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2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 习题课—函数y=Asin与三角函数的应用课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 习题课—函数y=Asin与三角函数的应用课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

习题课——函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用
课后训练巩固提升
A组
1.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=2cos 3x的图象(　　)
A.向右平移π12个单位长度
B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移π12个单位长度
D.向左平移π4个单位长度
解析:因为y=sin3x+cos3x=2sin3x+π4,y=2cos3x=2sin3x+π2,所以只需将y=2cos3x的图象向右平移π12个单位长度,即可得到y=2sin3x-π12+π2=2sin3x+π4的图象.
答案:A
2.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f11π24的值为(　　)

A.-62 B.-32 C.-22 D.-1
解析:由题中图象可得A=2,最小正周期T=47π12-π3=π,则ω=2πT=2.
又f7π12=2sin7π6+φ=-2,
解得φ=π3+2kπ(k∈Z).
所以f(x)=2sin2x+π3.
所以f11π24=2sin11π12+π3=2sin5π4=-1,
故选D.
答案:D
3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)

A.2,-π3
B.2,-π6
C.4,-π6
D.4,π3
解析:由题图可知T2=11π12-5π12,即T=π.
由T=2πω=π,得ω=2.
由题中图象过点5π12,2,
可得5π12×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,
解得φ=-π3+2kπ,k∈Z.
又φ∈-π2,π2,故φ=-π3.
答案:A
4.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后的图象的对称轴为直线(　　)
A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)
解析:将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=2sin2x+π12=2sin2x+π6的图象.由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z),即平移后图象的对称轴为直线x=kπ2+π6(k∈Z).
答案:B
5.如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况,设∠BAD=θ,周长为L(x),当θ在定义域内增大时(　　)

A.L(θ)先减小后增大 B.L(θ)减小
C.L(θ)先增大后减小 D.L(θ)增大
解析:连接BD.

∵∠BAD=θ,
∴AD=BC=2Rcosθ,θ∈0,π2.
作DE⊥AB于点E,CM⊥AB于点M,
得AE=BE=ADcosθ=2Rcos2θ.
∴DC=AB-2AE=2R-4Rcos2θ.
∴梯形ABCD的周长L(θ)=AB+2AD+DC=2R+4Rcosθ+2R-4Rcos2θ
=4R(-cos2θ+cosθ+1)
=4R-cosθ-122+54,
可得L(θ)在区间0,π3内单调递减,在区间π3,π2内单调递增,故选A.
答案:A
6.将函数f(x)=cos2x-π2+3cos 2x的图象平移后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则可以将函数f(x)的图象(　　)
A.向右平移π12个单位长度 B.向右平移π6个单位长度
C.向左平移π12个单位长度 D.向左平移π6个单位长度
解析:函数f(x)=cos2x-π2+3cos2x
=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3
=2sin2x+π6.
将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得到函数g(x)=2sin2x的图象,可知函数g(x)为奇函数,满足条件,故选B.
答案:B
7.若函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f5π6=　　　　　. 

解析:由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,可得A=2,
34T=34×2πω=5π12--π3,得ω=2.
再根据2×5π12+φ=2kπ,k∈Z,
求得φ=2kπ-5π6,k∈Z.又|φ|<π,
所以φ=-5π6.则f(x)=2cos2x-5π6.
故f5π6=2cos5π6=-3.
答案:-3
8.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x

π3

5π6

y=Asin(ωx+φ)
0
3
0

0

(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;
(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象;
(3)求函数f(x)在区间-π2,0上的最大值和最小值.

解:(1)根据表中已知数据,
解得A=3,ω=2,φ=-π6,数据补全如下表:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
y=Asin(ωx+φ)
0
3
0
-3
0

所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin2x-π6.
(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象如图所示.

