2021-2022学年高中数学-第7章-复数-7.3.1-复数的三角表示式训练新人教A版必修第二册.docx

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.3.1 复数的三角表示式训练新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.3.1 复数的三角表示式训练新人教A版必修第二册

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姓名：

7.3.1　复数的三角表示式
课后·训练提升
1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是3π2,则实数a的值是(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.-3
解析∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=3π2,
∴a2-1=0,a<0,∴a=-1.
答案B
2.复数-12+32i的三角形式是(　　)
A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60°
C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120°
解析r=1,cosθ=-12.因为与-12+32i对应的点在第二象限,所以可取θ=120°.所以-12+32i=cos120°+isin120°.
答案D
3.复数-sin 50°+icos 50°的辐角的主值是(　　)
A.50° B.320° C.40° D.140°
解析r=1,cosθ=-sin50°.因为与-sin50°+icos50°对应的点在第二象限,所以arg(-sin50°+icos50°)=140°.
答案D
4.复数z=-3cosπ5-isinπ5(i是虚数单位)的三角形式是(　　)
A.3cos-π5+isin-π5
B.3cosπ5+isinπ5
C.3cos4π5+isin4π5
D.3cos6π5+isin6π5
解析r=3,cosθ=-cosπ5.
因为与z对应的点在第二象限,所以可取θ=4π5,所以z=3cos4π5+isin4π5.故选C.
答案C
5.已知复数z=2+6i,则arg1z是(　　)
A.π3 B.5π3 C.π6 D.11π6
解析∵z=2+6i,
∴1z=12+6i=2-6i8=2412-32i.
∴arg1z=5π3.故选B.
答案B
6.设arg(3+4i)=θ,则arg(8-6i)为(　　)
A.2π-θ B.π2+θ C.3π2-θ D.3π2+θ
解析∵arg(3+4i)=θ,
∴cosθ=35,sinθ=45,0<θ<π2.
设arg(8-6i)=α,则cosα=45,sinα=-35,3π2<α<2π.∴α=3π2+θ.
答案D
7.设z=1+i,则复数z2-3z+6z+1的三角形式是　　　　　. 
解析∵z=1+i,
∴z2-3z+6z+1=(1+i)2-3(1+i)+61+i+1=3-i2+i=1-i.
∴r=2,cosθ=22.
又与1-i对应的点在第四象限,
∴arg(1-i)=7π4.∴1-i=2cos7π4+isin7π4.
答案2cos7π4+isin7π4
8.把下列复数表示为代数形式.
(1)3cosπ4+isinπ4;
(2)3cos4π3+isin4π3;
(3)22cos7π6-isin7π6.
解(1)3cosπ4+isinπ4=322+322i.
(2)3cos4π3+isin4π3=-32-32i.
(3)22cos7π6-isin7π6=-6+2i.
9.下列复数是不是三角形式,若不是,把它们表示成三角形式.
(1)-sin θ-icosθ;(2)cos 60°+isin 30°.
解(1)不是.-sinθ-icosθ=cos3π2-θ+isin3π2-θ.
(2)不是.cos60°+isin30°=12+12i
=2222+22i=22cosπ4+isinπ4.
10.求复数z=1+cos θ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角的主值.
解z=1+cosθ+isinθ=2cos2θ2+2i·sinθ2cosθ2=2cosθ2cosθ2+isinθ2,
∵π<θ<2π,
∴π2<θ2<π,∴cosθ2<0.
∴z=-2cosθ2-cosθ2-isinθ2
=-2cosθ2cosπ+θ2+isinπ+θ2.
∴|z|=-2cosθ2.
又π2<θ2<π,∴3π2<π+θ2<2π,
∴argz=π+θ2.