　　　　
由　得　　　　　　　　　 　
令，则
由图形可知：当时，有一解；
当时，方程无解。　　 　
３.已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
[解] （1）当时，；当时，.
由条件可知 ，即 ，
解得 .
，.
（2）当时，，
即 .
， .
，
故的取值范围是.

４.设函数是定义在上的偶函数.若当时，
（1）求在上的解析式.
（2）请你作出函数的大致图像.
（3）当时，若，求的取值范围.
（4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件.
[解]（1）当时，.
（2）的大致图像如下：.

（3）因为，所以
，

解得的取值范围是.
（4）由（2），对于方程，当时，方程有3个根；当时，方程有4个根，当时，方程有2个根；当时，方程无解.…15分
所以，要使关于的方程有7个不同实数解，关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。
所以，即.
５．已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。
解：（1） 当时，
设且，由是上的增函数，则
由，知，所以，即
（2）当时，在上恒成立，即
因为，当即时取等号，
，所以在上的最小值为。则
（3） 因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且
（4） ①若
当时，是上的增函数，则，
所以方程在上有两不等实根，
即在上有两不等实根，所以
，即且
当时，在上递减，则，即 ，所以
②若
当时，是上的减函数，所以，即，所以
６、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。
解：（1）若，则对于每个正数，的定义域和值域都是
故满足条件
（2）若，则对于正数，的定义域为，
但的值域，故，即不合条件；
（3）若，则对正数，定义域 ，
的值域为，
综上所述：的值为0或
７．对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。
（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；
（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。
解：（1）由不动点的定义：，∴
代入知，又由及知。
∴，。
（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。
∴中，
即恒成立。故，∴。
故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。 ………...................1’
（3）是R上的奇函数，则，∴（0，0）是函数的不动点。
若有异于（0，0）的不动点，则。
又，∴是函数的不动点。
∴的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数
８．设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为.
（1）求函数的解析式；
（2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.
解．（1）设是上任意一点， ①
设P关于A（2，1）对称的点为
代入①得

（2）联立
或
（1）当时得交点（3，0）； （2）当时得交点（5，4）.
9．设定义在上的函数满足下面三个条件：
①对于任意正实数、，都有；
②；
③当时，总有.
（1）求的值；
（2）求证：上是减函数.
解（1）取a=b=1，则
又. 且.
得：
（2）设则：
依
再依据当时，总有成立，可得
即成立，故上是减函数。
10． 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解：（1）时，， 则 ， ∵函数是定义在上的奇函数，即，∴，即 ，又可知 ，∴函数的解析式为 ，；
（2），∵，，∴，
∵ ，∴，
即 时， 。
猜想在上的单调递增区间为。
（3）时，任取，∵，
∴在上单调递增，即，即，，∴，
∴，∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。
11.记函数的定义域为，的定义域为，
（1）求：
（2）若，求、的取值范围
解：（1），
（2），由，得，则，即
， 。

12对于在上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的.现在有两个函数与，现给定区间.
(1)若，判断与是否在给定区间上接近；
(2)若与在给定区间上都有意义，求的取值范围；
(3)讨论与在给定区间上是否是接近的.
解：（1）当时，
令，当时，
即，与是否在给定区间上是非接近的. ………………4分
(2)由题意知，且，
，
………………4分
(3)
假设与在给定区间上是接近的，则有
…………（*）
令G（x）=，当时，在的右侧，
即G（x）=，在上为减函数，
，
所以由（*）式可得
，解得
因此，当时，与在给定区间上是接近的；
当时，与在给定区间上是非接近的. ………14分

13．集合A是由具备下列性质的函数组成的：
(1) 函数的定义域是；
(2) 函数的值域是；
(3) 函数在上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数不属于集合A. 因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或，不满足条件.)
在集合A中, 因为: ① 函数的定义域是；② 函数的值域是；③ 函数在上是增函数．
（2），
对于任意的总成立

14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1）f(-1)=0 ∴由f(x)0恒成立 知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0
∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)= ，
（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在上是单调函数,知-或-，得k-2或k6 ，
（3）f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴在上为增函数
对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数，
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，
所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。
(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
(3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t≠0， 则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10=( t–+1)2+9，
所以当t–+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。
16、已知函数是奇函数。
（1）求的值；
（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1）是奇函数，；
即，解得：，其中（舍）；
经验证当时，确是奇函数。
（2）先研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则

得>0，即在（0，1）内单调递减；
由于是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数在（－1，0）内单调递减。