(3)令t=2x-π6,x∈-π2,0,
则t∈-7π6,-π6.
故f(x)=3sin2x-π6,x∈-π2,0可转化为y=3sint,t∈-7π6,-π6.
因为y=sinx在区间-3π2,-π2上单调递减,在区间-π2,π2上单调递增,
所以y=3sint在区间-7π6,-π2上单调递减,在区间-π2,-π6上单调递增.
所以y=3sint的最小值为3sin-π2=-3,最大值为3sin-7π6=32.当t=-π2时,x=-π6;当t=-7π6时,x=-π2.
故当x=-π2时,f(x)max=32;
当x=-π6时,f(x)min=-3.
B组
1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到y=sin 2x的图象,只需将f(x)的图象(　　)

A.向右平移π3个单位长度 B.向右平移π6个单位长度
C.向左平移π3个单位长度 D.向左平移π6个单位长度
解析:由题中图象,可知A=1,34T=7π12--π6=3π4.
又T=2πω,故ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).
所以f7π12=sin2×7π12+φ=-1,
所以2×7π12+φ=2kπ+3π2(k∈Z),
解得φ=2kπ+π3(k∈Z).
因为|φ|<π2,所以φ=π3.
所以f(x)=sin2x+π3,
所以f(x)的图象向右平移π6个单位长度可以得到y=sin2x-2π6+π3=sin2x的图象.
答案:B
2.已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2.若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为(　　)
A.-π8,π6 B.π4,7π12 C.0,π3 D.π2,5π6
解析:因为函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,所以T=π.所以ω=2.
因为将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后,得到图象对应的函数g(x)=sin2x+π3+θ是偶函数,
所以π3+θ=kπ+π2(k∈Z),
解得θ=kπ+π6(k∈Z).
因为-π2≤θ≤π2,所以θ=π6.
所以f(x)=sin2x+π6.
令π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),
解得π6+kπ≤x≤kπ+2π3(k∈Z).
当k=0时,可知函数f(x)的一个单调递减区间为π6,2π3.
因为π4,7π12⊂π6,2π3,所以选B.
答案:B
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈0,π3,则cos2α+5π6等于(　　)

A.±223 B.223 C.-223 D.13
解析:由题图可知A=3,T=7π12-π3×4=π=2πω,故ω=2.
∴f(x)=3sin(2x+φ).又fπ3=-3,
∴3sin2π3+φ=-3.∵0<φ<π,∴φ=5π6.
∴f(x)=3sin2x+5π6,
∵f(α)=1,∴sin2α+5π6=13.
∵0<α<π3,∴5π6<2α+5π6<3π2,
∴cos2α+5π6=-1-132=-223.
答案:C
4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为　　　　　℃. 
解析:依题意可知a=28+182=23,A=28-182=5,
故y=23+5cosπ6(x-6).
当x=10时,y=23+5cosπ6×4=20.5.
答案:20.5
5.若函数y=cos 2x+3sin 2x+a在区间0,π2上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　　.
解析:由题意可知y=2sin2x+π6+a,该函数在区间0,π2上有两个不同的零点,即直线y=-a与曲线y=2sin2x+π6在区间0,π2上有两个不同的交点.

结合函数的图象可知1≤-a<2,故-2<a≤-1.
答案:(-2,-1]
6.已知函数f(x)=sinωx-π6-cos ωx,其中0<ω<3,函数f(x)图象的一个对称中心为π6,0.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移π24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(α)=-335,其中α∈0,π2,求sin α的值.
解:(1)因为函数f(x)=sinωx-π6-cosωx=32sinωx-32cosωx=3sinωx-π3,
又函数f(x)图象的一个对称中心为π6,0,
所以ωπ6-π3=kπ(k∈Z),即ω=6k+13(k∈Z).
因为0<ω<3,所以ω=2,即f(x)=3sin2x-π3.
令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),
可得函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向左平移π24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=3sinx-π4的图象.
因为g(α)=-335,所以sinα-π4=-35.
又因为α∈0,π2,所以cosα-π4=45.
所以sinα=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=-35×22+45×22=210.