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八年级数学培优班暑期讲义第十一章 全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的；平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.证明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD分析：要证ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ABFCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF与CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考点拨：【例1】如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD即可证明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。【例2】如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过D点作DFAC交BE于F点，证明AECFED即可。证明：过D点作DFAC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例1】如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，构造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需证DEBE问题便可以解决证明：在AB上截取AEAC，连结DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AEAC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC求证：OBOC3. 如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：DCEF是等边三角形。4.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线。求证：ADAC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，求证：BF=CG。1、轴对称的性质：（）关于某条直线对称的图形是全等形；（）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。2、轴对称作（画）图：（）画图形的对称轴（）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。（）画某点关于某直线的对称点的方法（）画已知图形关于某直线的对称图形注意：（）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。（）性质（）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。【例8】如图，ABC和ABC关于直线对称，下列结论中：ABCABC；BACBAC；l垂直平分CC；直线BC和BC的交点不一定在l上，正确的有( )A4个 B3个 C2个 D1个举一反三：1、如图，ABC与A/B/C/关于直线l对称，则B的度数为（ ）FEDCBAA50 B30 C100 D902、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若AFC+BCF=150，则AFE+BCD的大小是（）150 300 210 330【例9】如图，点P在AOB内，点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO的对称点，若PEF的周长为15，求MN的长等腰三角形专题讲解【知识精读】（）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】【例1】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证BDED。因为ABC是等边三角形，DBEABC，而由CECD，又可证EACB，所以1E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以1ABC 又因为CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足为M 所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）【例2】如图，已知：中，D是BC上一点，且，求的度数。 分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为，所以 因为，所以； 因为，所以（等边对等角） 而 所以 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 【例3】已知：如图，中，于D。求证：。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。 证明：过点A作于E， 所以（等腰三角形的三线合一性质） 因为 又，所以 所以（直角三角形两锐角互余） 所以（同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。4、中考题型： 1.如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。 2.）已知：如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。求证：AEAF。 证明：因为，所以 又因为 所以 又D是BC的中点，所以 所以 所以，所以 说明：证法二：连结AD，通过 证明即可5、题形展示：【例1】如图，中，BD平分。求证：。 分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。 证明一：在BC上截取，连结DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DEAD，这样BDAD=BD+DE=BE，只需证明BEBC，由于，只需证明易证，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。 证明二：延长BD到E，使DEAD，连结CE，作DF平分交BC于F。 由证明一知： 则有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。【实战模拟】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对 2. 如图，是等边三角形，则的度数是_。3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. 中，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。【试题答案】 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为是等边三角形 所以 因为，所以 所以 在中，因为 所以，所以 所以 3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知：如图，在中，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。 分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。证明：因为在中，所以（等边对等角）又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以（中线定义）在和 中，所以所以（全等三角形对应角相等）。所以（等角对等边）。即点O在BC的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC中，ABAC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。31在中，所以 所以（等腰三角形三线合一性质）。所以（邻补角定义）。所以又因为ED垂直平分AB，所以（直角三角形两锐角互余）。（线段垂直平分线定义）。又因为（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。所以在和中，所以所以即。说明：（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；（2）直角三角形中角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。第十三章 实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为。3、实数与数轴上点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。4、实数的运算： （1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。1、二次根式的性质： （1）；（2）； 2、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。 （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。4、二次根式的运算：（1）二次根式的运算法则： ； ； ； ；（2）分母有理化（3）二次根式的混合运算三、非负性及应用：1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下： 若a是实数，则； 若a是实数，则（n为正整数），当n=1时，a20； （n为正整数）在实数范围内有意义，则，此时；3、非负数有如下性质： 有限个非负数之和是非负数；有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。【典例解析】1、无理数的识别与估算方法例1 、（1）在实数3.14，0.10110111011110，中，哪些是有理数，哪些是无理数？（2）估算的值（ ）A在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间2、实数的大小比较方法例2、（1）比较大小：7_（填“”“”或“” ） （2）已知，则、的大小关系为_（3）比较大小：当实数时，_.（填“”或“” ）3、实数有数轴的关系例3、如右图：数轴上点A表示的数为x，则x213的立方根是（ ）A.13 B.13 C.2 D.24、实数的运算例4、（1）；（2）；（3）； （4）。5、实数性质的使用例5、（1）化简： ； （2）实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。 例6、（1）已知，求的值。（2）已知的整数部分为，小数部分为，则=_【课堂检测】1、在中，属于有理数的是