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高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列导学案 新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

2.2　等差数列（一）
【教学目标】
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2　等差数列（一）》课件“创设情境”部分，让学生与大家分享自己的了解。通过让学生互相交流对几组数据的认识，教师自然地引出等差数列的定义.
二、自主学习
教材整理1　等差数列的含义
阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
教材整理2　等差数列的通项公式
阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．
1．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
2．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．
三、合作探究[w~ww.z
问题1　给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
提示：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
问题2　观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
提示：插入的数分别为3,2，，0.
问题3　对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋(　　)×2.
提示：n－1
探究点1　等差数列的概念
例1　判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
提示：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．　
名师点评：判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
探究点2　　等差中项
例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
提示：∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
名师点评：在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
探究点3　　等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1　基本量(a，d)
例3　在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
提示：由题意可得
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
名师点评：像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．
命题角度2　等差数列的实际应用
例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
提示：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
名师点评：在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
四、当堂检测
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
提示：1．C　2.B
3．解　∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)
＝2a1＋5d＝4，
∴d＝.
∴an＝＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，
解得n＝50.
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
六、课例点评
等差数列作为第一个深入研究的特殊数列要体现研究问题的完整性，应创设学生独立思考、解决问题的教学环境，避免给出定义，给出公式，给出过程，给出思想，否则等比数列的研究将很难提升。在教学过程中教师一方面应鼓励学生大胆探究，另一方面又应不失时机地引导学生加以分析和证明，在辨析中加深理解。
本节课以学生自学、小组讨论、教师导学相结合的方式进行教学，以问题串为主线展开。对于等差数列概念、等差中项概念的获得以学生自主探究为主，对于等差数列通项公式的归纳与推导以小组讨论为主，，利用PPT完成教学。